高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步练习题，共16页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题，、多选题等内容，欢迎下载使用。
 人教A版（2019）必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》章节练习 一 、单选题（本大题共15小题，共75分）1.（5分）如图，，为双曲线的左右顶点，点是上异于，的一点，若直线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率 
 A.  B.  C.  D. 2.（5分）若，且，则有A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值3.（5分）若，则下列不等式正确的是A.  B.  C.  D. 4.（5分）已知、满足等式，，则、的大小关系是A.  B.  C.  D. 5.（5分）下列命题中正确的是A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则6.（5分）已知集合，，则A.  B.  C.  D. 7.（5分）不等式的解集是A.  B.
C.  D. 或8.（5分）已知，，若函数满足恒成立，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 9.（5分）已知实数满足， 且，则的最小值为 
 A.  B.  C.  D. 10.（5分）集合，，则 A.  B.  C.  D. 11.（5分）已知函数，函数的最小值等于A.  B.  C.  D. 12.（5分）已知函数在上为减函数则的取值范围是A.  B.
C.  D. 13.（5分）设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是A.  B.
C.  D. 14.（5分）一元二次不等式的解集为A.  B.
C.  D. 15.（5分）若，，则A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值二 、填空题（本大题共5小题，共25分）16.（5分）已知函数，那么的最大值为_________.17.（5分）若，，都是正数，且，则的最小值为________.18.（5分）不等式的解集为______．19.（5分）若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．20.（5分）已知，，则的最小值是______.三 、解答题（本大题共6小题，共30分）21.（5分）已知，且 
求的最小值；    
求的最小值.22.（5分）已知函数 
若，解关于的不等式； 
当时，存在，使不等式成立，求实数的取值范围．23.（5分）已知函数 
当时，解关于的不等式； 
若的值域为关于的不等式的解集为，求实数的值．24.（5分）已知函数为实常数． 
若函数图象上动点到定点的距离的最小值为，求实数的值；  
设，若不等式在时有解，求的范围．25.（5分）已知不等式的解集为或 
 
求，的值. 
解关于的不等式：，其中是实数.26.（5分）已知函数是上的奇函数. 
求的值； 
证明在上单调递减； 
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．四 、多选题（本大题共5小题，共20分）27.（4分）下列命题为真命题的是A. 若则 B. 若则
C. 若且，则 D. 若且，则28.（4分）如果，那么下列不等式成立的是A.  B.  C.  D. 29.（4分）下列命题为真命题的是A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则30.（4分）已知，，，且，则下列不等式成立的是A.  B.  C.  D. 31.（4分）若，则下列不等式中一定不成立的是   A.  B.
C.  D.
答案和解析1.【答案】C;【解析】 
此题主要考查两角和与差的余弦公式、两点间斜率公式和双曲线的几何性质等，属于拔高题. 
先化简，然后利用两点间斜率公式和点在双曲线上，分析求解即可.解：， 
 
，，设， 
， 
又点在双曲线上，故， 
解得：，故 
故选 

 2.【答案】C;【解析】因为，当且仅当，即时等号成立
 3.【答案】B;【解析】 
该题考查比较大小，属于基础题． 
选项用特殊值法，令，，选项用幂函数的单调性可判断，，选项用特殊值，反例令，即可得答案． 
 
解：选项中，，令 ，，代入可得：，，显然不正确； 
选项中，构造函数，根据幂函数可得在上单调递增，即，可得，显然B正确．   
，选项，，令 ，，不成立，即不正确，也不正确． 
故选：．
 4.【答案】B;【解析】 
利用作差法比较大小即可． 
该题考查了作差法比较大小，关键是配方，属于基础题． 
 
解： 
 
， 
当且仅当，时等号成立，即此时满足， 
故． 
故选：． 

 5.【答案】B;【解析】 
此题主要考查不等式的基本性质，属于基础题. 
解答该题的关键时是熟悉不等式的基本性质，逐个分析，得出答案. 
 
解： 
对若，则显然当时不成立，故 不正确； 
对若，，则故 正确； 
对若，则，显然当时不成立，故 不正确； 
对若，，得到大小不确定，所以不正确； 
故选
 6.【答案】C;【解析】 
此题主要考查交集及其运算，属于基础题. 
分别化简集合、，再求交集即可. 
 
解：， 
 
所以 
故选
 7.【答案】C;【解析】解：由，得． 
解得． 
所以原不等式的解集为． 
故选：． 
求出不等式所对应的二次方程的两个根后直接得答案． 
该题考查了一元二次不等式的解法，是基础题型．
 8.【答案】B;【解析】解：当时，即，令，，则， 
由可得，排除，； 
当时，即，令，，则， 
由可得，排除； 
故选：． 
根据，排除，；再令，，可排除，可得答案． 
此题主要考查绝对值不等式、三角函数的值域，考查计算能力和推理能力，属于中档题．
 9.【答案】B;【解析】解：因为实数，满足，且， 
所以，解可得， 
则， 
， 
， 
当且仅当时取等号， 
故选： 
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出． 
此题主要考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于基础题．
 10.【答案】D;【解析】 
此题主要考查集合的交集运算，属于基础题. 
 
