高中数学人教A版（2019）必修第一册《第一章 集合与常用逻辑用语》章节练习（含解析）

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 人教A版（2019）必修第一册《第一章 集合与常用逻辑用语》章节练习 一 、单选题（本大题共15小题，共75分）1.（5分）已知函数和的定义域均为，记的最大值为，的最大值为，则使得“”成立的充要条件为A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，2.（5分）命题“若，则”的否命题是A. 若，则，中至少有一个不为
B. 若，则，中至少有一个不为
C. 若，则，都不为
D. 若，则，都不为3.（5分）已知，都是实数，命题：；命题：，则是的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件4.（5分）是圆锥曲线的焦距与实数无关的A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件5.（5分）命题“，”的否定是A. ， B. ，
C. ， D. ，6.（5分）已知集合，且，则等于（   ）A. -1 B.  C.  D. 或-17.（5分）集合，，定义，，则的真子集个数为 A.
B.
C.
D. 8.（5分）已知集合，非空集合，则“”的充分不必要条件可以是A.  B.  C.  D. 9.（5分）命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的一个充分不必要条件是A.  B.  C.  D. 10.（5分）“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件11.（5分）设函数的定义域为，则“在上单调递减”是“在上的最小值为”的A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件12.（5分）已知函数，则“”是“的值域与的值域相同”的A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件13.（5分）已知函数的图象与函数的图象有三个不同的交点、、，其中给出下列四个结论：①；②；③；④其中，正确结论的个数有个A.  B.  C.  D. 14.（5分）命题“，”成立的一个充分不必要条件是A.  B.  C.  D. 15.（5分）下列命题中正确的命题是A. 若存在，，当时，有，则说函数在区间上是增函数
B. 若存在、，当…时，有…，则说函数在区间上是增函数
C. 函数的定义域为若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数
D. 若对任意，，当时，有，则说函数在区间上是增函数二 、填空题（本大题共5小题，共25分）16.（5分）命题“，”的否定为 ______.17.（5分）有下列命题：  
①已知，是平面内两个非零向量，则平面内任一向量都可表示为，其中，；  
②对任意平面四边形，点、分别为、的中点，则；  
③直线的一个方向向量为；  
④在中，，，则；  
其中正确的是 ______ 写出所有正确命题的编号．18.（5分）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ______ ．19.（5分）给出下列四个命题：  
命题“，”的否定是“，”；  
若直线上有无数个点不在平面内，则；  
若随机变量：且，则；  
等差数列的前项和为，若，则． 
其中真命题的序号是 ______ 写出所有真命题的序号．20.（5分）已知；，若用列举法表示集合，则 ______ ．三 、解答题（本大题共6小题，共30分）21.（5分）已知集合，，若，求实数的取值范围．22.（5分）设、． 
若，则是否是集合中的元素？ 
对中的任意两个、，则、是否属于？23.（5分）集合，，若，求实数的取值范围．24.（5分）已知集合，集合． 
Ⅰ求； 
Ⅱ若，求的取值范围．25.（5分）已知命题：关于的方程没有实数根，若命题是真命题，求实数的取值范围．26.（5分）已知由实数组成的集合满足：若，则设中含有个元素，且求能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由.四 、多选题（本大题共5小题，共20分）27.（4分）下列叙述中不正确的是A. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B. 若，则“”的充要条件是“”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 若，则“对恒成立”的充要条件是“”28.（4分）下列命题：①不全为实数的两个复数不能比较大小②若，则当且仅当且时，为纯虚数③④实数集是复数集的真子集其中正确命题为A. ① B. ② C. ③ D. ④29.（4分）设数集同时满足条件：①中不含元素，，；②若，则则下列结论中错误的是A. 集合中至多有个元素 B. 集合中至多有个元素
C. 集合中有且仅有个元素 D. 集合中有无穷多个元素30.（4分）［2021 深圳外国语学校高一期中］集合，之间的关系表述正确的有 (    )A.  B.  C.  D. 31.（4分）下列关系中正确的是 
 A.  B.
C.  D.
答案和解析1.【答案】C;【解析】解：函数和的定义域均为，记的最大值为，的最大值为， 
则“”，，， 
故选： 
由，，的最大值大于的最大值，，即可得出结论． 
此题主要考查了函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 2.【答案】B;【解析】 
此题主要考查命题及其关系，关键是理解否命题的概念，属于基础题. 
直接根据否定题的概念即可得出答案. 
 
