初中数学浙教版八年级下册4.2 平行四边形精练

第4章　平行四边形

4.2　平行四边形及其性质

第1课时　平行四边形的边和角的性质

基础过关全练

知识点1　平行四边形的定义

1.【新独家原创】有3块形状、大小都相同的平行四边形巧克力,如图①,任一块的一组邻边长为2和4,将这3块巧克力排成右边的图②,则图②中有　　　　个平行四边形. 

2.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.

求证:四边形ABCD是平行四边形.

知识点2　平行四边形的对角相等

3.如图,在平行四边形ABCD中,CE⊥AB,E为垂足,如果∠D=60°,那么∠BCE=              (　　)

A.30°　　　　B.40°　　　　C.60°　　　　D.120°

4.如图,在平行四边形ABCD中,过点A分别作直线CD、直线BC的垂线,垂足分别为E、F,∠C=30°,则∠1+∠2=              (　　)

A.100°　　　　B.120°　　　　C.130°　　　　D.150°

知识点3　平行四边形的对边相等

5.(2022浙江湖州长兴、安吉期末)在▱ABCD中,AD=3,AB=2,则

▱ABCD的周长为 (　　)

A.9　　　　   B.10　　　　 C.11　   　　　D.12

6.如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=4,BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC,分别交CD、AB于点E、F,则AF+DE的长度是              (　　)

A.1　　　　   B.2　　　　   C.5　　　　   D.6

知识点4　四边形的不稳定性

7.电动伸缩门的依据是平行四边形 (　　)

A.对边平行　　　　B.伸缩性

C.容易变形　　　　D.稳定性

8.四边形不具有稳定性,要使四边形木架不变形,至少要再钉上　　　　根木条. 

能力提升全练

9.(2022浙江宁波慈溪期末,3,)在▱ABCD中,∠A+∠C=220°,则∠B的度数为              (　　)

A.50°　　　　B.70°　　　　C.110°　　　　D.120°

10.【新考法】如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE的长为              (　　)

A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.10

11.如图,▱ABCD的周长为20 cm,AE平分∠BAD,若CE=2 cm,则AB的长度是              (　　)

A.10 cm　　　　B.8 cm　　　　C.6 cm　　　　D.4 cm

12.如图,▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能为              (　　)

A.BE=DF　　　　B.BF=DE

C.AE=CF　　　　D.∠1=∠2

13.如图,在▱ABCD中,E、F为对角线AC上的两点,且BE∥DF,请从图中找出一对全等三角形:　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

14.如图,在平行四边形ABCD中,AB=,AD=4,将平行四边形ABCD沿AE翻折后,点B恰好与点C重合,则折痕AE的长为　　　　. 

15.如图,在▱ABCD中,E、F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,

∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为　　　　. 

16.在如图所示的▱ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于　　　　. 

17.在▱ABCD中,AD=BD,BE是AD边上的高,∠EBD=20°,则∠A的度数为　　　　. 

18.如图,在▱ABCD中,点E是BC上一点,过点E作直线EF,交AD于点F,分别交AB、CD的延长线于点G、H,且EG=FH.求证:BE=DF.

19.(2022浙江杭州滨江期末,20,)如图,在▱ABCD中,点E为边CD的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F.

(1)求证:△ADE≌△FCE;

(2)若AD=5,求BF的长.

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20.【推理能力】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形,其中A(4,0),B(6,2),将▱OABC沿x轴向下翻折再沿x轴正方向平移1个单位得▱O1A1B1C1,记为第1次操作;然后将▱O1A1B1C1沿x轴向上翻折再沿x轴正方向平移1个单位得▱O2A2B2C2,记为第2次操作;…….求第3次操作后,C点的对应点的坐标与第2 021次操作后,C点的对应点的坐标.

答案全解全析

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1.5

解析　①②③都是平行四边形,①与②组成的四边形也是平行四边形,①②③组成的四边形也是平行四边形,共有5个平行四边形.

2.解析　在四边形ABCD中,

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=∠C,∠B=∠D,

∴2∠A+2∠B=360°,2∠A+2∠D=360°.

∴∠A+∠B=180°,∠A+∠D=180°,

∴AD∥BC,AB∥CD,

∴四边形ABCD是平行四边形.

3.A　因为四边形ABCD是平行四边形,∠D=60°,所以∠B=∠D=60°,因为CE⊥AB,E为垂足,所以∠B+∠BCE=90°,所以60°+∠BCE=90°,解得∠BCE=30°.

4.B　∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=30°,

∴∠BAD=∠C=30°,

∵AE⊥CE,AF⊥CF,∠EAF+∠C+∠E+∠F=360°,

∴∠EAF+30°+90°+90°=360°,解得∠EAF=150°.

∵∠EAF=∠1+∠2+∠BAD,

∴∠1+∠2+30°=150°,∴∠1+∠2=120°.

5.B　因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AD=BC,因为AD=3,AB=2,所以▱ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=2(AD+AB)=10.

