人教版八年级下册数学期中模拟试卷（含解析）

这是一份人教版八年级下册数学期中模拟试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

八年级下册数学期中模拟试卷
（时间120分钟 满分120分） 姓名： . 得分： .
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 二次根式中x的取值范围是（    ）
A．x> 3       B．x³3         C．x£3         D．x<3
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）
A．       B．       C．       D．
3. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，2       B．1，1，    C．4，5，6     D．1，，2
4.如图， ▱ ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，下列说法正确的是（ ）

A.若 OB ＝ OD ，则 ▱ ABCD 是菱形 B .若 AC ＝ BD ，则 ▱ ABCD 是菱形
C.若 OA ＝ OD ，则 ▱ ABCD 是菱形 D .若 AC ⊥ BD ，则 ▱ ABCD 是菱形
5.一次函数的图象经过第二、三、四象限，则化简所得的结果是(    )
A．         B．        C．     D．
6.王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”.则数轴上点A所表示的数是（    ）

A．－1     B．－＋1     C．        D．－
7.下列图象中，表示 是 的函数的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
8.如图，将一个边长为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（ 　　）

A．        B．      C．        D．
9.如图，三角形纸片 ABC 中， ∠ BAC ＝ 90° ， AB ＝ 2 ， AC ＝ 3 ．沿过点 A 的直线将纸片折叠，使点 B 落在边 BC 上的点 D 处；再折叠纸片，使点 C 与点 D 重合，若折痕与 AC 的交点为 E ，则 AE 的长是（ ）

A. B . C. D.

10.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板 ABCD 中， BD 为对角线， E ， F 分别为 BC ， CD 的中点， 分别交 BD ， EF 于 O ， P 两点， M ， N 分别为 BO ， DC 的中点，连接 AP ， NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法： ① 图中的三角形都是等腰直角三角形； ② 四边形 MPEB 是菱形； ③ 四边形 PFDM 的面积占正方形 ABCD 面积的 ．正确的有（ ）

A.只有 ① B.①② C ． ①③ D ． ②③
二、填空题（每小题3分，共18分）.
11.将函数的图象向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为______.
12.在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量呈正比，某弹簧不挂物体时长15cm，当所挂物体质量为3kg时，弹簧长16.8cm．写出弹簧长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数表达式_________
13.已知直角三角形的两边a，b满足，则△ABC的面积为______．
14.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为________


15.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4cm，CD=1cm，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，至A点结束，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为      秒。

16.如图，直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-2．则下列结论：①m＜0，n＞0；②直线y=nx+4n一定经过点（-4，0）；③m与n满足m=2n-2；④当x＞-2时，nx+4n＞-x+m，其中正确结论的个数是____个．

三、解答题（本题共8小题，满分68分，解答题需写出文字说明，推过程和演算步骤）
17. 计算（1）    （2）



18.如图，四边形 中， AB DC ， ， 于点 ．
(1) 用尺规作 的角平分线，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 连接 ．求证：四边形 是菱形．





19.如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，点 是 的中点，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
(1) 求证： ；
(2) 试判断四边形 的形状，并写出证明过程．






20.某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表
（单位：台）
10
20
30
（单位：万元/台）
60
55
50
（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．则当该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）




21.如图，在 △ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 在 △ABC 内， AE 平分 ∠BAC ， CE⊥AE 点 F 在 AB 上，且 BF=DE
（1）求证：四边形 BDEF 是平行四边形
（2）线段 AB ， BF ， AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论








22.如图所示，在平行四边形ABCD纸片中，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻折得到△AB′C且点B、A、B'处于同一直线上，
（1）求证：以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形．
（2）若四边形ABCD的面积为12cm²，求翻折后纸片重叠部分的面积．

 






23已知：如图一次函数y1=﹣x﹣2与y2=x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1=﹣x﹣2与y2=x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．