解：否命题是对原命题的条件和结论进行否定， 
可将，否定为 
将否定为，中至少有一个不为， 
综上所述否命题为“若，则，中至少有一个不为”， 
故选
 3.【答案】A;【解析】解：命题：，  
命题：，  
故是的充分不必要条件，  
故选：． 
解出两个不等式，结合充要条件的定义，可得答案． 
该题考查的知识点是充要条件，正确理解充要条件的概念是解答的关键．
 4.【答案】A;【解析】解：若，则，，则圆锥曲线表示焦点在轴上的椭圆，，，，故焦距与无关． 
能推出圆锥曲线的焦距与实数无关． 
若圆锥曲线的焦距与实数无关，则讨论曲线情况， 
当圆锥曲线为椭圆时，，，易能推导，成立． 
当圆锥曲线为双曲线时，，，易能推导，成立． 
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断是圆锥曲线的焦距与实数无关的充分非必要条件． 
故选：． 
分类讨论圆锥曲线情况，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 
该题考查了向量共线定理、充要条件的判定，圆锥曲线的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 5.【答案】C;【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，  
即，，  
故选：． 
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 
这道题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．
 6.【答案】C;【解析】 或∴或 ∴当时， ，不符合集合中元素的互异性，故应舍去当时，，满足题意 故选C．
 7.【答案】B;【解析】解：根据题意得，的元素个数为个， 
的真子集个数为个． 
故选：． 
根据条件即可求出集合的元素个数，从而可得出集合的真子集个数． 
考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，分步计数原理的应用，集合真子集个数的计算公式．
 8.【答案】D;【解析】 
该题考查的知识点是充要条件的定义，集合的包含关系及应用，难度中档． 
若，则，解得：，则“”的充分不必要条件为的真子集，进而得到答案． 
 
解：集合， 
非空集合， 
若，则， 
解得：， 
则“”的充分不必要条件为的真子集， 
比照四个答案，可得答案符号要求， 
故选D． 

 9.【答案】B;【解析】解：命题“，”为真命题，可化为，，恒成立  
即只需，即“，”为真命题的充要条件为，  
而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知符合题意．  
故选：  
本题先要找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，由选择项不难得出答案．  
本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．
 10.【答案】D;【解析】解：①当时， 
，， 
 
②当时，， 
 或，， 
是的既不充分也不必要条件． 
故选： 
由同角三角函数的关系式：，知可求，知，可求即可得到结论． 
此题主要考查了简易逻辑的判定方法，根据同角三角函数的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论，属于基础题．
 11.【答案】A;【解析】解：若在上单调递减， 
则在上的最小值为，是充分条件； 
若在上的最小值为， 
则在不一定单调，不是必要条件； 
故选： 
根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可． 
此题主要考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是基础题．
 12.【答案】B;【解析】 
求出的单调区间和值域，从而得出的最小值与单调区间端点的关系，从而得出的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断． 
此题主要考查了函数的单调性和最值，考查了转化方法、方程与不等式的解法以及充分必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 
 
解：函数，则函数的值域为 
且在上为减函数，在为增函数， 
的值域与的值域相同， 
， 
解得， 
故“”是“的值域与的值域相同”的充分不必要条件， 
故选
 13.【答案】C;【解析】解：作出函数的图象与函数的图象， 
显然，直线与相切，设切点， 
可得切线的斜率为，， 
解得，， 
由题意可得当时，与有个交点； 
时，，解得或， 
由图象可得时，； 
由，可得， 
即有； 
又，可得， 
则正确的个数为． 
故选：． 
作出函数的图象与函数的图象，显然，求得直线与曲线相切情况，可得，， 
将直线绕着原点运动，可得；再由韦达定理可得，，即可得到正确结论个数． 
该题考查函数的图象和运用，考查数形结合思想方法和三次方程的韦达定理，属于中档题．

 14.【答案】D;【解析】 
此题主要考查充分必要条件的判断，属于基础题. 
先解不等式转化为恒成立问题，再讨论求解即可. 
 
