2022年陕西省西安市秦汉中学中考一模数学试题（含答案）

这是一份2022年陕西省西安市秦汉中学中考一模数学试题（含答案），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年陕西省西安市秦汉中学中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．我国冬奥会于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ）

A．①② B．①③ C．② D．②④
2．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于
C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于
3．下列函数中，随的增大而减少的是（    ）.
A． B． C． D．
4．点关于y轴对称点的坐标为，那么点A关于原点对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ）
A． B． C． D．
6．已知点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y的图象上，那么x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x3＞x2＞x1 D．x2＞x3＞x1
7．如图，中，，点分别是的中点，则四边形的周长是（   ）

A．13 B．9.5 C．17 D．19
8．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x元，则下列方程正确的是（   ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）.若函数在第一象限内的图像与△ABC有交点，则的取值范围是

A．2≤≤ B．6≤≤10 C．2≤≤6 D．2≤≤
10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①④

二、填空题
11．若，，则______________．
12．在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些求除颜色外其余完全相同，摇匀后     随机摸出一个，摸出红球的概率是，则的值为__________．
13．若关于x的方程有一根是，则b的值是_____.
14．把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，若，，则的面积为_____.

15．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为_____．


三、解答题
16．计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．
17．先化简，然后从，，0，1选取一个合适的整数作为的值代入求值．
18．随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为______人，_______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
19．如图，直角梯形中，，，，过点B作于点E．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．某中学为丰富学生的校园生活，准备从友谊体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同、每个篮球的价格相同），若购买3个篮球和2个足球共需420元；购买2个篮球和4个足球共需440元．
（1）购买一个篮球、一个足球各需多少元？
（2）根据该中学的实际情况，需要从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共20个．要求购买篮球数不少于足球数的2倍，总费用不超过1840元，那么这所中学有哪几种购买方案？哪种方案所需费用最少？
21．如图，已知正方形ABCD，AB=8，点E是射线DC上一个动点(点E与点D不重合)，连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．

（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；
（2）在（1）的条件下，若CE=2，求CG的长；
（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．
22．如图，抛物线y＝ax2﹣2x＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC沿直线AC翻折得到，点恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当面积最大时点G的横坐标；
（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．


参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：①不是中心对称图形，故①不合题意；
②是中心对称图形，故②符合题意；
③不是中心对称图形，故③不合题意；
④不是中心对称图形，故④不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2．D
【分析】找出必有一个内角小于或等于的反面即可．
【详解】解：必有一个内角小于或等于的反面为：每一个内角都大于．
故选D
【点睛】本题考查了反证法，准确找出命题的反面是解题关键．
3．D
【分析】根据反比例函数中k>0，在每一象限内y随着x的增大而减小；k<0每一象限内，y随着x的增大而增大求解．
【详解】∵反比例函数中k>0，在每一象限内y随着x的增大而减小，
∴A、B. C错误，D正确.故选D.
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质.
4．B
【分析】根据关于轴对称的点的特点得到的值，进而根据关于原点对称的点的特点得到所求点的坐标即可．
【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为，
∴．
∴坐标为
∴点关于原点对称的坐标是
故选： B．
【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系中对称问题；用到的知识点为：两点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数．
5．C
【分析】根据题意可得方程的判别式△=0，进而可得关于k的方程，解方程即得答案．
【详解】解：由题意，得：，解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键．
6．B
【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
【详解】解：∵点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y的图象上，
∴x1＝﹣1÷（﹣1）＝1，x2＝﹣1÷2，x3＝﹣1÷3．
∴x1＞x3＞x2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握根据函数析式，求点坐标．
7．D
【分析】根据中位线的性质求出的长即可求得四边形的周长．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∴四边形的周长为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理．
8．B
【分析】文学类图书平均每本书的价格是x元，则科普类图书的价格为1.2x元，则1200元能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为，据此列出分式方程即可．
【详解】文学类图书平均每本书的价格是x元，则科普类图书的价格为1.2x元，则1200元能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为，
则依据题意有：，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．
9．A
【分析】把A点的坐标代入即可求出k的最小值；当反比例函数和直线BC相交时，求出b2﹣4ac的值，得出k的最大值．
【详解】把点A（1，2）代入得：k=2；
C的坐标是（6，1），B的坐标是（2，5），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
则，
解得：，
则函数的解析式是： y=﹣x+7，
根据题意，得：=﹣x+7，
即x2﹣7x+k=0，
△=49﹣4k≥0，
解得：k≤．
则k的范围是：2≤k≤．
故选A．
考点：反比例函数综合题．

