高一下学期数学微专题25讲 10.平方差公式与射影定理

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册全册综合测试题，共4页。试卷主要包含了 正余弦平方差公式，射影定理，在中，是的充要条件等内容，欢迎下载使用。
10.平方差公式与射影定理本节介绍解三角形中常用的两个恒等式，第一个是三角平方差公式，其在三角形中的应用出现在新教材必修2第54页16题. 射影定理则在老教材必修五中出现，很多全国卷的题目都跟这两个恒等式有关，本文略作介绍一．基本原理结论1. 正余弦平方差公式，.结论2.射影定理：在中，注：上述作为解答题均需推导，当然也很简单，第一个右边展开化简，第二个正弦定理边角转化.（请读者自行推导）二．全国卷中的应用例1.（2022乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）若，，求的周长．解析：（1）依题，，由上述结论（其实就是展开，熟悉平方差公式的同学当然就知道这里的解题方向了），可得：，故，得证.（2）当，时，，，所以，解得，所以的周长为．例2.（2017年全国新课标2卷）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则_______.解析：解法1：，即，因为，所以，故，即.解法2：由射影定理，，故，结合知.三．更多应用下面用平方差公式来推导倍角三角形的一个重要结论：结论3.在中，是的充要条件.证明：此处仅给出充分性证明.当时，由正弦定理，得，由正弦平方差公式，得，由，得，所以，又，所以或（舍去），故.例3.在中，角所对的边分别是.，则的范围是_______.解析：易得，结合正弦定理和三角函数中的平方差公式可得，从而可求得其范围是.例4.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则______.解析：解法1：，将代入可解得：或，若，则，从而，结合可得，而显然，矛盾，所以.解法2：由倍角三角形定理，，将代入可得：，解得：.例5.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则_______.解析：因为，所以由倍角三角形定理，，又，所以可设，则，从而，故，所以.例6.在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，则_______.解析：解法1：.解法2：由射影定理，.例7.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，则的面积为_______.解析：由射影定理，，又，所以，化简得：，因为，且函数在上单调递减，所以，故，又，所以，从而，结合可得，所以，，故.例8．（2016年新课标全国1卷）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求C；（2）若的面积为，求的周长．解析：(1)由正弦定理得：，∵，，∴，∴，∵，∴． （2）由余弦定理得：，，，∴，∴，∴周长为例9．（2013年新课标全国2卷）在内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求△面积的最大值．解析：（1）因为，所以由正弦定理得：，所以，即，因为0，所以，解得B=；（2）由余弦定理得：，即，由不等式得：，当且仅当时，取等号，所以，解得，所以△ABC的面积为=，所以△面积的最大值为．