解：由题意得集合，集合， 
所以； 
故选
 11.【答案】C;【解析】解：因为，所以， 
，当且仅当即时取等号， 
故函数的最小值等于， 
故选：． 
由均值不等式得：因为，所以，，当且仅当即时取等号，得解． 
该题考查了均值不等式，属简单题．
 12.【答案】C;【解析】 
此题主要考查分段函数的单调性，属于中档题. 
根据题意要满足分段函数在上为减函数，列出相应的不等式组求解即可.解：由题意可得解得 
故选 

 13.【答案】D;【解析】 此题主要考查不等式与不等关系，考查学生的思维能力及推理能力，属于较难题. 
 
根据不等式的性质，对每个选项进行证明，对选项，进行特值检验，即可. 解：选项，要证，只需证即可.由题意可知，则成立，则成立.要证，只需证由题意可知，则，又因为，所以，则，即成立故选项成立，不符合题意.选项，要证，只需证即可.由题意可知，则，成立.所以成立，即要证，只需证，只需证由题意可知，则，，，所以成立，即成立.故选项成立，不符合题意.选项，要证，只需证即可.由题意可知则又因为，所以所以成立，即要证，只需证即可由题意可知则又因为，所以所以成立，即成立.故选项成立，不符合题意.选项，令，，则即，所以不成立，符合题意.故选： 

 14.【答案】A;【解析】解：不等式可化为， 
解得或， 
所以该不等式的解集为． 
故选：． 
把不等式化为，求出解集即可． 
此题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
 15.【答案】A;【解析】 
此题主要考查了基本不等式，运用基本不等式求最值，属于基础题. 
根据，，则，则，然后结合基本不等式求最值即可. 
 
解：由题意，若，，则， 
所以 
， 
当且仅当时等号成立， 
故有最大值 
故选 

 16.【答案】;【解析】 
此题主要考查利用基本不等式求函数的最值，属于基础题. 
利用基本不等式求解，注意基本不等式利用的三个条件. 
 
解：因为， 
所以， 
当且仅当，即时取等号． 
故答案为
 17.【答案】;【解析】 
此题主要考查利用基本不等式求最值，将已知式变形，然后利用基本不等式求解即可. 
 
解： ， 
 
故答案为
 18.【答案】{x|-2＜x＜5};【解析】解：不等式可化为  
，  
解得；  
该不等式的解集为． 
故答案为：． 
把不等式化为，求出解集即可． 
该题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．
 19.【答案】（-∞，0）∪（4，+∞）;【解析】解：若，则原不等式等价为，此时不等式的解集为空集．所以不成立，即． 
若，要使不等式的解集不是空集，则  
时，有，解得． 
若，则满足条件．  
综上满足条件的的取值范围是． 
故答案为：． 
分别讨论和，利用不等式的解集不是空集，解出的取值范围． 
这道题主要考查一元二次不等式的基本解法，要注意分类讨论．
 20.【答案】;【解析】 
此题主要考查函数最小值的定义，根据基本不等式求最小值的方法，属于基础题. 
根据即可得出，而根据基本不等式即可得出，从而得出，即得出的最小值． 
 