10．D
【详解】解：∵AE=AB，
∴BE=2AE，
由翻折的性质得，PE=BE，
∴∠APE=30°，
∴∠AEP=90°﹣30°=60°，
∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，
∴∠EFB=90°﹣60°=30°，
∴EF=2BE，故①正确；
∵BE=PE，
∴EF=2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＜2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ=∠EFB=30°，
∴BE=2EQ，EF=2BE，
∴FQ=3EQ，故③错误；
由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，
∴∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，
∴∠PBF=∠PFB=60°，
∴△PBF是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选：D．

11．3
【分析】根据完全平方公式，把a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=（a+b）2-2ab，再代入求得数值即可．
【详解】解：∵（a+b）2=7，ab=2，
∴a2+b2
=a2+2ab+b2-2ab
=（a+b）2-2ab
=7-2×2
=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了完全平方公式，根据公式把a2+b2整理成已知条件的形式是解题的关键．
12．8
【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可
【详解】解：∵摸到红球的概率为
∴
解得n=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
13．
【分析】根据题意，将代入方程求解即可．
【详解】解：将代入方程，得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
14．
【分析】根据全等的矩形的对角线相等得出，根据勾股定理得出，进而证明是等腰直角三角形，根据三角形的面积进行计算即可求解．
【详解】在中，，
四边形，为全等的矩形，
，，，
在和中，
，
，
，，
点、、共线，
，
，
是等腰直角三角形，
的面积为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质以及等腰直角三角形的判定，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
15．
【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，表示出BE，再根据正方形的性质表示出CF，然后相比计算即可得解．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，
则BE＝a﹣b，
∵正方形AEFG的顶点E，
∴AF平分∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CA平分∠BAD，
∴点F在正方形ABCD的对角线上，
∵G在正方形ABCD的边AB，AD上，
∴CF＝，
∴BE：CF＝（a﹣b）：（）＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，难点在于判断出点F在正方形ABCD的对角线上．
16．8．
【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．
【详解】4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）-2
=
=
=8．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
17．；当时，原式
【分析】原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果，再根据分式有意义的条件，取代入求解即可．
【详解】解：原式




，
当，0，1时，原式没有意义；
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握因式分解和分式的性质是解题的关键．
18．（1）40，30；（2）见解析；（3）
【分析】（1）用B等级的人数除以对应百分比可得获奖总人数，再减去A、B、D的人数可得C等级的人数，除以获奖总人数可得对应百分比，即可得到m值；
（2）求出C等级的人数，即可补全统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）8÷20%=40人，
（40-4-8-16）÷40×100%=30%，
则m=30；
（2）40-4-8-16=12人，
补全统计图如下：

（3）如图，

共有12种情况，恰好选中1名男生和1名女生的有6种，
所以恰好选中1名男生和1名女生的概率是．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法或树状图法求概率等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键．
19．(1)见解析
(2)．

【分析】（1）首先根据垂直的定义可得，再根据得，然后利用AAS即可证明结论；
（2）首先根据全等三角形的性质可得，利用勾股定理可得，进而可得，然后再利用勾股定理计算出长即可．
【详解】（1）证明：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴（AAS）；

（2）∵，
∴，
在直角中：，
∴ ，
在直角中：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，难度不大，熟练掌握上述知识是解题关键．
20．（1）：购买一个篮球需要100元，一个足球需要60元；（2）有三种方案，其中购买篮球14个，足球6个所需费用最少．
【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据购买3个篮球和2个足球共需420元；购买2个篮球和4个足球共需440元，可得出方程组，解出即可；
（2）设购买篮球y个，则购买足球（20﹣y）个，由购买篮球数不少于足球数的2倍，总费用不超过1840元，可得出不等式组，解出即可．
【详解】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得：，解得：．

