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2023年广东省深圳市大鹏新区南澳中学中考数学一模试卷(含答案）
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这是一份2023年广东省深圳市大鹏新区南澳中学中考数学一模试卷(含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省深圳市大鹏新区南澳中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．今年是中国共产党建党100周年，过去的100年是奋斗的100年，中国在各个方面都取得了巨大的成就．2020年GDP同比增长2.3%，GDP总量达到约102万亿元，其中102万用科学记数法表示为（ ）
A．10.2×105 B．1.02×106 C．1.02×105 D．10.2×104
3．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（3a2）3＝9a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a•3a＝6a2
4．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
8
5
3
则视力的众数和中位数分别是（ ）
A．4.5，4.6 B．4.6，4.6 C．4.7，4.7 D．4.8，4.7
5．若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．当x≠﹣1时，有意义
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．若a＜b，则m2a＜m2b一定成立
7．如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
8．为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（1，3），且与x轴有一个交点为B（4，0），直线y2＝mx+n与抛物线交于A、B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
10．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，DB′与AC交于点E，若BD＝2，AD＝3，∠ADB＝45°，则△ADE的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：2x2﹣8＝ ．
12．有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后随机从中抽取一张，抽到标有节日是中国传统节日的概率是 ．
13．如图，矩形ABCD中，AD＝2，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交CD于点E，以A为圆心，AE为半径作弧，此弧刚好过点B，则CE的长为 ．
14．定义：x※y＝x﹣my，如：2※3＝2﹣3m．已知1※2≤5，则m的取值范围是 ．
15．如图，Rt△OAB的边AB延长线与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点C，连接OC，且∠AOB＝30°，点C的纵坐标为1，则△OBC的面积是 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．计算：4cos30°﹣tan245°+|﹣1|+2sin60°．
17．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝tan260°．
18．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y
…
1
2
4
4
2
1
m
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；
（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ；（填写代号）
①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；
（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝ ．
19．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7）
20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
21．如图①，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝α（45°＜α＜90°，D为上一点，连接CD交AB于点E．
（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求α的大小；
（2）如图②，若点B恰好是中点，求证：CE2＝BE•BA；
（3）如图③，将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
22．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点坐标为（﹣1，），交y轴于点A（0，3），交直线l：x＝﹣2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图①，E为直线l上位于点B下方一动点，连DE、BD、AD，若S△BDE＝4S△ABD，求E点坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解：﹣的相反数是，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．今年是中国共产党建党100周年，过去的100年是奋斗的100年，中国在各个方面都取得了巨大的成就．2020年GDP同比增长2.3%，GDP总量达到约102万亿元，其中102万用科学记数法表示为（ ）
A．10.2×105 B．1.02×106 C．1.02×105 D．10.2×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
解：102万＝1020000＝1.02×106．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（3a2）3＝9a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a•3a＝6a2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝2a，不符合题意；
B、原式＝27a6，不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝6a2，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
8
5
3
则视力的众数和中位数分别是（ ）
A．4.5，4.6 B．4.6，4.6 C．4.7，4.7 D．4.8，4.7
【分析】根据众数及中位数的定义求解即可．
解：在这一组数据中4.7是出现次数最多的，故众数是4.7．
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数都是4.7，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4.7．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，然后解关于a的方程即可．