24.如图， 中， ， 相交于点 ， ， 分别是 ， 的中点．

(1) 求证： ；
(2) 设 ，当 为何值时，四边形 是矩形？请说明理由．







============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”，列不等式求解．
【详解】
根据题意，得3−x≥0，解得x≤3．
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式的性质．
2、 D
【分析】
根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】
A、不是最简二次根式，故本选项错误；B、不是最简二次根式，故本选项错误；
C、不是最简二次根式，故本选项错误；D、是最简二次根式，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了对最简二次根式的定义的应用，注意：判断一个根式是最简二次根式，必须满足两个条件：①被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数，②被开方数不含有分母，分母中不含有根号．
3、 D
【解析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵12+22＝5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；
B、∵12+12＝2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；
C、∵42+52＝41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；
D、∵12+（）2＝4＝22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
4、 D
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解： A . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD ，故选项 A 不符合题意；
B . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， AC = BD ，
∴▱ ABCD 是矩形，故选项 B 不符合题意；
C . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC = AC ， OB = OD = BD ，
∵ OA = OD ，
∴ AC = BD ，
∴▱ ABCD 是矩形，故选项 C 不符合题意；
D. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， AC ⊥ BD ，
∴▱ ABCD 是菱形，故选项 D 符合题意；
故选： D ．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
5、 D
【分析】
根据题意可得﹣m＜0，n＜0，再进行化简即可．
【详解】
∵一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限，
∴﹣m＜0，n＜0，
即m＞0，n＜0，
∴
＝|m﹣n|+|n|
＝m﹣n﹣n
＝m﹣2n，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.
6、 A
【解析】
先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出-1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
【详解】
数轴上正方形的对角线长为：，由图中可知-1和A之间的距离为．
∴点A表示的数是-1．
故选A．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
7、 D
【分析】根据函数的概念，对于自变量 的每一个值，因变量 都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【详解】解： A 、对于自变量 的每一个值，因变量 不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示 是 的函数，故 A 不符合题意；
B 、对于自变量 的每一个值，因变量 不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示 是 的函数，故 B 不符合题意；
C 、对于自变量 的每一个值，因变量 不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示 是 的函数，故 C 不符合题意；
D 、对于自变量 的每一个值，因变量 都有唯一的值与它对应，所以能表示 是 的函数，故 D 符合题意；
故选： D ．
【点睛】主要考查了函数图象和概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直 x 轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
8、 D
【详解】
根据折叠的性质知，四边形AFEB与四边形FDCE全等，有EC=AF=AE，
由勾股定理得，AB2+BE2=AE2即42+（8﹣AE）2=AE2，解得，AE=AF=5，BE=3，
作EG⊥AF于点G，则四边形AGEB是矩形，有AG=3，GF=2，GE=AB=4，由勾股定理得EF=．
故选D．

9、 A
【分析】根据题意可得 AD = AB = 2 ， ∠ B = ∠ ADB ， CE = DE ， ∠ C =∠ CDE ，可得 ∠ ADE = 90° ，继而设 AE = x ，则 CE = DE =3- x ，根据勾股定理即可求解．
【详解】解： ∵ 沿过点 A 的直线将纸片折叠，使点 B 落在边 BC 上的点 D 处，
∴ AD = AB = 2 ， ∠ B = ∠ ADB ，
∵ 折叠纸片，使点 C 与点 D 重合，
∴ CE = DE ， ∠ C =∠ CDE ，
∵∠ BAC = 90° ，
∴∠ B + ∠ C = 90° ，
∴∠ ADB + ∠ CDE = 90° ，
∴∠ ADE = 90° ，
∴ AD 2 + DE 2 = AE 2 ，
设 AE = x ，则 CE = DE =3- x ，
∴2 2 +(3- x ) 2 = x 2 ，
解得
即 AE =
故选 A
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
10、 C
【分析】先根据正方形的性质和中位线定理证明图中所有三角形是等腰直角三角形，再证明四边形 MPEB 是平行四边形但不是菱形，最后再证明四边形 PFDM 的面积占正方形 ABCD 面积的 即可．
【详解】解： ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ ABO ＝ ∠ ADB ＝ ∠ CBD ＝ ∠ BDC ＝ 45° ， ∠ BAD ＝ ∠ BCD ＝ 90° ，
∴△ ABD 、 △ BCD 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴∠ APF ＝ ∠ APE ＝ 90° ，
∵ E ， F 分别为 BC ， CD 的中点，
∴ EF 是 △ BCD 的中位线， CE ＝ BC ， CF ＝ CD ，
∴ CE ＝ CF ，
∵∠ C ＝ 90° ，
∴ △ CEF 是等腰直角三角形，
∴ EF BD ， EF ＝ BD ，
∴∠ APE ＝ ∠ AOB ＝ 90° ， ∠ APF ＝ ∠ AOD ＝ 90° ，
∴ △ ABO 、 △ ADO 是等腰直角三角形，
∴ AO ＝ BO ， AO ＝ DO ，
∴ BO ＝ DO ，
∵ M ， N 分别为 BO ， DO 的中点，
∴ OM ＝ BM ＝ BO ， ON ＝ ND ＝ DO ，
∴ OM ＝ BM ＝ ON ＝ ND ，
∵∠ BAO ＝ ∠ DAO ＝ 45° ，
∴ 由正方形是轴对称图形，则 A 、 P 、 C 三点共线， PE ＝ PF ＝ EF ＝ ON ＝ BM ＝ OM ，
连接 PC ，如图，

