高一下学期数学微专题25讲 20.立体几何中常见的一些“补形”与“等效”技巧

立体几何中常见的一些“补形”与“等效”技巧

一.将正四面体放在正方体中

主要结论：

1.正四面体的每一个面是正三角形，反之亦然.

2.正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体.

3.正四面体的对棱中点的连线都互相垂直且相等，等于棱长的倍，反之亦真.

4.正四面体的外接球与正方体外接球相同.

例1．已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论：

①线段的长度为1；

②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；

③的余弦值的取值范围为；

④周长的最小值为．

其中正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：由于是一个正四面体，所以可以通过正方体来解决该问题.

对于①，可根据分别为正方体前后两个面的中心可得出结论：正确

对于②，取为的中点，取为的中点，此时与相交：错误

对于③，计算可得，由逼近思想可作出判断：正确

对于④，空间问题平面化的技巧，将三角形与放在同一平面上，可计算出，正确

例2．如图，已知四面体为正四面体，分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为.

A． B． C． D．

解析：补成正方体，如图.∴截面为平行四边形,可得，

又 且 可得当且仅当时取等号，选A.

二．对棱相等的四面体

四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．

如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得：

而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．

例3．在四面体中， 分别是的中点．则下述结论：

①四面体的体积为；

②异面直线所成角的正弦值为；

③四面体外接球的表面积为；

④若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为．

其中正确的有_____．（填写所有正确结论的编号）

解析：根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为，，解得，补成长，宽，高分别为的长方体，在长方体中：

①四面体的体积为，故正确

②异面直线所成角的正弦值等价于边长为的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为，故错；

③四面体外接球就是长方体的外接球，半径，其表面积为，故正确；

④由于，故截面为平行四边形，可得，

设异面直线与所成的角为，则，算得，

．故正确．

故答案为：①③④．

三．墙角四面体

墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：

例4．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则三棱锥B－ACD的外接球的表面积为(　　)

A．5π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．10π　　　　　　　　D．34π

解析：依题意，在三棱锥B－ACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD＝4，BD＝CD＝3，

因此可将三棱锥B­ACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R＝＝，故三棱锥B－ACD的外接球的表面积为4πR2＝34π

例5．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________.

解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，

则正方体的体对角线长即为球O的直径．∴CD＝＝2R，因此R＝，故球O的体积V＝＝π.

四．圆锥等效于正棱锥，

1.如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等

2.侧棱，底面半径，圆锥的高构成勾股定理.

3.斜高，底面内切圆半径，圆锥的高构成勾股定理.

例6（2020全国1卷）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

解析：（1）由题设，知为等边三角形，设，

则，，所以，

又为等边三角形，则，所以，

，则，所以，

同理，又，所以平面；

五．异面直线计算中的补形

例7．如图，在四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC=2，AB=CD=，且异面直线AB与CD所成的角为，则四面体ABCD的外接球的表面积为_________.

解析：将四面体补形为直三棱柱如下图所示（设为直三棱柱上下底面三角形的外接圆圆心）：

图（1）中，图（2）中，

在图（1）（2）中可知：，所以平面，

图（1）（2）中取的中点，连接，则为四面体的外接球的球心，为外接球的半径，

图（1）中，且为等边三角形，所以，

所以，所以外接球的表面积为；

图（2）中，，且为等边三角形，所以，

所以，所以外接球的表面积为；

故答案为：或.