解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．当x≠﹣1时，有意义
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．若a＜b，则m2a＜m2b一定成立
【分析】由分式和二次根式有意义的条件判断选项A，再由矩形的判定定理判断选项B，然后由线段垂直平分线的性质判断选项C，最后由不等于的性质判断选项D即可．
解：A、∵当x＞﹣1时，有意义，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C、∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴选项C符合题意；
D、∵0＜a＜b，
若m＝0时，则m2a＝m2b，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、分式和二次根式有意义的条件以及不等式的性质等知识；熟练掌握矩形的判定、分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
7．如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），
∴3AC＝9，
∴AC＝3，
∴C（4，3），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
8．为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（1，3），且与x轴有一个交点为B（4，0），直线y2＝mx+n与抛物线交于A、B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3）
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，DB′与AC交于点E，若BD＝2，AD＝3，∠ADB＝45°，则△ADE的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过A作AK⊥CB于K，由∠ADB＝45°，可得△ADK是等腰直角三角形，即得DK＝AK＝AD＝3，根据D是BC边上的中点，BD＝2，可得CK＝CD+DK＝5，由把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，可得∠BDB'＝90°＝∠CDE，DE∥AK，即知△CDE∽△CKA，有＝，DE＝，从而S△CDE＝CD•DE＝，又S△ACD＝CD•AK＝3，故S△ADE＝S△ACD﹣S△CDE＝3﹣＝．
解：过A作AK⊥CB于K，如图：
∵∠ADB＝45°，
∴△ADK是等腰直角三角形，
∵AD＝3，
∴DK＝AK＝AD＝3，
∵D是BC边上的中点，BD＝2，
∴CD＝BD＝2，
∴CK＝CD+DK＝5，
∵把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，
∴∠ADB'＝∠ADB＝45°，
∴∠BDB'＝90°＝∠CDE，
∴DE∥AK，
∴△CDE∽△CKA，
∴＝，即＝，
∴DE＝，
∴S△CDE＝CD•DE＝×2×＝，
∵S△ACD＝CD•AK＝×2×3＝3，
∴S△ADE＝S△ACD﹣S△CDE＝3﹣＝，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握翻折的性质，得到△CDE∽△CKA．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：2x2﹣8＝ 2（x﹣2）（x+2） ．
【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）
＝2（x﹣2）（x+2）．
故答案为：2（x﹣2）（x+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后随机从中抽取一张，抽到标有节日是中国传统节日的概率是 ．
【分析】直接根据概率公式求解即可得出答案．
解：∵有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，抽到标有节日是中国传统节日的有4种
∴抽到标有节日是中国传统节日的概率是＝；
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法的运用：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．如图，矩形ABCD中，AD＝2，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交CD于点E，以A为圆心，AE为半径作弧，此弧刚好过点B，则CE的长为 2﹣2 ．
【分析】连接BE，根据作图过程可得，AE平分∠DAB，得∠DAE＝∠EAB，根据四边形ABCD是矩形，可得DC∥AB，∠D＝90°，再根据勾股定理可得AE的长，进而求出CE的长．
解：如图，连接BE，
根据作图过程可知：
AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠AED，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DE＝AD＝2，
∴AE＝＝2，
∴DC＝AB＝AE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的定义、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
14．定义：x※y＝x﹣my，如：2※3＝2﹣3m．已知1※2≤5，则m的取值范围是 m≥﹣2 ．
【分析】先根据题中的新定义利用有理数的混合运算求出关于m的代数式，再求解即可．
解：∵x※y＝x﹣my，
∴1※2＝1﹣2m，
∵1※2≤5，
∴1﹣2m≤5，
﹣2m≤5﹣1
﹣2m≤4
m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
15．如图，Rt△OAB的边AB延长线与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点C，连接OC，且∠AOB＝30°，点C的纵坐标为1，则△OBC的面积是 ．
【分析】过点C作CH⊥x轴于H，先求出点C坐标，可得CH＝1，OH＝3，由直角三角形的性质可求BH＝，可求OB的长，由三角形面积公式可求解．
解：如图，过点C作CH⊥x轴于H，
∵点C在反比例函数图象上，点C的纵坐标为1，
∴点C（3，1）
∴CH＝1，OH＝3，
∵∠ABO＝∠CBH，∠A＝∠BHC＝90°，
∴∠HCB＝∠AOB＝30°，
∴CH＝BH，
∴BH＝，
∴OB＝OH﹣BH＝，
∴△OBC的面积＝×OB×CH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，求出OB的长是本题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．计算：4cos30°﹣tan245°+|﹣1|+2sin60°．
【分析】首先计算乘方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：4cos30°﹣tan245°+|﹣1|+2sin60°
＝4×﹣12+（﹣1）+2×
＝2﹣1+﹣1+
＝4﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝tan260°．
