数学八年级下册4.2 平行四边形习题

第4章　平行四边形

4.2　平行四边形及其性质

第3课时　平行四边形的对角线的性质

基础过关全练

知识点　平行四边形对角线的性质

1.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,下列结论错误的是 (　　)

A.AB∥CD　　　 B.AB=CD

C.AC=BD　　　　D.OA=OC

2.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是              (　　)

A.AO=OD　　　　B.AO⊥OD

C.AO=OC　　　　D.AO⊥AB

3.【教材变式·P87例4变式】如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BC,AC=2,BD=4,则AB=　　　　. 

4.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OB,OD的中点,求证:AE=CF.

5.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB、DC于点E、F,连结AF、CE.若OE=3,求EF的长.

能力提升全练

6.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,且AB=3,则平行四边形ABCD的面积是              (　　)

A.3

7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=34,AB=10,则△OCD的周长是              (　　)

A.44　　　　B.27　　　　C.34　　　　D.17

8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=12,点P为BC上任意一点,连结PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连结PQ,则PQ的最小值为(提示:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)              (　　)

A.6　　　　B.4

9.在平行四边形ABCD中,已知AB=5,BC=3,对角线AC与BD相交于点O,则△ABO的周长比△BCO的周长多　　　　. 

10.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连结EC.若△CDE的周长为5,则AD+CD=　　　　. 

11.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AD⊥BD,DE⊥AC于点E,若AD=3,CD=,则DE=　　　　. 

12.如图,▱ABCD的对角线交于点O,过点O的直线EF交DC边于点E,交AB边于点F,已知▱ABCD的面积为32,则S△ADO+S△CEO+S△BFO=　　　　. 

13.已知平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点A在x轴上,对角线AC,OB交于点D.分别以点O,点B为圆心,大于BO的长为半径画弧,两弧交于点E,连结DE交BC于点F.若点A(6,0),点C(2,4),则点F的坐标为　　　　. 

14.在▱ABCD中,点O是对角线BD、AC的交点,点P是边AD上一点,连结PO并延长交BC于点Q.

(1)求证:OP=OQ;

(2)已知▱ABCD的面积是12,AP=1,PD=4,求四边形ODCQ的面积.

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15.【推理能力】在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,分别过点A,C作直线l的垂线,垂足分别为E,F,连结OE,OF.

(1)如图①,若直线l恰好经过点O,试判断线段OE与OF的数量关系并证明;

(2)若直线l不经过点O,请结合图②判断(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

                                          图①                 图②

答案全解全析

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1.C　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,OA=OC,

不能得出AC和BD相等,故选C.

2.C　由平行四边形的对角线互相平分可知,点O是AC的中点,所以选项C正确,故选C.

3.

解析　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AO=CO=1,BO=DO=2,

∵AC⊥BC,∴BC=,

∴AB=.

4.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OB=OD,OA=OC,

∵E,F分别是OB,OD的中点,

∴OF=OD,OE=OB,∴OE=OF,

在△AOE和△COF中,

∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF.

5.解析　∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AB∥CD,OD=OB,

∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO.

在△DOF与△BOE中,

∴△DOF≌△BOE(ASA),∴OE=OF,

∵OE=3,∴EF=6.

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6.D　已知△AOB是等边三角形,AB=3,

易求得S△AOB=,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴S▱ABCD=4S△AOB=9.

7.B　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AO=CO,BO=DO,AB=CD=10,

∵AC+BD=34,∴CO+DO=17,

∴△OCD的周长=OC+OD+CD=27.

8.D　设PQ与AC交于点O,如图,作OP'⊥BC于点P'.

∵四边形PAQC是平行四边形,∴OA=OC,OP=OQ.

易知当点P与P'重合时,OP的长最小,此时PQ的值最小,

在Rt△ABC中,∠B=60°,∴∠ACB=30°,

∴BC=2AB=24,

∴AC=,

∵四边形PAQC是平行四边形,∴OA=OC=6,

∵OP'⊥BC,∠ACB=30°,∴OP'=.

∴PQ的最小值=2OP'=6.故选D.

9.2

解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,

∴△ABO的周长比△BCO的周长多(AB+OB+OA)-(BC+OC+OB)

=AB-BC=5-3=2.

10.5

解析　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,AB=CD,AD=BC,

∵OE⊥AC,∴AE=CE,

∴AD+CD=AE+ED+CD=CE+ED+CD=5.

11.

解析　在▱ABCD中,BO=DO,AB=CD=,AD=3,

∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°,∴BD==8,

∴OD=BD=4,∴AO==5,

∵DE⊥AO,∴DE=.

12.16

解析　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥DC,BO=DO,∴∠EDO=∠FBO,

在△DOE与△BOF中,

∴△DOE≌△BOF(ASA),

∴△DEO的面积=△BFO的面积,

∴S△ADO+S△CEO+S△BFO=S△ADO+S△CEO+S△DEO

=S△ACD=×32=16.

13.(3,4)

解析　连结OF,延长BC交y轴于点M,

则MC⊥y轴,∵四边形OABC是平行四边形,

∴OD=BD,OA=BC,

∵DE垂直平分线段OB,∴OF=BF,

∵点A(6,0),点C(2,4),

∴BC=OA=6,CM=2,OM=4,

设CF=x,则OF=BF=6-x,

在Rt△OMF中,MF2+OM2=OF2,

即(2+x)2+42=(6-x)2,解得x=1,

∴FM=CM+CF=3,∴点F的坐标为(3,4).

14.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AO=CO,

∴∠PAO=∠QCO,∠APO=∠CQO,

在△AOP和△COQ中,

∴△APO≌△CQO(AAS),∴OP=OQ.

(2)∵点O是平行四边形的对角线BD、AC的交点,

∴S△AOD=S△COD=×12=3,

∵AP=1,PD=4,

∴S△AOP=×3=0.6,

又∵△APO≌△CQO,

∴S△APO=S△CQO=0.6,

∴四边形ODCQ的面积=3+0.6=3.6.

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15.解析　(1)OE=OF.

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,

∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠AEO=∠CFO=90°,

在△AEO和△CFO中,

∴△AEO≌△CFO(AAS),∴OE=OF.

(2)OE=OF仍然成立.证明:如图,延长FO与AE相交于点G,

∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴AE∥CF,∴∠GAO=∠FCO,

在△AGO和△CFO中,

∴△AGO≌△CFO(ASA),∴OG=OF,

又∵∠AEF=90°,∴OE是Rt△GFE斜边的中线,

∴EO=GF=OF.