北师大版数学八年级下册期中模拟考试精品练习（含详细解析）

这是一份北师大版数学八年级下册期中模拟考试精品练习（含详细解析），共24页。
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在下列四个图案中，不能用平移变换来分析其形成过程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列各选项中，因式分解正确的是（　　）
A．（a2+b2）＝（a+b）2 B．x2﹣4＝（x﹣2）2
C．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 D．﹣2y2+6y＝﹣2y（y+3）
4．（3分）如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（　　）

A．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
B．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
C．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
D．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
5．（3分）利用函数y＝ax+b的图象解得ax+b＜0的解集是x＜﹣2，则y＝ax+b的图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（　　）

A．点E B．点F C．点G D．点H
7．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，则点D到AB的距离是（　　）

A．3 B．4 C．7（） D．7（）
8．（3分）当3≤5﹣3x＜9时，不等式组的非负整数解为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2
C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D．任何一个定理都对应一个逆定理
10．（3分）在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4.5，有下列结论：①AE∥BC；②∠ADE＝∠BDC；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：2ax2﹣4axy+2ay2＝　 　．
12．（3分）等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为75°，则等腰三角形的顶角的大小为　 　．
13．（3分）下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有 　 　.（填序号）
①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．
14．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝48°，则∠ACB＝　 　．

15．（3分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　 　．
16．（3分）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　 　．

17．（3分）如图，在等边△ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为　 　．

18．（3分）制作糕点的张师傅现有面粉460千克，武汉成为新冠肺炎的重灾区后，张师傅想把这些面粉制作成A、B两种型号的糕点，装盒后送给武汉的医护人员，已知每盒可以装2块A和4块B，而制作1块A需要0.05千克的面粉，制作1块B需要0.02千克面粉，每盒都装满，他最多能制作这样的糕点　 　盒．
三．解答题（共46分，写出必要解题步骤）
19．解不等式、不等式组：
（1）解不等式：x﹣＜，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解．
20．如图，已知△ABC和点，求作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，保留作图痕迹，不要求写过程．

21．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．

22．甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按85%收费，在乙商店累计超过100元后，超出部分按照90%收费．
（1）若小明妈妈准备用160元去购物，你建议小明妈妈去　 　商场花费少（直接写出“甲”或“乙”）；
（2）设顾客累计了购物花费x（x＞200）元，若在甲商场购物，则实际花费　 　元，若在乙商场购物，则实际花费　 　元．（均用含x的式子表示）；
（3）在（2）的情况下，请根据两家商场的优惠活动方案，讨论顾客到哪家商场购物花费少？说明理由．
23．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．
（1）上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次；
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　；
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　 　．
（4）请利用以上规律计算：（1+2x）3．
24．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数　 　；
②线段OD的长　 　；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．


参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在下列四个图案中，不能用平移变换来分析其形成过程的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】利用平移设计图案．菁优网版权所有
【分析】根据图形平移的性质进行解答即可．
【解答】解：由图可知，ACD三个图形通过平移而成，B中图案通过旋转而成．
故选：B．
【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性状的性质是解答此题的关键．
2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＜2，
在数轴上表示不等式的解集是：

故选：D．
【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
3．（3分）下列各选项中，因式分解正确的是（　　）
A．（a2+b2）＝（a+b）2 B．x2﹣4＝（x﹣2）2
C．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 D．﹣2y2+6y＝﹣2y（y+3）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；
C、原式＝（m﹣2）2，符合题意；
D、原式＝﹣2y（y﹣3），不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（3分）如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（　　）

A．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
B．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
C．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
D．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【分析】观察图象可知，先把△ABC绕着点C顺时针方向90°旋转，然后再向下平移5个单位即可得到．
【解答】解：根据图象知，把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可得到△DEF，
故选：D．
【点评】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．
5．（3分）利用函数y＝ax+b的图象解得ax+b＜0的解集是x＜﹣2，则y＝ax+b的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据一次函数与一元一次不等式得到当x＜﹣2时，直线y＝ax+b的图象在x轴下方，然后对各选项分别进行判断．
【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集是x＜﹣2，
∴当x＜﹣2时，函数y＝ax+b的函数值为负数，即直线y＝ax+b的图象在x轴下方．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（　　）

A．点E B．点F C．点G D．点H
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵BF＝AF＝CF＝＝，
∴到△ABC三个顶点距离相等的点是F，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的求出BF＝AF＝CF是解题的关键．
7．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，则点D到AB的距离是（　　）