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而结合特殊角的三角函数值得出x的值代入即可．
解：原式＝÷
＝•
＝，
∵x＝tan260°＝3，
∴当x＝3时，原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
18．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y
…
1
2
4
4
2
1
m
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；
（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ② ；（填写代号）
①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；
（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝ 4 ．
【分析】（1）将x＝3代入求解，根据表格所给点作图．
（2）观察图象即可得出函数的性质．
（3）求出A，B交点，证明四边形OABC为平行四边形，再根据平行四边形面积＝底×高作答．
解：（1）将x＝3代入得y＝，
故答案为：．
（2）由（1）中的图象可知，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第二象限内，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称，
故②正确；
故答案为：②．
（3）将y＝2代入得x＝1或x＝﹣1，
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，
∵AB在直线y＝2上，OC在x轴上，
∴AB∥OC，
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC为平行四边形，
∴S四边形OABC＝AB•yA＝2×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数及反比例函数的性质．
19．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7）
【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝16cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．
解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝16cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP＝，
∴AE＝＝≈≈53（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53cm；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB•cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8（cm），
BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6（cm），
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.6×≈5.44（cm），
∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【分析】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
解：（1）∵AB＝x，则BC＝（28﹣x），
∴x（28﹣x）＝192，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：x的值为12或16；
（2）∵AB＝xm，
∴BC＝28﹣x，
∴S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28﹣15＝13，
∴6≤x≤13，
∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣14）2+196＝195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
21．如图①，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝α（45°＜α＜90°，D为上一点，连接CD交AB于点E．
（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求α的大小；
（2）如图②，若点B恰好是中点，求证：CE2＝BE•BA；
（3）如图③，将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
【分析】（1）由圆周角定理求出∠CAB＝∠CDB＝40°，由三角形内角和定理可得出答案；
（2）证明△BCE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，证明CB＝CE，则可得出结论；
（3）方法一：由折叠的性质可得出∠DCN＝2∠DCA，∠DCM＝2∠DCB，CN＝CD＝CM＝2r，过点C作CQ⊥MN于点Q，得出MN＝2NQ，∠NCQ＝∠MCN＝α，∠CQN＝90°，连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP＝90°，证明△ABP≌△NQC（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝NQ＝MN，则可得出答案．
方法二：连接OA，OB，证明△CNM∽△OAB，由相似三角形的性质可得出答案．
解：（1）∵＝，
∴∠CAB＝∠CDB＝40°，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB＝180°，∠ABC＝∠ACB＝α，
∴α＝＝70°；
（2）证明：∵点B是的中点，
∴＝，
∴∠DCB＝∠A，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴△BCE∽△BAC，
∴，
∴BC2＝BE•BA，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∠BEC＝∠ACD+∠A，∠BCD＝∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BEC，
∴CB＝CE，
∴CE2＝BE•BA；
（3）是定值．
方法一：∵将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，
∴∠DCN＝2∠DCA，∠DCM＝2∠DCB，CN＝CD＝CM＝2r，
∴∠MCN＝2∠ACB＝2α，
过点C作CQ⊥MN于点Q，则MN＝2NQ，∠NCQ＝∠MCN＝α，∠CQN＝90°，
连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP＝90°，
∵，
∴∠P＝∠ACB＝∠NCQ＝α，
∵AP＝CN，∠ABP＝90°＝∠NQC，
∴△ABP≌△NQC（AAS），
∴AB＝NQ＝MN，
∴，为定值．
方法二：连接OA，OB，
则OA＝OB＝r，CN＝MC＝CD＝2r，
∵∠AOB＝2∠ACB＝∠MCN＝2α，，
∴△CNM∽△OAB，
∴＝．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