∴ NF 是 △ CDO 的中位线，
∴ NF AC ， NF ＝ OC ＝ OD ＝ ON ＝ ND ，
∴∠ ONF ＝ 180° － ∠ COD ＝ 90° ，
∴∠ NOP ＝ ∠ OPF ＝ ∠ ONF ＝ 90° ，
∴ 四边形 FNOP 是矩形，
∴ 四边形 FNOP 是正方形，
∴ NF ＝ ON ＝ ND ，
∴△ DNF 是等腰直角三角形，
∴ 图中的三角形都是等腰直角三角形；
故 ① 正确，
∵ PE BM ， PE ＝ BM ，
∴ 四边形 MPEB 是平行四边形，
∵ BE ＝ BC ， BM ＝ OB ，
在 Rt △ OBC 中， BC ＞ OB ，
∴ BE ≠ BM ，
∴ 四边形 MPEB 不是菱形；
故 ② 错误，
∵ PC ＝ PO ＝ PF ＝ OM ， ∠ MOP ＝ ∠ CPF ＝ 90° ，
∴△ MOP ≌△ CPF （ SAS ），
∴


，
故 ③ 正确，
故选： C
【点睛】此题考查了七巧板，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
11. y=2x﹣3
【分析】
根据“上加下减”的平移原理，结合原函数解析式即可得出结论．
【详解】
根据“上加下减”的原理可得：
函数y=2x的图象向下平移3个单位后得出的图象的函数解析式为y=2x﹣3．
故答案为：y=2x﹣3．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移原理找出平移后的函数解析式．
12. L=0.6x+15．
【考点】根据实际问题列一次函数关系式．
【分析】根据题意可知，弹簧总长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系，可设y=kx+15．代入求解．
【解答】解：设弹簧总长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系为L=kx+15．
由题意得 16.8=3k+15，解得k=0.6，
所以该一次函数解析式为L=0.6x+15．
故答案为L=0.6x+15．
【点评】主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，掌握待定系数法是解题的关键．
13.6或
【分析】
根据非负性求出a,b,再根据c的情况分类讨论即可求解．
【详解】
∵
∴
∴
∴a-5=0,b-3=0
故a=5,b=3
当c是直角边时，c=，三角形的面积为×3×4=6；
当c是斜边时，三角形的面积为×3×5= ；
故答案为6或．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及非负数的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
14. 16
【解析】
延长AB和DC，两线交于O，求出OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，解直角三角形得出方程，求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积即可．
【详解】
解：延长AB和DC，两线交于O，
∵∠C=90°，∠ABC=135°，
∴∠OBC=45°，∠BCO=90°，
∴∠O=45°，
∵∠A=90°，
∴∠D=45°，
则OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，
设BC=OC=x，则BO=x，
∵CD=6，AB=2，
∴6+x=（x+2），
解得：x=6-2，
∴OB=6-4，BC=OC=6-2，OA=AD=2+6-4=6-2，
∴S四边形ABCD=S△OAD-S△OBC
=OA•AD-BC•OC
=
=16，
故答案为16．

【点睛】
本题考查了勾股定理和三角形的面积，正确添加辅助线构建直角三角形、求出BC的长度是解此题的关键．
15. 或或或。
【考点】单动点问题，相等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。
【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4cm，∴∠ABC=45°，AB=（cm）。
∵BC=4cm，CD=1cm，∴BD=3cm。
若∠DEB=90°，则BE=BD=（cm）。

16. 4
【分析】
①由直线y＝−x＋m与y轴交于负半轴，可得m＜0；y＝nx＋4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，可得n＞0，即可判断结论①正确；
②将x＝−4代入y＝nx＋4n，求出y＝0，即可判断结论②正确；
③代入交点坐标整理即可判断结论③正确；
④观察函数图象，可知当x＞−2时，直线y＝nx＋4n在直线y＝−x＋m的上方，即nx＋4n＞−x＋m，即可判断结论④正确．
【详解】
①∵直线y＝−x＋m与y轴交于负半轴，∴m＜0；
∵y＝nx＋4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，∴n＞0，
故结论①正确；
②将x＝−4代入y＝nx＋4n，得y＝−4n＋4n＝0，
∴直线y＝nx＋4n一定经过点（−4，0）．
故结论②正确；
③∵直线y＝−x＋m与y＝nx＋4n（n≠0）的交点的横坐标为−2，
∴当x＝−2时，y＝2＋m＝−2n＋4n，
∴m＝2n−2．
故结论③正确；
④∵当x＞−2时，直线y＝nx＋4n在直线y＝−x＋m的上方，
∴当x＞−2时，nx＋4n＞−x＋m，
故结论④正确．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与一元一次不等式以及一次函数的图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
三、解答题
17.（1）（2）
【分析】
（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；   
（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解．
【详解】
（1）  
=
=
（2）
=
=
=
=．
【点睛】
此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．
18.(1) 见解析
(2) 见解析
【分析】（ 1 ）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（ 2 ）由角平分线的定义和平行线的性质求出 ，可得 ，求出 ，可得四边形 ABCE 为平行四边形，再结合 AB ＝ BC ，可证得四边形 ABCE 为菱形．
（ 1 ）
解：如图所示．