解：，，； 
， 
当且仅当时取“”； 
的最小值为： 
故答案为 
 

 21.【答案】解：，且 
由基本不等式可得，，   解不等式可得，， 
当且仅当即，时取最小值； 
， 
当且仅当时取得最小值;【解析】此题主要考查基本不等式的应用，属于基础题. 
由基本不等式可得，，注意取等号的条件； 
运用“”的变换得到是关键.
 22.【答案】解：（1）令h（x）=a+2x（a+1）+a，即解不等式h（x）＜0， 
①当a=0时，不等式解解{x|x＜0}． 
②当a＞0时，Δ=8a+4＞0，设，是函数h（x）的两个零点， 
则； 
由，知＜＜0， 
则不等式解集； 
③当，Δ＞0，设，是函数h（x）的两个零点； 
则；由， 
知＞＞0，则不等式解集； 
④当，Δ=0，则不等式解集{x|x≠1}； 
⑤当，Δ＜0，则不等式解集R； 
综上所述：当a=0时，不等式解解{x|x＜0}； 
当a＞0时，不等式解集； 
当，不等式解集； 
当，不等式解集{x|x≠1}； 
当，不等式解集R； 
（2）由f（1）=1得，a+b=-1， 
因为，存在实数t满足不等式4b+a+4≤t（a+2）（2b+1），，， 
即． 
令，得， 
即，，，当且仅当n=2m， 
即，即时等号成立， 
故t≥3，即t∈[3，+∞）．;【解析】 
令，分，，，，，五类讨论，解不等式即可； 
由得，，依题意可得，令，得，利用基本不等式可求得，从而可得答案． 
此题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
 23.【答案】解：当时，由得，即， 
当即时，解得：或； 
当时，解得：且； 
当时，解得：或 
综上，当时，原不等式的解集为； 
当时，原不等式的解集为 
由的值域为得， 
又关于的不等式的解集为， 
所以，是方程的两个根，即的两根之差为， 
故， 
由，解得，;【解析】此题主要考查了一元二次不等式的解法和一元二次不等式与相应函数和方程的关系，是中档题. 
当时，则，分类讨论解一元二次不等式即可； 
由的值域为得，由关于的不等式的解集为，得的两根之差为，故，联立求解即可得出的值.
 24.【答案】解：（1）设P（x，y），则y=x++2，  
|PQ|2=+（y-2）2=2++2m≥2+2m=2|m|+2m=2，  
当m＞0时，解得m=-1；当m＜0时，解得m=--1；  
（2）f（x）≤kx，即为x++2≤kx，  
由x∈[，1]，可得k≥++1，  
令t=，t∈[1，2]，可得k≥m+2t+1，  
令g（t）=m+2t+1，t∈[1，2]，  
要使原不等式在x∈[，1]时有解，当且仅当k≥g（t）min，  
由m＜0，g（t）=m（t+）2+1-开口向下，t∈[1，2]，  
当0＜-≤时，即m≤-，g（1）≥g（2），  
可得g（t）min=g（2）=4m+5；  
当-＞时，即-＜m＜0，可得g（1）＜g（2），  
可得g（t）min=g（1）=m+3．  
综上可得，m≤-时，k的范围是[4m+5，+∞）；  
当-＜m＜0时，k的范围是[m+3，+∞）．;【解析】 
设，运用两点的距离公式，结合基本不等式可得最小值，讨论的符号，即可得到所求的值；  
由题意可得，令，，可得，令，，要使原不等式在时有解，当且仅当，讨论，的大小，即有的范围，结合二次函数的最值求法，可得的范围．  
该题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查不等式存在性问题的解法，注意运用换元法和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．
 25.【答案】解：依题意， 
原不等式为：，即 
①当，即时，原不等式的解集为； 
②当，即时，原不等式的解集为； 
③当，即时，原不等式的解集为;【解析】 
利用不等式的解集与方程解之间的关系，可求，的值； 
根据不等式对应方程的两根的大小，进行分类讨论即可． 
此题主要考查解不等式，考查不等式的解集与方程解之间的关系，解答该题的关键是明确不等式的解集与方程解之间的关系．
 26.【答案】解：因为函数是上的奇函数， 
所以，即，解得 
当时，， 
， 
则函数是奇函数，故的值为； 
证明：由可得， 
令且，则， 
所以 
， 
即， 
所以函数在上单调递减； 
解：由可知函数在上既是减函数，又是奇函数， 
所以不等式， 
即， 
等价于在时恒成立， 
整理得在时恒成立． 
令，则，所以 
故的取值范围是;【解析】此题主要考查利用函数的奇偶性和单调性来解决含参数问题的恒成立问题，属于中档题． 
根据定义在上的函数是奇函数，函数满足，可求的值； 
令且，证明，可得函数在上单调递减； 
根据函数是奇函数以及函数的单调性化简，分离参数，可求的取值范围．
 27.【答案】BCD;【解析】 
此题主要考查了不等式的性质，属于中档题. 
根据不等式的性质逐一判断，即可得出结论. 
 
解：在中，当时，有，故错误 
在中，，若，则，，即， 
，若，则，，即， 
即，故正确 
在中，若，则，则， 
又，则，故正确 
在中，若，则， 
又，则，则，故正确. 
故选 
 

 28.【答案】ABD;【解析】解：由，可得，故正确； 
由，可得，所以，故正确； 
若，则，故错误； 
由，可得，故正确． 
故选： 
由不等式的性质逐一判断即可． 
此题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
 29.【答案】BCD;【解析】 
此题主要考查不等关系，根据不等式性质逐一判断即可. 
 
解：若，，则，故错误； 
B.若，则，又所以，故正确； 
C.若，则又，所以，故正确 
D.若且，则，故正确. 
 

 30.【答案】AC;【解析】解：， 
，正确， 
，错误， 
，正确， 
在上为减函数，，错误， 
故选： 
利用对数函数单调性判断，利用指数函数单调性判断，利用幂函数的单调性判断 
此题主要考查了指数函数，对数函数，幂函数的单调性，属于中档题．
 31.【答案】AD;【解析】 
此题主要考查了不等式的性质，属于中档题. 
根据不等式的性质逐个作差比较、分析得出结论. 
 
解：，，，， 
，一定不成立； 
B.，当时有成立，故可能成立，也可能不成立； 
C.，由条件知一定成立； 
D.，故一定不成立. 
故选