2023年四川省内江市第六中学九年级中考数学第一次模拟测试卷（含答案）

这是一份2023年四川省内江市第六中学九年级中考数学第一次模拟测试卷（含答案），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省内江市第六中学九年级中考数学第一次模拟测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．下图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（    ）．

A． B． C． D．
3．如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（   ）

A．越长 B．越短 C．一样长
D．随时间变化而变化
4．杜甫草堂坐落在成都市西门外的浣花溪畔，是中国唐代大诗人杜甫流寓成都时的故居，是中国规模最大、保存最完好、知名度最高且最具特色的杜甫行踪遗迹地，年游客量达百万余人次，100万用科学记数法表示为（    ）
A．1×105 B．1×106 C．1×107 D．1×108
5．下列关于分式方程的解的情况，判断正确的是（    ）
A． B． C． D．无解
6．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是(　　)
A． B． C． D．
7．在2，6，5，3，2这列数中，众数和中位数分别是（    ）
A．5，2 B．3，2 C．2，3 D．3，6
8．如图，在Rt△ABC中，，，cosA=，则的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，四边形ABCD内接于圆O，，则的度数是（    ）

A．127° B．108° C．126° D．125°
10．《九章算术》中记录了一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺，问绳长和井深各多少尺？若设绳长为尺，则下列符合题意的方程是（    ）
A． B．
C． D．
11．抛物线过点、、，平行于x轴的直线交抛物线于点、D，以为直径的圆交直线于点、，则的值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
12．如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线（）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①； ②抛物线与x轴的另一个交点是（，0）；③方程有两个相等的实数根；④当时，有；⑤若，且；则．则命题正确的个数为（    ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二、填空题
13．计算的结果等于_____________．
14．已知的图象是抛物线，把抛物线分别向上、向右均平移2个单位，那么平移后的抛物线的解析式是___________．
15．设方程的两根为Rt△ABC的两条直角边的长，则Rt△ABC外接圆的半径是____．
16．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点为线段上一点（不含端点），点是点关于的对称点，连接与相交于点．若，，则的长___________．


三、解答题
17．计算：．
18．2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分
频数
频率

15
0.1

a
0.2

45
b

60
c


(1)表中___________，___________，___________；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
19．如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔，货轮继续向北航行30分钟后到达点，发现灯塔在它北偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：，）

20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点，连接OA、OD、DC、AC，四边形为菱形．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且，求点P的坐标．
21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F
（1）求证：BF平分∠DFE；
（2）若EF＝DF，BE＝5，AH＝，求⊙O的半径．


四、填空题
22．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则a=________．
23．如图，点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是______．

24．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．

25．如图，线段AC＝n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作菱形ABMN与菱形BCEF，点F在BM边上，AB＝n，∠ABM＝60°，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；…；当AB＝n时，△AME的面积记为Sn，当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝__．


五、解答题
26．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
40
50
60
y（件）
10000
9500
9000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
27．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
2．如图，在正方形ABCD中，．求证：．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．


某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．

(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______．

(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且．求的值．

28．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于另一点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．C
【分析】根据倒数的定义及二次根式的性质化简即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的定义，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．D
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形，且看得见的棱是实线，看不见的棱是虚线，即可得出答案．
【详解】解：如图所示几何体的俯视图是：

故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的相关概念，明确从上面看到的图形是俯视图是解题的关键．
3．B
【分析】作图连线，即可找出规律，进行判断.
【详解】由图易得AB＜CD，那么离路灯越近，它的影子越短，
故选：B．