解：命题“，”为真命题，可化为，，恒成立 
即只需，即“，”为真命题的充要条件为， 
而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知符合题意． 
故选 

 15.【答案】D;【解析】 
此题主要考查增函数、减函数的定义，熟记定义是解答该题的关键．属基础题. 
比值大于零，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由增函数的定义可得结论. 
 
解：根据增函数和减函数的定义知错误； 
对任意，，当时，有成立， 
即有时，，时，， 
由增函数的定义知：函数在区间上是增函数． 
故选
 16.【答案】∃∈R，2-2+2＞0;【解析】解：命题为全称命题， 
则命题的否定为：，， 
故答案为：：， 
根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 
此题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 17.【答案】②④;【解析】解：对①，由平面向量定理可得，，是平面内两个不共线向量，则平面内任一向量都可表示为，其中，，故①错；  
对②，对任意平面四边形，点、分别为、的中点，，，两式相加可得，则，故②正确；  
对③，直线的一个方向向量为，故③错；  
对④，在中，，，，可得，  
由，则，故④正确．  
故答案为：②④． 
由向量的基本定理，，是平面内两个不共线向量，即可判断①；  
由向量的多边形法则，结合中点向量，即可判断②；  
由直线的方向向量为，即为斜率，即可判断③；  
由向量的数量积的定义和余弦定理，解方程可得，即可判断④． 
该题考查命题的真假判断，主要是平面向量基本定理和向量的多边形法则、直线的方向向量和向量的数量积的定义及余弦定理的运用，考查判断能力，属于中档题．
 18.【答案】;【解析】解：由题意，及，  
可得，即，  
从而，  
进而有，即或舍去集合元素的互异性，  
故． 
故答案为：． 
根据两个集合相等的关系，求得，的值，再求的值．  
该题考查集合相等与集合元素的互异性，解题时，将两者结合分析，注意集合相等时，要分类讨论，此时利用元素的互异性进行取舍．
 19.【答案】①④;【解析】解：命题“，”的否定是“，”；满足命题的否定形式，正确；  
若直线上有无数个点不在平面内，则；可能直线与平面相交，所以不正确；  
若随机变量：且，则；所以原判断不正确；  
等差数列的前项和为，若，则正确；  
故答案为：． 
利用命题的否定形式判断的正误；直线与平面的位置关系判断的正误；正态分布性质判断的正误；等差数列的性质判断的正误；  
该题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定，直线与平面的位置关系，正态分布的性质，等差数列的性质的应用，考查计算能力．
 20.【答案】;【解析】解：，  
，  
故答案为：． 
利用；，即可求出集合． 
这道题主要考查集合的表示方法，要求熟练掌握描述法和列举法表示集合，比较基础．
 21.【答案】解：∵A∪B=A，∴B⊆A  又A={-2≤x≤5}，  
当B=∅时，由m+1＞2m-1，解得m＜2，  
当B≠∅时，则解得2≤m≤3，  
综上所述，实数m的取值范围（-∞，3]．;【解析】 
分别解出集合，，根据，可得，从而进行求解； 
此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，还考查子集的性质，此题是一道基础题；
 22.【答案】解：、，， 
． 
是集合的元素． 
不妨设，，、、、． 
则， 
、、、，， 
，、、、． 
故，． 
． 
综上，、都属于．;【解析】 
由，得到从而是集合的元素． 
设，，、、、则，，从而推导出、都属于． 
该题考查元素与集合的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意元素与集合的关系的合理运用．
 23.【答案】解：∵集合A={x|a-1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，A∩B=∅，  
①当A=∅时，a-1≥2a+1，解得a≤-2．  
②当A≠∅时，有 或．  
解得-2＜a≤-，或 a≥2．  
综上可得a≤-，或a≥2，即实数a的取值范围为（-∞，-]∪[2，+∞）．;【解析】 
当时，，解得的取值范围．当时，有 或，由此求得实数的取值范围，再把这两个范围取并集，即得所求． 
这道题主要考查集合中参数的取值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
 24.【答案】解：（Ⅰ）集合A={x|-7x+6＜0}={x|1＜x＜6}， 
（Ⅱ）集合B={x|-（3a+1）x+2a（a+1）＜0}={x|（x-2a）（x-a-1）＜0}． 
①当2a＞a+1，即a＞1时，B=（a+1，2a）⊆A=（1，6）， 
∴，解得1＜a≤3． 
②当2a=a+1，即a=1时，B=∅，符合题意， 
③当2a＜a+1，即a＜1时，B=（2a，a+1）⊆A=（1，6）， 
∴，解得． 
综上所述，a的取值范围是[，3]．;【解析】 
Ⅰ由一元二次不等式的性质能求出集合． 
Ⅱ由集合，由此利用分类讨论思想能求出的取值范围． 
该题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查分类讨论思想、集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 25.【答案】解：因为命题p：关于x的方程-2x+m-1=0没有实数根，且¬p是真命题 
所以关于x的方程-2x+m-1=0有实数根， 
故（-2）2-4（m-1）≥0，即m≤2，从而得m的取值范围是m≤2．;【解析】 
利用真命题转化列出不等式，求解即可． 
该题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
 26.【答案】解：中含有个元素，且 
  ，即， 
，  ，假设中仅含一个元素，不妨设为， 则，又中只有一个元素， ，即，此方程即方程无实数根.不存在这样的，即不能为仅含一个元素的单元素集.;【解析】此题主要考查元素与集合的关系. 
由得，进而得即可求解 
假设中仅含一个元素，不妨设为， 则可得，由方程无解即可得结论. 