A．3 B．4 C．7（） D．7（）
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【分析】作DH⊥AB于H，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC＝BC＝7，∠B＝45°，再根据角平分线的性质得到DH＝DC，则BD＝7﹣DH，接着判断△BDH为等腰直角三角形得到BD＝DH，即7﹣DH＝DH，然后求出DH即可．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝7，∠B＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴DH＝DC，
∴BD＝7﹣DH，
∵∠B＝45°，∠BHD＝90°，
∴△BDH为等腰直角三角形，
∴BD＝DH，即7﹣DH＝DH，
∴DH＝7﹣7，
即点D到AB的距离7﹣7．
故选：C．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰直角三角形．
8．（3分）当3≤5﹣3x＜9时，不等式组的非负整数解为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【分析】首先解3≤5﹣3x＜9得到x的取值，然后求得不等式组的解集，最后即可求得确定非负整数解．
【解答】解：由3≤5﹣3x＜9解得，﹣＜x≤，
方程组，
解①得：x＜2，
解②得x＜4．
则不等式组的解集是x＜2．
故非负整数解是0，
故选：D．
【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2
C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D．任何一个定理都对应一个逆定理
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【分析】A、B根据平移变换的性质判断即可；
C、根据中心对称变换的性质判断即可；
D、根据定理，逆定理的定义判断即可．
【解答】解：A、平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小，是假命题，本选项不符合题意；
B、在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2，是假命题，本选项不符合题意；
C、在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，是真命题，本选项符合题意；
D、任何一个定理都对应一个逆定理，是假命题，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了命题与定理，解题的关键是掌握真命题与假命题的定义，能根据有关性质对命题的真假进行判断．根据真命题与假命题的定义分别进行判断即可求出答案；正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
10．（3分）在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4.5，有下列结论：①AE∥BC；②∠ADE＝∠BDC；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】根据等边三角形的性质得∠ABC＝∠C＝60°，AC＝BC＝5，再利用旋转的性质得∠BAE＝∠C＝60°，AE＝CD，则∠BAE＝∠ABC，于是根据平行线的判定可对①进行判断；由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到∠DBE＝60°，BD＝BE＝4.5，则根据边三角形的判定方法得到△BDE为等边三角形，于是可对③进行判断；根据等边三角形的性质得∠BDE＝60°，DE＝DB＝4.5，然后说明∠BDC＞60°，则∠ADE＜60°，于是可对②进行判断；最后利用AE＝CD，DE＝BD＝4.5和三角形周长定义可对④进行判断．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AC＝BC＝5，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE＝∠C＝60°，AE＝CD，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，所以①正确；
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠DBE＝60°，BD＝BE＝4.5，
∴△BDE为等边三角形，所以③正确，
∴∠BDE＝60°，DE＝DB＝4.5，
在△BDC中，∵BC＞BD，
∴∠BDC＞∠C，即∠BDC＞60°，
∴∠ADE＜60°，所以②错误；
∵AE＝CD，DE＝BD＝4.5，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+CD+DB＝AC+BD＝5+4.5＝9.5，所以④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
二．填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：2ax2﹣4axy+2ay2＝　2a（x﹣y）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】原式提取2a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（x2﹣2xy+y2）＝2a（x﹣y）2，
故答案为：2a（x﹣y）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为75°，则等腰三角形的顶角的大小为　40°或80°　．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】设∠ABC＝∠C＝2x°，求出∠ABD＝∠CBD＝x°，∠A＝180°﹣4x°，分为两种情况：①∠ADB＝75°，②∠CDB＝75°，求出x即可．
【解答】解：
设∠ABC＝∠C＝2x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x°，
则∠A＝180°﹣4x°，
①当∠ADB＝75°时，在△ABD中，x+180﹣4x+75＝180，
解得：x＝25，
∴∠A＝180°﹣4×25°＝80°；
②当∠CDB＝75°时，
∵∠CDB＝∠A+∠ABD，
∴75＝180﹣4x+x，
解得：x＝35，
∴∠A＝180°﹣4×35°＝40°；
故答案为：40°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
13．（3分）下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有 　①　.（填序号）
①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．
【考点】旋转对称图形；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据旋转对称图形的旋转角的概念作答．
【解答】解：①正方形旋转的最小的能与自身重合的度数是90度，故此选项符合题意；
②长方形旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，故此选项不合题意；
③等边三角形旋转的最小的能与自身重合的度数是120度，故此选项不合题意；
④线段旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，故此选项不合题意；
⑤角旋转的最小的能与自身重合的度数是360度，故此选项不合题意；
⑥平行四边形旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，故此选项不合题意．
故答案为：①．
【点评】本题考查旋转对称图形的旋转角的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．注意旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法．
14．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝48°，则∠ACB＝　108°　．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】由CD＝AC，∠A＝48°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD＝BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝48°，
∴∠ADC＝48°，
由作图知MN是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝24°，
则∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝108°，
故答案为：108°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．（3分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　a≤﹣　．
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】由不等式组无解，确定出a的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到≥a+2，
去分母得：a+5≥3a+6，
解得：a≤﹣．
故答案为：a≤﹣．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16．（3分）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　（2m+n）（m+2n）　．

【考点】因式分解的应用；矩形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解．
【解答】解：由图形可知，2m2+5mn+2n2表示所有部分面积之和，整体来看面积为：（2m+n）（m+2n），
∴2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n），
故答案为：（2m+n）（m+2n）．
【点评】本题考查因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由图形的特点求解是解题的关键．
17．（3分）如图，在等边△ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为　　．