【点睛】本题考查了中心投影，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．
4．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：100万=1000000=1×106．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去方面得：
解得：x=
经检验x=是增根，分式方程无解
故选D.
【点睛】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握计算法则是解题关键.
6．A
【详解】分析：先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．
详解：当0＜x＜1时，
在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜，
又∵x＜1，
∴x2、x、的大小顺序是：x2＜x＜．
故选A．
点睛：本题主要考查了不等式，解决问题的关键是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或．
7．C
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为2、2、3、5、6，其中出现次数最多的数是2，处于中间位置的数是3，所以这组数据的众数为2，中位数为3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8．A
【分析】根据AC及cosA求出AB，根据勾股定理求出BC．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴cosA＝，
∴AB＝5，
∴BC＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的定义和勾股定理．解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．
9．C
【分析】根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质得出∠A＋∠BCD＝180°，代入求出即可．
【详解】解：∵对的圆周角是∠A，圆心角是∠BOD，∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°-∠A=126°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出∠A的度数和得出∠A＋∠BCD＝180°．
10．A
【分析】设绳长为x尺，根据水井的深度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设绳长为x尺，根据题意，可列方程为：
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．B
【分析】根据题意，为直径的中点，连接，过点作于，则，，分别求出、即可．
【详解】由题意可得：、，
∴抛物线对称轴为，
∵，
∴，
如图，为直径的中点，
连接，过点作于，则，，
则，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，勾股定理等，解决本题的关键是正确分析各点的坐标，然后根据两点的坐标进行计算．
12．B
【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，和一次函数解析式，根据抛物线对称轴可判断①，利用抛物线的对称轴与x轴的一个交点可求另一交点可判断②，利用抛物线平移和顶点的位置可判断③，利用二次函数图像与一次函数的图象的位置比较大小，可判断④，根据可得出y1=y2，利用对称性与对称轴关系可判断⑤即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），
∴，
把B点坐标代入得，
解得，
抛物线，
直线（）与抛物线交于A，B两点，
∴，
解得，
直线，
①∵对称轴为，则
故①正确；
②∵对称轴为直线，与轴的一个交点是，设另一交点为（m，0），
∴1-m=4-1，
∴m=-2，
与轴的另一个交点是，故②正确；
③∵把抛物线向下平移3个单位，得到，
∴顶点坐标变为，即抛物线与只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故③正确；
④当时，二次函数图像在一次函数图像的上方
∴，故④正确；
⑤若，即
即，
则关于函数的对称轴对称，
故，即，故⑤错误，
∴命题正确的有①②③④四个．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与的交点，以及函数图象上点的坐标特征，要求学生熟练掌握函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法以及这些点代表的意义及函数特征．
13．2
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：原式=3﹣1=2
故答案为2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记平方差公式是解题的关键．
14．
【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，然后再写出抛物线的解析式即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴把抛物线分别向上、向右均平移2个单位后，新抛物线的顶点坐标为，
∵平移不改变抛物线的二次项系数，
∴平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，解题的关键是熟练掌握平移特点，求出平移后抛物线的顶点坐标．
15．
【分析】解方程求出直角三角形的两条直角边的长，根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：方程，
解得：，，
则Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，
由勾股定理得，Rt△ABC的斜边为，
Rt△ABC外接圆的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心、一元二次方程的解法，掌握直角三角形的斜边长等于这个直角三角形的外接圆的直径是解题的关键．
16．16
【分析】根据是的中点，根据矩形的性质和翻折的性质得到，利用中位线性质求出，再求出即可．
【详解】解：是矩形的对角线的交点，
是的中点，
，
点是点关于的对称点，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
为的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：16．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及三角形中位线的性质，关键是利用中位线性质得出的长．
17．10
【分析】分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及零指数幂，最后运算即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题是实数的运算，考查了整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识，熟悉这些知识并正确运算是关键．
18．(1)30，0.3，0.4
(2)见解析
(3)选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为

【分析】（1）由总人数减去已知的频数即可求出a的值，再根据频率等于频数除以总数可得b、c的值；
（2）根据a的值补全直方图即可；
（3）根据题意，列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1），
，
，
故答案为：30，0.3，0.4；
（2）频数分布直方图如图所示：

（3）用分别表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：

A
B
C
d
A

BA
CA
dA
B
AB

CB
dB
C
AC
BC

dC
d
Ad
Bd
Cd


共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生），
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点睛】本题考查了统计表和频数分布直方图，涉及求频率，画频数分布直方图，用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．28.3海里
【分析】作于，根据题意求出的长，根据正弦的定义求出，根据三角形的外角的性质求出的度数，根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：如图所示：过点作于点，

货轮以40海里小时的速度在海面上航行，向北航行30分钟后到达点
海里，
，，
，，
则（海里），
故（海里）．
答：此时货轮与灯塔的距离约为28.3海里．
【点睛】此题主要考查了方向角问题，根据题意作出正确辅助线是解题关键．
20．（1），；（2）或；（3）或
【分析】（1）由菱形的性质可知、关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（2）由（1）可知点坐标为，结合图象可知在点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得的取值范围；
（3）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．
【详解】解：（1）如图，连接，交轴于点，

，
，，
四边形是菱形，
，，
，
将代入直线，
得：，
解得：，
将代入反比例函数，
得：，
解得：；
一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）当时，反比例函数的值为2，
当反比例函数图象在点下方时，对应的函数值小于2，
的取值范围为：或；
（3），，
，
，
，
设点坐标为，与轴相交于点，
则，
，
，
当在的左侧时，，
，
，，
，
当在的右侧时，，
，
，，
，
综上所述，点的坐标为或．

