2023年广东省惠州市一中教育集团九年级下学期阶段性质量监测数学科试卷（含答案）

2023年广东省惠州市一中教育集团九年级下学期阶段性质量监测数学科试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．计算（    ）

A． B．1 C． D．3

2．如下两图分别是用5个相同的正方体搭成的立体图形，则两个图的三视图中相同的是（    ）

A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．左视图和俯视图

3．已知函数，则自变量的取值范围是（    ）

A． B．且 C． D．

4．一组数据：12，3，4，5，11，这组数据的中位数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．11

5．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（  ）

A． B．

C． D．

6．下列运算正确的是（  ）

A． B． C． D．

7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ）

A． B．

C． D．

8．如图，ABCD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，若∠BEF＝120，则∠EFD的度数为（    ）

A．60 B．80 C．120 D．50

9．如图，AP切⊙O于点A，OP交⊙O于点B，BP＝5，∠P＝30，则线段AP的长为（    ）

A．10 B．5 C．6 D．

10．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（   ）

A．米 B．米 C．21米 D．42米

二、填空题

11．分解因式：_____．

12．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．

13．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______．

14．若关于x的方程的一个根为3，则另一个根为_______．

15．已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是______．（填序号）

三、解答题

16．计算：.

17．先化简再求值：，其中．

18．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△OAB是等边三角形．求证：▱ABCD是矩形．

19．为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

20．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点．  

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；

（2）求AOC的面积；

（3）求不等式的解集．（直接写出答案）

21．随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，我校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：

(1)本次调查的学生共有______人，估计我校3000名学生中“不了解”的人数是______人：

(2)将条形统计图补充完整；

(3)“非常了解”的4人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

22．如图，中，，过A、B两点的交于点D，且，交于点E．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求的值．

23．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方．

(1)求抛物线的解析式．

(2)如图2，点D与点C关于直线MN对称，若，求点P的坐标．

(3)直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明．

参考答案：

1．C

【分析】根据有理数的减法运算可直接进行求解．

【详解】解：；

故选C．

【点睛】本题主要考查有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．

2．D

【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，即可解答．

【详解】解：图1的主视图为底面是三个小正方形，上层的左侧是一个小正方形，图2的主视图是底层是三个小正方形，上层的右侧是一个小正方形，故主视图不同；

图1和图2的左视图相同，均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，

图1和图2的俯视图相同，均为底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形，

故选：D．

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

3．A

【分析】根据分式的分母不等于0、二次根式的被开方数大于或等于0，即可求解．

【详解】解：根据题意，得且，

解得，

故选：A．

【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义、二次根式根式有意义的条件是解题的关键．

4．C

【分析】根据中位数的定义求解即可．

【详解】解：将这组数据重新排列为3、4、5、11、12，

∴这组数据的中位数是5，

故选：C．

【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

5．B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后原图形重合．

6．B

【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，底数不变，指数相乘，利用排除法求解．

【详解】解：A、，故本选项错误；

B、，故本选项正确；

C、，故本选项错误；

D、，故本选项错误．

故选：B．

【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的乘法，幂的乘方．很容易混淆，要熟练掌握运算法则．

7．D

【分析】先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．

【详解】解：，

由①得， x≥−2，

由②得， x＜2，

故原不等式组的解集为：−2≤x＜2．

在数轴上表示为：

故答案为：D．

【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．

8．A

【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，得出角度即可．

【详解】∵，

∴，

又∵，

∴，

故答案选：A．

【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，掌握平行线的性质是解答本题的关键．

9．D

【分析】连接OA，设半径为r，利用所对的直角边等于斜边的一半可求出半径，再利用勾股定理求出AP即可．

【详解】解：连接OA，

∵AP切⊙O于点A，

∴，

设半径为r， 则，

∵，

∴，即，解得：，

∴．

故选：D

【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明，求出半径．

10．A

【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．

【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.

故选：A．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

11．．

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式3后继续应用完全平方公式分解即可．

【详解】解：．

故答案为：．

12．

【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．

【详解】解：由题意得：，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．

13．12

【分析】先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可得．

【详解】解：四边形是菱形，

，

点是边的中点，

是的中位线，

，

故答案为：12．

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．

14．-4

【分析】把x=3代入方程求出k=-1，得到关于x的方程为，解方程即可求解．

【详解】解：∵关于的方程的一个根为，

∴9-3k-12=0，

解得k=-1，

∴关于x的方程为，

解得，

∴另一个根为-4．

故答案为：-4

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程的根的定义求出k是解题关键．

15．①③⑤

【分析】根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤．

【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，

∴，，

∵对称轴为，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴①正确．

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴，

∴，

∴②错误．

∵，

∴③正确．

∵当时，，

∴．

∴④错误．

当时，有最大值为，

∴对于任意实数m，总有，

∴对于任意实数m，总有．

∴⑤正确．

故答案为：①③⑤．

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键．

16．10

【分析】根据零指数幂的性质，负整指数幂的性质，二次根式的性质，和特殊角的锐角三角形函数值可直接求解.