22．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点坐标为（﹣1，），交y轴于点A（0，3），交直线l：x＝﹣2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图①，E为直线l上位于点B下方一动点，连DE、BD、AD，若S△BDE＝4S△ABD，求E点坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点坐标．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为（﹣1，），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+，将A（0，3）代入得到关于a的方程，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）求出直线BC的解析式并且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点D的坐标，由AB＝2且AB∥x轴，求出S△ABD的值，再求S△BDE的值，设点E的坐标为（﹣2，m），根据△ABD的面积列方程求出m的值，从而得到点E的坐标；
（3）先求直线DE的解析式，会发现直线DE与坐标轴成45°角，根据这一特点画出图形，按不同的位置进行分类讨论，求出点P的坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+，
将A（0，3）代入y＝a（x+1）2+，得a+＝3，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）2+，
即y＝x2x+3．
（2）当x＝﹣2时，y＝×4+3+3＝3，
∴B（﹣2，3）．
由C（0，2），设直线BC的解析式为y＝kx+2，
则﹣2k+2＝3，解得k＝，
∴y＝x+2，
由，得，，
∴D（，）；
∵AB∥x轴，且AB＝2，
∴S△ABD＝×2×（3﹣）＝，
∴S△BDE＝4S△ABD＝4×＝；
设E（﹣2，m），
∵BE∥y轴，
∴S△BDE＝×（+2）（3﹣m），
∴×（+2）（3﹣m）＝，
解得m＝﹣1，
∴E（﹣2，﹣1）．
（3）设直线DE的解析式为y＝px+q，
则，解得，
∴y＝x+1．
如图2，设DE交x轴于点F，交y轴于点H，直线x＝﹣2交x轴于点M，
则F（﹣1，0），H（0，1），M（﹣2，0），
在BM上取点G（﹣2，1），连接FG、AG、BH，
∵OF＝OH＝1，∠FOH＝90°，
∴∠OFH＝∠OHF＝45°，
∴∠MFE＝∠MEF＝45°，∠EPQ＝45°，
∵MF＝MG＝1，AB＝AH＝BG＝2，
∴△ABG、△BAH、△FMG、△FOH、△PEQ都是等腰直角三角形，
∵∠HBE＝∠HEB＝45°，
∴∠BHE＝90°；
∵∠GFM＝∠HFO＝45°，
∴∠GFH＝90°，
∴PQ∥GF∥BH．
∵∠AGB＝∠MGF＝45°，
∴∠AGF＝90°，
当PQ与GF重合时，则∠APQ＝∠AGF＝90°，此时P（﹣2，1）；
当PQ与BH重合时，则∠PAQ＝∠BAH＝90°，此时P（﹣2，3）；
如图3，∠PAQ＝90°，作QT⊥PE于点T，QR⊥BA交BA的延长线于点R，
设P（﹣2，n），则PB＝n﹣3，PE＝n+1，
∴ET＝PT＝QT＝（n+1），AR＝（n+1）﹣2，QR＝（n+1）﹣4，
∵∠PBA＝∠ARQ＝90°，∠BPA＝90°﹣∠PAB＝∠RAQ，
∴△ABP∽△QRA，
∴，
∴，
解得n＝9，
∴P（﹣2，9）．
综上所述，点P的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，3）或（﹣2，9）．
【点评】此题重点考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质以及在平面直角坐标系中求面积等知识和方法，还涉及分类讨论思想的运用，解题的关键是正确地作出辅助线，根据题中条件和图形的特点列出相应的方程，此题计算量大，综合性强，属于考试压轴题．
2023年广东省深圳市大鹏新区南澳中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．今年是中国共产党建党100周年，过去的100年是奋斗的100年，中国在各个方面都取得了巨大的成就．2020年GDP同比增长2.3%，GDP总量达到约102万亿元，其中102万用科学记数法表示为（ ）
A．10.2×105 B．1.02×106 C．1.02×105 D．10.2×104
3．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（3a2）3＝9a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a•3a＝6a2
4．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
8
5
3
则视力的众数和中位数分别是（ ）
A．4.5，4.6 B．4.6，4.6 C．4.7，4.7 D．4.8，4.7
5．若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．当x≠﹣1时，有意义
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．若a＜b，则m2a＜m2b一定成立
7．如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
8．为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（1，3），且与x轴有一个交点为B（4，0），直线y2＝mx+n与抛物线交于A、B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
10．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，DB′与AC交于点E，若BD＝2，AD＝3，∠ADB＝45°，则△ADE的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：2x2﹣8＝ ．
12．有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后随机从中抽取一张，抽到标有节日是中国传统节日的概率是 ．
13．如图，矩形ABCD中，AD＝2，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交CD于点E，以A为圆心，AE为半径作弧，此弧刚好过点B，则CE的长为 ．
14．定义：x※y＝x﹣my，如：2※3＝2﹣3m．已知1※2≤5，则m的取值范围是 ．
15．如图，Rt△OAB的边AB延长线与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点C，连接OC，且∠AOB＝30°，点C的纵坐标为1，则△OBC的面积是 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．计算：4cos30°﹣tan245°+|﹣1|+2sin60°．
17．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝tan260°．
18．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y
…
1
2
4
4
2
1
m
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；