6.D　∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AB∥CD,CD=AB=6,AD=BC=4,

∴∠ABE=∠CEB,∠AFD=∠CDF,

∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC,

∴∠ABE=∠CBE,∠ADF=∠CDF,

∴∠CBE=∠CEB,∠ADF=∠AFD,

∴CE=BC=4,AF=AD=4,

∴DE=CD-CE=6-4=2,∴AF+DE=4+2=6.

故选D.

7.C　平行四边形具有不稳定性,容易变形.

8.1

解析　四边形不具有稳定性,要使四边形木架不变形,至少要再钉上1根木条.钉在对角线上,构成2个三角形,三角形具有稳定性,保证了四边形木架不变形.

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9.B　∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD,

∵∠A+∠C=220°,∴∠A=∠C=110°,∴∠B=180°-∠C=70°.故选B.

10.C　设AE与BF交于点O.

∵AF=AB,∠BAE=∠FAE,∴AE⊥BF,OB=BF=3.

在Rt△AOB中,AO==4.

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.

∴∠FAE=∠BEA,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE,∴AE=2AO=8,故选C.

11.D　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,

∴∠DAE=∠BEA,∵AE平分∠BAD,

∴∠DAE=∠BAE,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,设AB=CD=x cm,则AD=BC=(x+2)cm,∵▱ABCD的周长为20 cm,∴x+x+2=10,解得x=4,即AB=4 cm,故选D.

12.C　∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF,若BE=DF,可由SAS判定△ABE≌△CDF;若BF=DE,则BE=DF,可由SAS判定△ABE≌△CDF;若AE=CF,不能判定△ABE≌△CDF;若∠1=∠2,可由ASA判定△ABE≌△CDF,故选C.

13.△ABC≌△CDA或△ADF≌△CBE或△ABE≌△CDF

解析　在▱ABCD中,

BC=AD,AB=CD,∠CBA=∠ADC,

∴△ABC≌△CDA(SAS).

在▱ABCD中,CD=AB且CD∥AB,

∴∠DCF=∠BAE,

又∵BE∥DF,∴∠CFD=∠AEB,

∴△ABE≌△CDF(AAS).

由△ABE≌△CDF,可得∠AEB=∠CFD,

∴∠CEB=∠AFD,在▱ABCD中,AD=CB,AD∥BC,∴∠DAF=∠BCE,

∴△ADF≌△CBE(AAS).

故答案为△ABC≌△CDA或△ADF≌△CBE或△ABE≌△CDF.

14.3

解析　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴BC=AD=4,根据翻折的性质,

可知AE⊥BC,BE=CE=2,

在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==3,

故答案为3.

15.21°

解析　如图,∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,∴∠1=∠5,

∵∠ADF=90°,AE=EF,∴DE是△ADF的中线,

∴DE=AF=AE,∴∠1=∠2,∴∠5=∠2,

∵AE=CD,DE=AE,∴DE=CD,∴∠3=∠4,

∵∠3=∠1+∠2=2∠2,∴∠4=2∠2.

∵∠BCD=63°,∴∠5+∠4=63°,

即3∠2=63°,∴∠2=21°,即∠ADE=21°.

16.10

解析　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,CD=AB=2,∴∠DAC=∠ACB,

由折叠的性质可知,∠DAC=∠EAC,

∴∠ACB=∠EAC,∴OA=OC.

∵AE过BC的中点O,∴AO=BC,

∴∠BAC=90°,∴∠ACE=∠ACD=90°,

∴E、C、D三点共线,∴DE=2CD=4,

又∵AE=AD=3,

∴△ADE的周长为3+3+4=10.

17.55°或35°

解析　分两种情况:

(1)当E点在线段AD上时,如图所示,

∵BE是AD边上的高,∠EBD=20°,

∴∠ADB=90°-20°=70°,

∵AD=BD,

∴∠A=∠ABD==55°.

(2)当E点在AD的延长线上时,如图所示,

∵BE是AD边上的高,∠EBD=20°,∴∠BDE=70°,

∵AD=BD,∴∠A=∠ABD=×70°=35°.

故答案为55°或35°.

18.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,∠ABC=∠ADC,

∴∠G=∠H,∠EBG=∠FDH,

在△BEG和△DFH中,

∴△BEG≌△DFH(AAS).∴BE=DF.

19.解析　(1)证明:∵E是边CD的中点,∴DE=CE,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BF,∴∠D=∠DCF,

在△ADE和△FCE中,

∴△ADE≌△FCE(ASA).

(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=5,

∵△ADE≌△FCE,∴AD=CF=5,

∴BF=BC+CF=5+5=10.

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20.解析　由题意得,奇数次操作后,平行四边形在x轴的下方;偶数次操作后,平行四边形在x轴的上方.

∵四边形OABC是平行四边形,A(4,0),B(6,2),

∴点C的坐标为(2,2),

由题意得,每次操作后点C向右平移了一个单位,

∴第3次操作后,C点的对应点的坐标为(5,-2),第2 021次操作后,C点的对应点的坐标为(2 023,-2).