【详解】tan30°

=1+9+3-9

=10+3-3.

=10

17．，

【分析】原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

【详解】解：

，

当时，原式．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化等知识，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

18．证明见解析

【分析】首先已知四边形ABCD是平行四边形，对角线互相垂直平分，再根据△AOB是等边三角形可以得出OA=OB，即对角线相等且互相平分.这样就能证明平行四边形ABCD是矩形.

【详解】证明：∵△AOB为等边三角形，

∴∠BAO＝60°＝∠AOB，OA＝OB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，

∴OA＝OD，

∴∠OAD＝30°，

∴∠BAD＝30°+60°＝90°，

∴平行四边形ABCD为矩形．

【点睛】本题考查的是四边形，解决此题的关键是熟记平行四边形的性质以及矩形的判定，平行四边形的对角线互相平分，对角线相等的平行四边形是矩形.

19．（1）一共答对了22道题；（2）至少需答对23道题．

【分析】（1）设该参赛同学一共答对了道题，从而可得该参赛同学一共答错了道题，再根据“每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分”、“他的总得分为86分”建立方程，解方程即可得；

（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，从而可得参赛者答错了道题，再根据“总得分大于或等于90分”建立不等式，解不等式即可得．

【详解】解：（1）设该参赛同学一共答对了道题，则该参赛同学一共答错了道题，

由题意得：，

解得，

答：该参赛同学一共答对了22道题；

（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错了道题，

由题意得：，

解得，

答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．

【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确列出方程和不等式是解题关键．

20．（1），y=2x+2；（2）2；（3）0<x<1或x<-2

【分析】（1）由点在反比例函数上，可求出，再由点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；

（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出，，三点的坐标，从而求出的面积；

（3）由图象观察函数的图象在一次函数＝图象的上方，对应的的范围．

【详解】解：（1）∵在反比例函数上，

∴.

又∵在反比例函数的图象上，

∴.

又∵，是一次函数的上的点，

联立

解得，，

∴反比例函数的关系式为：；

一次函数的关系式为：.

（2）过点作.

将代入中，解得，

，

.

由（1）知，，

∴，

∴的面积为：.

（3）由图象知：当和时，

函数的图象在一次函数图象的上方，

∴不等式的解集为：或．

【点睛】考核知识点：待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，不等式的解集；综合运用相关性质是关键．

21．(1)50，900

(2)见解析

(3)

【分析】（1）由非常了解的学生人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以样本中不了解所对应的百分比可得答案；

（2）用被调查人数乘以对应的百分比求出不了解人数，从而补全图形；

（3）用树状图表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到2名男生的结果数，再利用概率公式计算可得．

【详解】（1）解：本次调查的学生总人数为（人），

∵“不了解”对应的百分比为，

∴估计该校3000名学生中“不了解”的人数是（人）；

（2）解：“不了解”的人数是（人），

补全图形如下：

（3）解：画树状图如下：

由图可知共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，

所以恰好抽到2名男生的概率为．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

22．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据圆周角定理求出，然后根据平行线的性质证明，最后根据切线的判定即可证明；

（2）过点O作于F，设，利用含30度的直角三角形性质、勾股定理、垂径定理可求，，，，，的长度，然后利用平行线分线段成比例求解即可．

【详解】（1）证明：连接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是的切线；

（2）解：过点O作于F，

，

则，

设，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

即

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，含30度的直角三角形性质、勾股定理、垂径定理以及平行线分线段成比例等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．

23．(1)

(2)

(3)，．证明见解析

【分析】（1）用待定系数法求出二次函数关系式即可；

（2）连接CD，设AP与y轴交点为Q，证明，求得点Q的坐标，再求出直线AP的函数关系式，再与二次函数联立方程，求出点P的坐标；

（3）先证明△BOE∽△BNF，得，求得，再分两种情况进行讨论进行求解即可

【详解】（1）∵二次函数的图象过点、点，

∴，，

解得，．

∴抛物线的解析式为．

（2）如图1，连接CD，设AP与y轴交点为Q．

∵抛物线与y轴交于点C，

∴

∵点D与点C关于直线MN对称，直线MN是抛物线的对称轴．

∴，，，．

∵，，

∴，．

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∴．

∴直线AP的解析式为．

∵点P为直线AP与抛物线的交点，令，

解得或（舍去）．

∴．

（3）∵，，

∴△BOE∽△BNF．

∴．

∵，，

∴．

即．

分类讨论：

①如图2，此时．

∴．

②如图3，此时．

∴．

【点睛】本题综合性的考查了用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．