（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ；（填写代号）
①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；
（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝ ．
19．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7）
20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
21．如图①，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝α（45°＜α＜90°，D为上一点，连接CD交AB于点E．
（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求α的大小；
（2）如图②，若点B恰好是中点，求证：CE2＝BE•BA；
（3）如图③，将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
22．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点坐标为（﹣1，），交y轴于点A（0，3），交直线l：x＝﹣2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图①，E为直线l上位于点B下方一动点，连DE、BD、AD，若S△BDE＝4S△ABD，求E点坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解：﹣的相反数是，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．今年是中国共产党建党100周年，过去的100年是奋斗的100年，中国在各个方面都取得了巨大的成就．2020年GDP同比增长2.3%，GDP总量达到约102万亿元，其中102万用科学记数法表示为（ ）
A．10.2×105 B．1.02×106 C．1.02×105 D．10.2×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
解：102万＝1020000＝1.02×106．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（3a2）3＝9a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a•3a＝6a2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝2a，不符合题意；
B、原式＝27a6，不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝6a2，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
8
5
3
则视力的众数和中位数分别是（ ）
A．4.5，4.6 B．4.6，4.6 C．4.7，4.7 D．4.8，4.7
【分析】根据众数及中位数的定义求解即可．
解：在这一组数据中4.7是出现次数最多的，故众数是4.7．
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数都是4.7，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4.7．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，然后解关于a的方程即可．
解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．当x≠﹣1时，有意义
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．若a＜b，则m2a＜m2b一定成立
【分析】由分式和二次根式有意义的条件判断选项A，再由矩形的判定定理判断选项B，然后由线段垂直平分线的性质判断选项C，最后由不等于的性质判断选项D即可．
解：A、∵当x＞﹣1时，有意义，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C、∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴选项C符合题意；
D、∵0＜a＜b，
若m＝0时，则m2a＝m2b，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、分式和二次根式有意义的条件以及不等式的性质等知识；熟练掌握矩形的判定、分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
7．如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），
∴3AC＝9，
∴AC＝3，
∴C（4，3），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
8．为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（1，3），且与x轴有一个交点为B（4，0），直线y2＝mx+n与抛物线交于A、B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3）
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，DB′与AC交于点E，若BD＝2，AD＝3，∠ADB＝45°，则△ADE的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过A作AK⊥CB于K，由∠ADB＝45°，可得△ADK是等腰直角三角形，即得DK＝AK＝AD＝3，根据D是BC边上的中点，BD＝2，可得CK＝CD+DK＝5，由把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，可得∠BDB'＝90°＝∠CDE，DE∥AK，即知△CDE∽△CKA，有＝，DE＝，从而S△CDE＝CD•DE＝，又S△ACD＝CD•AK＝3，故S△ADE＝S△ACD﹣S△CDE＝3﹣＝．
解：过A作AK⊥CB于K，如图：
∵∠ADB＝45°，
∴△ADK是等腰直角三角形，
∵AD＝3，
∴DK＝AK＝AD＝3，
∵D是BC边上的中点，BD＝2，
∴CD＝BD＝2，
∴CK＝CD+DK＝5，
∵把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，
∴∠ADB'＝∠ADB＝45°，
∴∠BDB'＝90°＝∠CDE，
∴DE∥AK，
∴△CDE∽△CKA，
∴＝，即＝，
∴DE＝，
∴S△CDE＝CD•DE＝×2×＝，
∵S△ACD＝CD•AK＝×2×3＝3，
∴S△ADE＝S△ACD﹣S△CDE＝3﹣＝，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握翻折的性质，得到△CDE∽△CKA．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：2x2﹣8＝ 2（x﹣2）（x+2） ．
【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）
＝2（x﹣2）（x+2）．
故答案为：2（x﹣2）（x+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后随机从中抽取一张，抽到标有节日是中国传统节日的概率是 ．
