2023浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”高三下学期3月联考数学试题含解析

高三数学学科试题

考生须知：

1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题卷．

参考公式：

球的表面积公式                柱体的体积公式

球的体积公式                 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

                     台体的体积公式

其中R表示球的半径          

锥体的体积公式                其中分别表示台体的上、下底面积，

                       h表示台体的高

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

选择题部分

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．若集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．若，则（    ）

A．    B．    C．    D．

3．的展开式中常数项为（    ）

A．280    B．    C．160    D．

4．“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根长的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（    ）个刻度

A．3    B．4    C．5    D．6

5．班级举行知识竞猜闯关活动，设置了A、B、C三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有的可能答对问题A，的可能答对问题B，的可能答对问题C．记答题者连续答对两题的概率为p，要使得p最大，他应该先回答（    ）

A．问题A    B．问题B    C．问题A、B和C都可以    D．问题C

6．在平面直角坐标系上，圆，直线与圆C交于A，B两点，则当的面积最大时，（    ）

A．    B．    C．    D．

7．设，则（    ）

A．    B．    C．    D．

8．在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．在平面直角坐标系中，已知点，则（    ）

A．

B．是直角三角形

C．在方向上的投影向量的坐标为

D．与垂直的单位向量的坐标为或

10．已知函数，则（    ）

A．有一个零点             B．在上单调递减

C．有两个极值点           D．若，则

11．设椭圆为椭圆E上一点，，点B、A关于x轴对称，直线分别与x轴交于M，N两点，则（    ）

A．的最大值为

B．直线的斜率乘积为定值

C．若y轴上存在点P，使得，则P的坐标为或

D．直线过定点

12．已知，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

非选择题部分

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）

13．已知随机变量X服从正态分布，若，则_____________．

14．写出一个满足下列条件的正弦型函数，____________．

①最小正周期为；       ②在上单调递增；      ③成立．

15．将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为_____________．

16．已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点且，过A作椭圆E的切线l，并分别交于C、D点．连接，与交于点E，并连接．若直线l，的斜率之和为，则点A坐标为_____________．

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题10分）已知数列是以d为公差的等差数列，为的前n项和．

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前n项和．

18．（本题12分）已知中角A，B，C对应的边分别是a，b，c，

已知．

（1）证明：；

（2）求的面积．

19．（本题12分）如图，四面体中，与面的所成角为．

（1）若四面体的体积为，求的长；

（2）设点M在面中，，过M作的平行线，分别交于点H、F，求面与面所成夹角的余弦值．

20．（本题12分）大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为BS3的渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：

并计算得．

（1）估计该水库中BS3号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；

（2）求该水库BS3号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时BS3号渗压计管内水位的估计值．

附：相关系数，，，．

21．（本题12分）设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为1．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若，点C在线段上（不含端点），过点C分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q．连接，并过的中点F分别作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，求面积的最小值．

22．（本题12分）已知

（1）当时，求单调区间；

（2）当时，恒成立，求a的取值范围；

（3）设，证明：．

高三数学学科参考答案及解析

选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．答案：A

解析：因为，所以

因为，所以

所以，选A

2．答案：B

解析：因为，所以

所以．故选B．

3．答案：A

解析：的展开式中通项为

所以要出现常数项，或，

当时，；当时，（舍去）

所以常数项为，故选A．

4．答案：B

解析：若有一根的尺子，量出长度为到且为整数的物体，

则当尺子有4个刻度时满足条件

设且，其中，

当时，

下证，当尺子有3个刻度时不能量出的物体长度

设且，其中，

所以当中有1个0，x的取值至多有3个

当中有2个0时，或，x的取值至多有2个

当中没有0时，x的取值有1个

所以x取值至多有6个，即当尺子有3个刻度时不能量出的物体长度．故选B

5．答案：D

解析：若先回答问题A，则答题顺序可能为A，B，C和A，C，B，

当答题顺序为A，B，C且连对两题时，

当答题顺序为A，C，B且连对两题时，

所以先回答问题A，连对两题的概率为0.62

同理先回答问题B，连对两题的概率为0.52；先回答问题C，连对两题的概率为0.7

所以要使得p最大，他应该先回答问题C，故选D．

6．答案：C

解析：设圆心到直线的距离为d，

所以

因为，所以

所以，当且仅当，即等号成立故选C．

7．答案：D

解析：因为，所以设，

则，因为，所以在上单调递增

所以，即

因为，所以比较b，c的大小

因为，所以，

即比较1，大小，设

因为，所以在上单调递减，

所以，即

以，故选D，

8．答案：C

解析：平面经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面重合．

证明：设平面与面所成的二面角为，二面角为

当时，记平面截正方体所得截面为面，

则，令

因为，所以

当时，显然平面截正方体所得截面面积最大时，截面为面

当时，平面截正方体所得截面为

所以平面截正方体所得截面面积最大时截面为面

同理平面过时，截正方体所得截面面积最大时截面为面

连接，面与面所成锐二面角为

因为面面，

所以的所成角大小为二面角大小

因为，所以面与面所成锐二面角大小为，故选C．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．答案：ABD