【点睛】本题为反比例函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想、分类讨论思想等，题目难度不大，但是属于中考常考题，熟练掌握反比例函数图像和性质及待定系数法等相关知识，并能够灵活运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
21．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据圆内接四边形性质和圆周角定理求出∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，根据垂径定理求出CH＝DH，求出BC＝BD，根据等腰三角形性质求出∠BCD＝∠CDB，求出∠EFB＝∠DFB即可；
（2）根据全等三角形的判定求出△DFB≌△EFB，根据全等三角形的性质求出BD＝BE＝5，证△DHB∽△ADB，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】（1）证明：∵C、D、B、F四点共圆，
∴∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，
∵CD⊥OA，OA过O，
∴CH＝DH，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠CDB，
∴∠EFB＝∠DFB，
∴BF平分∠DFE；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∵在△DFB和△EFB中 ,
∴△DFB≌△EFB（SAS），
∴BD＝BE，
∵BE＝5，
∴BD＝5，
∵AB为⊙O直径，CD⊥AB，
∴∠ADB＝∠DHB＝90°，
∵∠DBH＝∠ABD，
∴△DHB∽△ADB，
∴，
∵AH＝，BD＝5，AB＝2R，BH＝2R﹣，
∴,
解得：R＝，R＝﹣2（舍去），
即⊙O的半径是．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形，垂径定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
22．-5
【分析】根据根与系数的关系列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴根据根与系数的关系得到： ，
又∵，
∴两边平方得：，
∴
∵
解得：a=-5，
故答案为：-5
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，会灵活运用与的关系 以及根与系数的关系是解题的关键．
23．
【详解】试题解析：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．

∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，
∴S△ABC=2S△BCE，S△ABD=2S△ADE，
∴S△ABC=2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF，
∴AC=2BD，
∴OD=2OC．
∵CD=k，
∴点A的坐标为（，3），点B的坐标为（-，-），
∴AC=3，BD=，
∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=，
∴CD=k=．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理．构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键.
24．2-2
【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【详解】如图：

取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C’=4，OC′=6，
∴D′O=，
∴D′G=-2，
∴PD+PG的最小值为-2，
故答案为-2.
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
25．
【分析】根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积＝△AMB的面积即可得出Sn＝n2，Sn﹣1＝（n﹣1）2，即可得出答案．
【详解】连接BE．

∵菱形ABMN及菱形BCEF，∠ABM＝60°，∠FBC＝180°﹣∠ABM＝120°，
∴NA∥MB，∠EBC＝60°，
∴NAB＝180°﹣∠ABM＝120°，
∴∠MAB＝60°，
∴∠MAB＝∠EBC，
∴BE∥AM，
∴△AME与△AMB同底等高，
∴△AME的面积＝△AMB的面积，
∴当AB＝n时，△AME的面积记为Sn＝S△ABM＝n2，
Sn﹣1＝（n﹣1）2，
∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝（n﹣1）2﹣n2＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形面积求法以及菱形的性质，根据已知得出正确图形，得出S与n的关系是解题关键．
26．（1）；（2）这一周该商场的最大利润为540000元，售价为120元；（3）
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w=（x-30）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），
把x=40，y=10000和x=50，y=9500代入得，
，
解得，，
∴y=-50x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，30≤x≤120，
设利润为w元，根据题意得，
w=（x-30）y=（x-30）（-50x+12000）=-50x2+13500x-360000=-50（x-135）2+551250，
∴对称轴为直线x=135，
∵-50＜0，
∴当x＜135时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤120，且x为正整数
∴当x=120时，w取最大值为：-50×（120-135）2+551250=540000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元；
（3）根据题意得，w=（x-30-m）（-50x+12000）=-50x2+（13500+50m）x-360000-12000m，
∴对称轴为x=-=135+0.5m，
∵-50＜0，
∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
对称轴x=135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于140，由于x取整数，
实际上x是二次函数的离散整数点，
只需保证x=150时利润大于x=149时即可满足要求，所以对称轴要大于149.5就可以了，
故135+0.5m＞149.5，
解得m＞29，
∵10≤m≤60，
∴29＜m≤60．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．
27．(1)1；证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可．
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求证△ABM∽△ADN．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．
（3）先证是等边三角形，设，过点，垂足为，交于点，则，在中，利用勾股定理求得的长，然后证，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．
【详解】（1），理由为：
过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，

∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴；
（2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，

在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵，，AM＝HF，AN＝EG，
∴，
∴；
故答案为：
（3）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴设，
过点，垂足为，交于点，则，
在中，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．

【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．
28．(1)
(2)存在，或或或
(3)存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为

【分析】（1）由题意得，进而可得，，然后把点B、D坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式进行分类求解即可；
（3）如图所示，连接，由题意得，四边形是平行四边形，进而可得，则有，若使的值为最小，则需为最小，即当点三点共线时，的值为最小，然后求最小值，设线段的解析式为，代坐标求解析式，然后求时的值即可．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，点坐标为
∴，A点坐标为
∴，
∴点坐标为
把点的坐标代入抛物线得：
解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称
∴点坐标为
∴由两点距离公式可得
设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当时，如图1所示：

∴由两点距离公式可得，即
解得：
∴点F的坐标为或；
②当时，如图2所示：

∴由两点距离公式可得，即
解得：
∴点F的坐标为或；
综上所述：存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或．
（3）解：如图3所示：

由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，点坐标为
∴
∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为
∴，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
若使的值为最小，即为最小
∴当点三点共线时， 的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图4所示：

∵点坐标为
∴
∴的最小值为，即的最小值为
设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得
解得
∴线段OD的解析式为
当时，
∴点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式、图象，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，坐标系中两点间的距离公式等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．