【分析】直接根据概率公式求解即可得出答案．
解：∵有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，抽到标有节日是中国传统节日的有4种
∴抽到标有节日是中国传统节日的概率是＝；
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法的运用：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．如图，矩形ABCD中，AD＝2，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交CD于点E，以A为圆心，AE为半径作弧，此弧刚好过点B，则CE的长为 2﹣2 ．
【分析】连接BE，根据作图过程可得，AE平分∠DAB，得∠DAE＝∠EAB，根据四边形ABCD是矩形，可得DC∥AB，∠D＝90°，再根据勾股定理可得AE的长，进而求出CE的长．
解：如图，连接BE，
根据作图过程可知：
AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠AED，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DE＝AD＝2，
∴AE＝＝2，
∴DC＝AB＝AE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的定义、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
14．定义：x※y＝x﹣my，如：2※3＝2﹣3m．已知1※2≤5，则m的取值范围是 m≥﹣2 ．
【分析】先根据题中的新定义利用有理数的混合运算求出关于m的代数式，再求解即可．
解：∵x※y＝x﹣my，
∴1※2＝1﹣2m，
∵1※2≤5，
∴1﹣2m≤5，
﹣2m≤5﹣1
﹣2m≤4
m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
15．如图，Rt△OAB的边AB延长线与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点C，连接OC，且∠AOB＝30°，点C的纵坐标为1，则△OBC的面积是 ．
【分析】过点C作CH⊥x轴于H，先求出点C坐标，可得CH＝1，OH＝3，由直角三角形的性质可求BH＝，可求OB的长，由三角形面积公式可求解．
解：如图，过点C作CH⊥x轴于H，
∵点C在反比例函数图象上，点C的纵坐标为1，
∴点C（3，1）
∴CH＝1，OH＝3，
∵∠ABO＝∠CBH，∠A＝∠BHC＝90°，
∴∠HCB＝∠AOB＝30°，
∴CH＝BH，
∴BH＝，
∴OB＝OH﹣BH＝，
∴△OBC的面积＝×OB×CH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，求出OB的长是本题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．计算：4cos30°﹣tan245°+|﹣1|+2sin60°．
【分析】首先计算乘方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：4cos30°﹣tan245°+|﹣1|+2sin60°
＝4×﹣12+（﹣1）+2×
＝2﹣1+﹣1+
＝4﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝tan260°．
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而结合特殊角的三角函数值得出x的值代入即可．
解：原式＝÷
＝•
＝，
∵x＝tan260°＝3，
∴当x＝3时，原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
18．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y
…
1
2
4
4
2
1
m
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；
（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ② ；（填写代号）
①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；
（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝ 4 ．
【分析】（1）将x＝3代入求解，根据表格所给点作图．
（2）观察图象即可得出函数的性质．
（3）求出A，B交点，证明四边形OABC为平行四边形，再根据平行四边形面积＝底×高作答．
解：（1）将x＝3代入得y＝，
故答案为：．
（2）由（1）中的图象可知，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第二象限内，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称，
故②正确；
故答案为：②．
（3）将y＝2代入得x＝1或x＝﹣1，
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，
∵AB在直线y＝2上，OC在x轴上，
∴AB∥OC，
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC为平行四边形，
∴S四边形OABC＝AB•yA＝2×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数及反比例函数的性质．
19．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7）
【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝16cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．
解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝16cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP＝，
∴AE＝＝≈≈53（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53cm；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB•cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8（cm），
BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6（cm），
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.6×≈5.44（cm），
∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【分析】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
解：（1）∵AB＝x，则BC＝（28﹣x），
∴x（28﹣x）＝192，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：x的值为12或16；
（2）∵AB＝xm，
∴BC＝28﹣x，
∴S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28﹣15＝13，