解析：因为，所以

因为，所以，即为直角三角形

设与同向的单位向量为，

所以在方向上的投影向量为

设，设与垂直的单位向量为

所以

所以

故选ABD．

10．答案：BD

解析：

令，因为

所以在上单调递减

所以，即

所以当时，，

所以单调递减；单调递增

所以，即在上无零点，

若，设，则

要证，即证

因为在行上单调递增，所以即证

因为，所以即证

令

，其中在上单调递增

所以

所以在上单调递减

所以，即，

所以成立，即成立

故选BD．

11．答案：BCD

解析：因为在椭圆C上，所以

所以，A错误

因为点B、A关于x轴对称，所以

因为，所以

，B正确

假设存在P点，使得，则

所以

因为，所以

所以

因为，所以，即点P坐标为或

因为，所以

化简得，即直线过定点

故选BCD．

12．答案：BC

解析：因为，所以

所以

令，因为，所以，即

，当时，

当且时，令，则，

因为，所以

所以

因为，所以当时，，A，D错误

因为，所以

令，

因为在上单调递增，）的零点y满足

所以，解得

所以要证，即证

因为在上单调递增，所以即证

因为

所以成立，即成立

故选BC．

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．答案：1

解析：由正态密度函数性质可得，

14．答案：（答案不唯一）

解析：设，因为，所以

所以，不妨设

因为最小正周期为，所以

因为在上单调递增，所以

所以，

当时，，不妨设

所以满足条件之一的．

15．答案：

解析：如图所示，记两个形状完全相同的正三棱锥为三棱锥和三棱锥

设点A在面上的投影为点O，则、O、A三点共线．

在三棱锥和中，到几何体各顶点距离相等的点分别在和上若组合后的六面体存在外接球，则O为外接球的球心

设，则，

因为O为的中心，所以，

所以，解得

所以球的体积为

16．答案：

新：设直线l的程，由得

因为直线l与椭圆E相切，所以，解得

因为，所以

所以，即

所以直线l的方程为，即

分别令和得，

所以直线方程为，直线方程为

所以联立可得与交点

因为，所以

所以由得，即

因为，所以，即

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．答案：（1）       （2）

解析：（1）因为，所以，

所以

所以          

（2）因为数列是以首项为公比为4等比数列，

所以，即

因为数列是等差数列，所以

化简得

因为，所以，即

所以，

因为，所以数列是以为首项．4为公比的等比数列

所以

所以

18．答案：（1）证明见解析；（2）

解析：（1）因为，所以，即．

因为，所以，

因为，所以，即，

因为，所以

令，则

因为，所以在上单调递减

所以由得，即成立

（2）由正弦定理得，因为，所以

所以

所以由正弦定理得

因为

所以由得

化简得

因为，所以

所以由得

所以

19．答案：（1）；（2）

解析：（1）因为，所以

所以面

作，连接，因为面，所以

因为，所以面

因为面，所以面面

因为面面，所以作，可得面

所以为与面的所成角，

所以设，则

所以由得

所以，解得，即

（2）设，由（1）得

延长交于点G，连接，因为，所以面

所以，因为，所以

因为，所以为边上的高，即

因为，所以面

因为面，所以

由（1）得，若，则点M在上

所以M为的垂心．因为，所以

所以，即

分别做，则面面

所以在面的投影为

设面与面所成的二面角为，则

20．答案：（1）       （2）      （3）72.98

解析：（1），

（2）

同理

所以

所以代入得

（3）

所以BS3号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为

当时，预测值为．

21．答案：（1）

（2）

解析：（1）因为双曲线C的右焦点为，所以

因为右焦点到双曲线的渐近线的距离为1，所以

所以，即双曲线

（2）设，设切线为，

由得，因为直线与双曲线相切，

所以，解得

所以

因为所以，即直线

同理可得直线

因为直线与直线交于点C，所以

所以点满足方程，即直线

同理可得直线，

因为点F在直线上．所以，即点在直线上

因为，所以

所以，即

所以直线

由得

所以

因为点F到直线的距离为，所以

令

因为，

所以单调递减，单调递增

所以．

22．答案：（1）在上单调递减       （2）        （3）证明见解析

解析：（1）当时，

因为，所以

所以在上单调递增

（2）当时，恒成立，即恒成立

法一：因为

所以，使得在上单调递增

所以，

所以，解得

下证恒成立

因为，

所以

设，所以在上单调递增

所以

所以成立

所以

法二：，因为，所以

所以由恒成立得

，令

则

当，即时，方程的解为，设

因为的对称轴为，

所以，其中

则当，即时单调递减

当，即时单调递增

因为时单调递减

所以，与恒成立矛盾，舍去

当，即时，，

所以在上单调递增，

所以，即恒成立

所以

（3）由（2）得

令，即

所以当时，，

化简得

因为，所以，

所以，

累加得

化简得成立．