（ 2 ）
证明： 是 的角平分线，
，
∵ AB CD ，
，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
平行四边形 为菱形．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键．
19.(1) 见解析
(2) 矩形，见解析
【分析】（ 1 ）由题意得 ，根据平行线的性质得 ，用 ASA 即可证明 ；
（ 2 ）根据全等三角形的性质得 ，即可得 四边形 为平行四边形，根据菱形的性质得 ， 即 ，即可得．
【详解】（ 1 ） 证明： 点 是 的中点，
，
又
，
在 和 中，
，
；
（ 2 ） 四边形 为矩形，证明如下：
证明： ，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
又 四边形 为菱形，
，
即 ，
四边形 为矩形．
【点睛】 本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
20.（1）y＝−0.5x＋65（10≤x≤70，且为整数）（2）200万元
【分析】
（1）根据函数图象和图象中的数据可以求得y与x的函数关系式；
（2）根据函数图象可以求得z与a的函数关系式，然后根据题意可知x＝40，z＝40，从而可以求得该厂第一个月销售这种机器的总利润．
【详解】
（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
，得，
即y与x的函数关系式为y＝−0.5x＋65（10≤x≤70，且为整数）；
（2）设z与a之间的函数关系式为z＝ma＋n，
，得，
∴z与a之间的函数关系式为z＝−a＋90，
当z＝40时，40＝−a＋90，得a＝50，
当x＝40时，y＝−0.5×40＋65＝45，
40×50−40×45＝2000−1800＝200（万元），
答：该厂第一个月销售这种机器的总利润为200万元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
21.（ 1 ）见解析；（ 2 ） ，理由见解析
【分析】
（ 1 ）延长 CE 交 AB 于点 G ，证明 ，得 E 为中点，通过中位线证明 DE AB ，结合 BF=DE ，证明 BDEF 是平行四边形
（ 2 ）通过 BDEF 为平行四边形，证得 BF=DE= BG ，再根据 ，得 AC=AG ，用 AB-AG=BG ，可证
【详解】
（ 1 ）证明：延长 CE 交 AB 于点 G

∵AE CE
∴
在 和

∴
∴GE=EC
∵BD=CD
∴DE 为 的中位线
∴DE AB
∵DE=BF
∴ 四边形 BDEF 是平行四边形
（ 2 ）
理由如下：
∵ 四边形 BDEF 是平行四边形
∴BF=DE
∵D ， E 分别是 BC ， GC 的中点
∴BF=DE= BG
∵
∴AG=AC
BF= （ AB-AG ） = （ AB-AC ）．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．
22.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB平行且等于CD．
∵△AB′C是由△ABC翻折得到的，AB⊥AC，
∴AB=AB′，点A、B、B′在同一条直线上．
∴AB′∥CD，
∴四边形ACDB′是平行四边形．
∵B′C=BC=AD．
∴四边形ACDB′是矩形．
（2）解：由四边形ACDB′是矩形，得AE=DE．
∵S▱ABCD=12cm2，
∴S△ACD=6cm2，
∴S△AEC=S△ACD=3cm2．
 
23.【解答】解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1=0时，﹣x﹣2=0，x=﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2=时，x﹣4=0，x=4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC=4﹣（﹣2）=6，
∴△ABC的面积=×6×3=9；
（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1．
24.(1) 证明见解析
(2) 当 时，四边形 是矩形，理由见解析
【分析】（ 1 ）连接 ，先根据平行四边形的性质可得 ，再根据线段中点的定义可得 ，然后根据平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；
（ 2 ）先根据矩形的判定可得当 时，四边形 是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得 ，由此即可得出 的值．
【详解】（ 1 ）证明：如图，连接 ，

四边形 是平行四边形，
，
分别是 ， 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
．
（ 2 ）解：由（ 1 ）已证：四边形 是平行四边形，
要使平行四边形 是矩形，则 ，
，
，即 ，
，
故当 时，四边形 是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．