【考点】含30度角的直角三角形；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴AF＝AD，CE＝CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝1，
∴AF＝，CF＝，CE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝2﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查了含30°角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．
18．（3分）制作糕点的张师傅现有面粉460千克，武汉成为新冠肺炎的重灾区后，张师傅想把这些面粉制作成A、B两种型号的糕点，装盒后送给武汉的医护人员，已知每盒可以装2块A和4块B，而制作1块A需要0.05千克的面粉，制作1块B需要0.02千克面粉，每盒都装满，他最多能制作这样的糕点　2555　盒．
【考点】一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【分析】根据题意得出不等式，进而解答即可．
【解答】解：设最多能生产这种盒装糕点的盒数是x盒，
可得：（2×0.05+4×0.02）x≤460，
解得：x≤2555，
故答案为：2555．
【点评】此题考查一元一次不等式的应用，关键是根据题意列出不等式．
三．解答题（共46分，写出必要解题步骤）
19．解不等式、不等式组：
（1）解不等式：x﹣＜，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母得：6x+3（x﹣1）＜2（1+5x），
去括号，得：6x+3x﹣3＜2+10x，
移项，得：6x+3x﹣10x＜2+3，
合并同类项，得：﹣x＜5，
系数化为1，得：x＞﹣5，
在数轴上表示不等式的解集为：
；

（2），
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
∴整数解为0，1，2，3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．如图，已知△ABC和点，求作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，保留作图痕迹，不要求写过程．

【考点】作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【分析】分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可．
【解答】解：如图，△A1B1C1即为所求作．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．

【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）由AD为△ABC的角平分线，得到DE＝DF，推出∠AEF和∠AFE相等，得到AE＝AF，即可推出结论；（2）由已知推出∠EAD＝30°，得到AD＝2DE，在△DEG中，由∠DEG＝30°推出DE＝2DG，即可推出结论．
【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF．

（2）答：AG＝3DG．
理由：∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE，∠EDA＝60°，
∵AD⊥EF，∴∠EGD＝90°，
∴∠DEG＝30°
∴DE＝2DG，
∴AD＝4DG，
∴AG＝3DG．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是（1）证AE＝AF和DE＝DF；（2）证AD＝2DE和DE＝2DG．题目比较典型，综合性强．
22．甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按85%收费，在乙商店累计超过100元后，超出部分按照90%收费．
（1）若小明妈妈准备用160元去购物，你建议小明妈妈去　乙　商场花费少（直接写出“甲”或“乙”）；
（2）设顾客累计了购物花费x（x＞200）元，若在甲商场购物，则实际花费　（0.85x+30）　元，若在乙商场购物，则实际花费　（0.9x+10）　元．（均用含x的式子表示）；
（3）在（2）的情况下，请根据两家商场的优惠活动方案，讨论顾客到哪家商场购物花费少？说明理由．
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）计算出买160元的东西分别在甲、乙两商场的花费，然后得出在乙商场更少；
（2）根据甲、乙的优惠政策进行解答；
（3）根据（2）中表示出在甲乙两商场的花费列出的不等式，分情况讨论，求出最合适的消费方案．
【解答】解：（1）在甲商店购买160元的东西需要花费：160（元），
在乙商场购买160元的东西需要花费：100+60×0.90＝154（元），
∵160＞154，
∴建议小明妈妈去乙商场花费少；
故答案是：乙；

（2）在甲商场购物：200+（x﹣200）×85%（或0.85x+30），
在乙商场购物：100+（x﹣100）×90%（或0.9x+10）；
故答案是：（0.85x+30）；（0.9x+10）；


（3）①若在甲商场花费少，则0.85x+30＜0.9x+10，
解得x＞400
所以当购物超过400元时，到甲商场购物花费少；
②若在乙商场花费少，则0.85x+30＞0.9x+10，
解得x＜400，
所以当购物超过200元却少于400元时，到乙商场购物花费少；
③若到两家商场花费一样多时，则0.85x+30＝0.9x+10
解得x＝400
所以当购物400元时，到甲、乙两家商场购物花费一样．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等式关系式即可求解．注意此题分类讨论的数学思想．
23．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．
（1）上述分解因式的方法是　提公因式法　，共应用了　2　次；
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法　2019　次，结果是　（1+x）2020　；
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　（1+x）n+1　．
（4）请利用以上规律计算：（1+2x）3．
【考点】因式分解的应用；同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论；
（2）结合（1）和阅读材料即可得结论；
（3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可；
（4）利用规律进而得出答案即可．
【解答】解：（1）阅读因式分解的过程可知：
上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）原式＝（1+x）2020，则需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020，
故答案为：2019，（1+x）2020；
（3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]
＝（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1；
（4）（1+2x）3＝1+2x+2x（2x+1）+2x（2x+1）2＝8x3+12x2+6x+1．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法．
24．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数　60°　；
②线段OD的长　4　；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；
②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；
③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝150°；
（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．
【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．
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