2020届河南省郑州市高三高中毕业年级第二次质量预测数学（理）试题 PDF版

2020年高中毕业年级第二次质量预测

理科数学  评分参考

一、选择题

BCCCA    ABBBD   CC

二、填空题

 13.160；       14.8；       15.3；       16.

三、解答题

17.(1)设等差数列的公差为，则……………………3分

解得 ………………5分

(2)由

当时，

=        …………………………8分

对也适合，                            ………………………9分

…………………10分

  12分

18. (I)作出列联表：

………………………3分

由列联表数据代入公式得，…………………5分

因为1.83<2.706，

故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分

(Ⅱ) 用A表示“至少有1人在青春组”，则.   ……………    8分

(III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是服从二项分布.

………………………10分

显然的取值为0，1，2，3,  4 . 且.

所以得分布列为：

数学期望   …………………………12分

19.（Ⅰ）设点在平面上的射影为点，连接，则平面，

∴.………………………………………………………………………2分

∵四边形是矩形，∴，∴平面，∴.

………………………………………………………………………………………4分

又，所以平面，而平面，∴平面平面.

………………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，∴，.

由（Ⅰ）知，又，∴，，

∴，，，

∴，∴，.………………8分

设平面的一个法向量为，

则，即

不妨取，则，，∴.

而平面的一个法向量为，…………………………………………10分

∴.

故二面角的余弦值为.…………………………………………………12分

20.解(I)设，由题意，， ……………………………2分

化简得，…（3分）所以，动点的轨迹的方程为… 4分

(Ⅱ)解：设，，则由斜率之积，得，………6分

，因为点在椭圆上，

所以化简得． …………………………8分

直线的方程为，原点到直线的距离为

所以，的面积，

根据椭圆的对称性，四边形的面积，……10分

所以，

，所以

所以，四边形的面积为定值12．    ……………………………………12分

21.解析：（Ⅰ）当时，曲线

  ………………………2分

时，切线的斜率为，又切线过点

所以切线方程为…………………………4分

（Ⅱ），

………5分

当时，，函数在上单调递减；………………………7分

当时，令，

当时，即，，此时，函数在上单调递增;

当时，即，方程有两个不等实根，

所以，

此时，函数在上单调递增；在上单调递减.……………11分

综上所述，当时，的单减区间是；

当时，的单减区间是，

单增区间是

当时，单增区间是.………………………12分

22.（Ⅰ）C的直角坐标方程为，  ………………………2分

消t得到………………………………………4分

（Ⅱ）要满足弦及圆的半径为a可知只需圆心（0，a）到直线l的距离即可。由点到直线的距离公式有：…………7分

整理得：即解得：，

故实数a的取值范围为……………………………………10分

23.解：（Ⅰ）当a＝－2时，f(x)＝………………………3分

        由f(x)的单调性及f(－)＝f(2)＝5，

得f(x)＞5的解集为{x|x＜－，或x＞2}．……………………………………5分

（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥          ………………………7分

由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1|

得≤，得a≥．  

   故a的最小值为．      ………………………………10分