∴6≤x≤13，
∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣14）2+196＝195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
21．如图①，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝α（45°＜α＜90°，D为上一点，连接CD交AB于点E．
（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求α的大小；
（2）如图②，若点B恰好是中点，求证：CE2＝BE•BA；
（3）如图③，将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
【分析】（1）由圆周角定理求出∠CAB＝∠CDB＝40°，由三角形内角和定理可得出答案；
（2）证明△BCE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，证明CB＝CE，则可得出结论；
（3）方法一：由折叠的性质可得出∠DCN＝2∠DCA，∠DCM＝2∠DCB，CN＝CD＝CM＝2r，过点C作CQ⊥MN于点Q，得出MN＝2NQ，∠NCQ＝∠MCN＝α，∠CQN＝90°，连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP＝90°，证明△ABP≌△NQC（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝NQ＝MN，则可得出答案．
方法二：连接OA，OB，证明△CNM∽△OAB，由相似三角形的性质可得出答案．
解：（1）∵＝，
∴∠CAB＝∠CDB＝40°，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB＝180°，∠ABC＝∠ACB＝α，
∴α＝＝70°；
（2）证明：∵点B是的中点，
∴＝，
∴∠DCB＝∠A，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴△BCE∽△BAC，
∴，
∴BC2＝BE•BA，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∠BEC＝∠ACD+∠A，∠BCD＝∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BEC，
∴CB＝CE，
∴CE2＝BE•BA；
（3）是定值．
方法一：∵将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，
∴∠DCN＝2∠DCA，∠DCM＝2∠DCB，CN＝CD＝CM＝2r，
∴∠MCN＝2∠ACB＝2α，
过点C作CQ⊥MN于点Q，则MN＝2NQ，∠NCQ＝∠MCN＝α，∠CQN＝90°，
连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP＝90°，
∵，
∴∠P＝∠ACB＝∠NCQ＝α，
∵AP＝CN，∠ABP＝90°＝∠NQC，
∴△ABP≌△NQC（AAS），
∴AB＝NQ＝MN，
∴，为定值．
方法二：连接OA，OB，
则OA＝OB＝r，CN＝MC＝CD＝2r，
∵∠AOB＝2∠ACB＝∠MCN＝2α，，
∴△CNM∽△OAB，
∴＝．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
22．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点坐标为（﹣1，），交y轴于点A（0，3），交直线l：x＝﹣2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图①，E为直线l上位于点B下方一动点，连DE、BD、AD，若S△BDE＝4S△ABD，求E点坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点坐标．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为（﹣1，），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+，将A（0，3）代入得到关于a的方程，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）求出直线BC的解析式并且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点D的坐标，由AB＝2且AB∥x轴，求出S△ABD的值，再求S△BDE的值，设点E的坐标为（﹣2，m），根据△ABD的面积列方程求出m的值，从而得到点E的坐标；
（3）先求直线DE的解析式，会发现直线DE与坐标轴成45°角，根据这一特点画出图形，按不同的位置进行分类讨论，求出点P的坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+，
将A（0，3）代入y＝a（x+1）2+，得a+＝3，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）2+，
即y＝x2x+3．
（2）当x＝﹣2时，y＝×4+3+3＝3，
∴B（﹣2，3）．
由C（0，2），设直线BC的解析式为y＝kx+2，
则﹣2k+2＝3，解得k＝，
∴y＝x+2，
由，得，，
∴D（，）；
∵AB∥x轴，且AB＝2，
∴S△ABD＝×2×（3﹣）＝，
∴S△BDE＝4S△ABD＝4×＝；
设E（﹣2，m），
∵BE∥y轴，
∴S△BDE＝×（+2）（3﹣m），
∴×（+2）（3﹣m）＝，
解得m＝﹣1，
∴E（﹣2，﹣1）．
（3）设直线DE的解析式为y＝px+q，
则，解得，
∴y＝x+1．
如图2，设DE交x轴于点F，交y轴于点H，直线x＝﹣2交x轴于点M，
则F（﹣1，0），H（0，1），M（﹣2，0），
在BM上取点G（﹣2，1），连接FG、AG、BH，
∵OF＝OH＝1，∠FOH＝90°，
∴∠OFH＝∠OHF＝45°，
∴∠MFE＝∠MEF＝45°，∠EPQ＝45°，
∵MF＝MG＝1，AB＝AH＝BG＝2，
∴△ABG、△BAH、△FMG、△FOH、△PEQ都是等腰直角三角形，
∵∠HBE＝∠HEB＝45°，
∴∠BHE＝90°；
∵∠GFM＝∠HFO＝45°，
∴∠GFH＝90°，
∴PQ∥GF∥BH．
∵∠AGB＝∠MGF＝45°，
∴∠AGF＝90°，
当PQ与GF重合时，则∠APQ＝∠AGF＝90°，此时P（﹣2，1）；
当PQ与BH重合时，则∠PAQ＝∠BAH＝90°，此时P（﹣2，3）；
如图3，∠PAQ＝90°，作QT⊥PE于点T，QR⊥BA交BA的延长线于点R，
设P（﹣2，n），则PB＝n﹣3，PE＝n+1，
∴ET＝PT＝QT＝（n+1），AR＝（n+1）﹣2，QR＝（n+1）﹣4，
∵∠PBA＝∠ARQ＝90°，∠BPA＝90°﹣∠PAB＝∠RAQ，
∴△ABP∽△QRA，
∴，
∴，
解得n＝9，
∴P（﹣2，9）．
综上所述，点P的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，3）或（﹣2，9）．
【点评】此题重点考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质以及在平面直角坐标系中求面积等知识和方法，还涉及分类讨论思想的运用，解题的关键是正确地作出辅助线，根据题中条件和图形的特点列出相应的方程，此题计算量大，综合性强，属于考试压轴题．
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