 27.【答案】BD;【解析】 
本题综合考查了不等式的性质、一元二次方程的根与系数的关系、充分必要条件，属于中档题 
根据充分条件必要条件的定义结合不等式性质以及二次函数性质，对各个选项逐一验证可以得出答案. 
 
解：正确，若方程有一个正根和一个负根，则，且，故正确 
B.错误，若，，，“”且时，推不出“，故错误 
C.正确，“”“”，但是“”推不出“”，故正确. 
D.错误，当，，时，满足，但此时不成立，故错误， 
故选
 28.【答案】ABD;【解析】 
本题重点考查复数的概念和复数相等，属于基础题. 
利用复数的相等关系和特殊值法逐个判断即可. 
 
解：①不全为实数的两个复数不能比较大小，正确； 
②若，则当且仅当且时，为纯虚数，正确； 
③当，时也满足，故错误； 
④实数集是复数集的真子集，正确. 
故选
 29.【答案】ABD;【解析】 
此题主要考查元素与集合的关系，属于基础题. 
通过②可以迭代出集合中的不同元素，条件①则限定了迭代出的元素是否符合集合，我们可以从条件②出发，通过迭代出的元素是否符合条件①来判断集合中元素的个数．  
 
由条件②可知，当时，，故， 
同理可得， 
由，，，即此时，，，互不相等，此时中有个元素， 
因此，集合中有且仅有个元素．正确． 
故结论中错误的是、、 
故选，，
 30.【答案】ABC;【解析】表示被3除余1的数的集合，表示被3除余1的数的集合，表示被6除余1的数的集合，故，，.故选ABC.
 31.【答案】AB;【解析】 
此题主要考查元素与集合的关系和子集的概念，属于基础题． 
由元素与集合的关系和子集，以及空集的概念即可逐项判断正误． 
解：根据集合与元素的关系可知：，故正确； 
空集是任意非空集合的真子集，集合中有元素，所以，故正确； 
集合是数集，为点集，因此选项错误； 
与不一定是同一个点，因此不能判定，故错误． 
故选