高一下学期数学微专题25讲 17.轨迹与截线型动态问题

4.定长型动态问题

对于定长型动点问题，即空间中动点满足到某个定点的距离为定值，其实由球的定义可知，动点的轨迹即以定点为球心，定长为半径的球.另一方面动点会在某个其他平面上运动，所以，这实际就是一个球的截线问题. 处理这样问题的关键点有两个：第一，找到球在这个面的边界点（利用已知数据计算），第二，找到这个截面的外接圆圆心，其利用球的截面性质来算，做到上述两点，这个问题就基本上能够解决！当然，坐标法也是一个不错的手段，等会例题中将会体现.

一．典例分析

例1.（2020新高考1卷）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

解析：如图：

解析：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，

<找到球在这个面的边界点（利用已知数据计算）>.

，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得. 故答案为：.

其实，相关问题亦可用向量法来解决，下面我们看一下相关例子.

例2.已知正方体的棱长为，过顶点的平面为，点是平面内的动点，，则点的轨迹长度等于（       ）

A． B． C． D．

解析：如图建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离，设点在平面的射影为，即，又，所以，是边长为的等边三角形，其内切圆半径为，所以为以为圆心，半径的圆上，

所以点的轨迹长度为；故选：B

注：此题亦可用几何法算得，球与面的边界点分别是的中点，三角形的外接圆圆心为其中心.

例3. 在四棱锥中，面四边形是边长为的正方形，且．若点分别为的中点，则直线被四棱锥的外接球所截得的线段长为_____．

解法1. 如图所示：因为面四边形是正方形，

所以均为以为斜边的直角三角形，所以外接球的球心O为PC的中点，则 ,

取EF的中点G,因为，

所以 ，则，所以，

所以球心到直线的距离为，所以，

所以所截得的线段长为，故答案为：.

这个几何证法可以让很多学生望洋兴叹，下来我们再尝试用例1所总结的向量方法来计算. 即计算球心与截线上两个特殊点所构成的的高线长.

解法2.以为原点，所在直线分别为轴，所需各点坐标为，则，则为边长是的等边三角形，则点到直线的距离，最后所截得的线段长为.

两个方法，高低立现，所以我们在处理一些立体几何的选题压轴题时，多去尝试用向量的方法来解决可以着实提高很多学生的解题能力.