答：购买一个篮球需要100元，一个足球需要60元．
（2）设购买篮球y个，则购买足球（20﹣y）个，由题意，
得：，
解得：≤y≤16．
∵y为整数，∴有3种方案：
①购买篮球14个，足球6个；
②购买篮球15个，足球5个；
③购买篮球16个，足球4个．
∵篮球较贵一些，∴方案①所需费用最低．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用及二元一次方程组的应用知识点．
21．（1）证明见解析；（2）CG=10；（3）当△CFG为等腰三角形时，DE的长为4或8或16．
【分析】(1)由正方形的性质得出，AB=BC，BE=BG，∠ABC=∠EBG=90°，易证∠ABE=∠CBG，由SAS证得△BAE≌△BCG；
(2)由△BAE≌△BCG，得出AE=CG，DE=CD−CE=6，由勾股定理得出，即可得出结果；
(3)①当CG=FG时，易证AE=BE，由HL证得Rt△ADE≌Rt△BCE，得出DE=CE= DC=4；
②当CF=FG时，点E与点C重合，DE=CD=8；
③当CF=CG时，点E与点D重合时，DE=0；
④当CF=CG，点E在DC延长线上时，DE=16．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB=BC，BE=BG，∠ABC=∠EBG=90°，
∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBG﹣∠EBC，即∠ABE=∠CBG，
在△BAE和△BCG中，，
∴△BAE≌△BCG(SAS)；
（2）解：∵△BAE≌△BCG，
∴AE=CG．
∵四边形ABCD正方形，
∴AB=AD=CD=8，∠D=90°，
∴DE=CD﹣CE=8﹣2=6，
∴AE10，
∴CG=10；
（3）解：①当CG=FG时，如图1所示：

∵△BAE≌△BCG，
∴AE=CG．
∵四边形BEFG是正方形，
∴FG=BE，
∴AE=BE，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，，
∴Rt△ADE≌Rt△BCE(HL)，
∴DE=CEDC8=4；
②当CF=FG时，如图2所示：

点E与点C重合，即正方形ABCD和正方形BEFG的一条边重合，DE=CD=8；
③当CF=CG时，如图3所示：

点E与点D重合，DE=0；
∵点E与点D不重合，
∴不存在这种情况；
④CF=CG，当点E在DC延长线上时，如图4所示：

DE=CD+CE=16；
综上所述：当△CFG为等腰三角形时，DE的长为4或8或16．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、分类讨论等知识；熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键．
22．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）y＝或y＝
【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x＋c得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可．
（3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【详解】解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，
由翻折得AB′＝AB＝4，
在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H＝，
∴点B′的坐标为（1，2），
设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，
则：，解得：，
∴直线AG解析式为y＝，
∴D（1，），
∴B′D＝2﹣，
∴
＝•B′D•2＋•B′D•（t﹣1）
＝•B′D•（t＋1）
＝（2﹣）（t＋1）
＝（t＋1）﹣（t2﹣2t﹣3）
＝﹣t2＋（2＋）t＋3＋，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣＝时，S△AB′G的值最大，此时点G坐标为（，）；
（3）取（2）中的点B′，B，连接BB′，
∵AB′＝AB，∠B′AB＝60°，
∴△ABB′为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BQ＝BP，AB＝BB′，∠PBQ＝∠B′BA＝60°，
∴∠ABQ＝∠B′BP，
∴△ABQ≌△B′BP（SAS），
∴AQ＝B′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴AQ＝BQ，
∴B′P＝BQ＝BP，
又∵AB′＝AB，
∴AP垂直平分BB′，
由翻折可知AC垂直平分BB′，
∴点C在直线AP上，
设直线AP的函数表达式为y＝k1x＋b1，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝x＋．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BP＝BQ，AB＝BB′，∠BB′A＝∠QBP＝∠B′BA＝60°．
∴∠ABP＝∠B′BQ，
∴△ABP≌△B′BQ（SAS），
∴∠BAP＝∠BB′Q，
∵AB′＝BB′，B′H⊥AB，
∴∠BB′Q＝∠BB′A＝30°，
∴∠BAP＝30°，
设AP与y轴相交于点E，
在Rt△AOE中，OE＝OA•tan∠BAP＝OA•tan30°＝1×＝，
∴点E的坐标为（0，﹣）．
设直线AP的函数表达式为y＝mx＋n，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝．
综上所述，直线AP的函数表达式为y＝或y＝．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．