2023年吉林省松原市中考数学一模试卷(含答案）

这是一份2023年吉林省松原市中考数学一模试卷(含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省松原市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
2．若两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（　　）
A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81
3．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．将抛物线y＝x2﹣1向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣4 C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1
5．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝60°，则∠BCD等于（　　）

A．54° B．56° C．30° D．46°
6．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　）

A．5cosαm B．m C．5sinαm D．m
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．sin260°＝　 　．
8．若一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
9．如图，a∥b∥c，若，DF＝12，则BD的长为 　 　．

10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　 　．
11．如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥y轴于B，S△ABO＝3，则k＝　 　．

12．如图①，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．经测量，得CD＝60cm，AD＝120cm，AB＝1.5m．设BG＝x（m），EG＝y（m），则y与x之间的函数关系式为　 　．

13．如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，分别以A，B，C，D为圆心，边长为半径画弧，得到一个眼状图形，则阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．

14．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，连接CC′，使点B′落在CC′上，AB′交CD于点H．若AB＝4，AD＝3，则AH的长为 　 　．

三、解答题（每小题5分，共20分）
15．计算：．
16．抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”，正面朝上记2分，反面朝上记1分，小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图或列表的方法，求两次分数之和等于3的概率．
17．把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y（m）是其横截面积x（mm2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是多少mm2？

18．如图，在一块矩形空地的相邻两边修宽度相等的小路（阴影部分），其余部分绿化，若矩形的长为30米，宽为20米，绿化部分的面积为504平方米，求小路的宽度．

四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中画△ABC的中位线DE，使点D、E分别在边AB、BC上；
（2）在图②中画△ABC的高线BF．

20．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ADF∽△EAB．
（2）已知AB＝4，BC＝6，求EF的长．

21．如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长（结果保留π）．

22．安装了软件“Smart Measure”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度．如图2小明测得大树底端C点的俯角α为20°，D点的仰角β为60°，点A离地面的高度AB＝1.5m．求大树CD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73，≈2.24．）
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点P在抛物线上，且S△POC＝4SBOC，求点P的坐标．

24．【题目】如图①，在矩形ABCD中，AD＝2AB，F是AB延长线上一点，且BF＝AB，连接DF，交BC于点E，连接AE．试判断线段AE与DF的位置关系．
【探究展示】小明发现，AE垂直平分DF，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BF＝AB，∴AF＝2AB．∵AD＝2AB，∴AD＝AF．∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．∴（依据1）∵BF＝AB，∴＝1，∴DE＝EF，∵AD＝AF，
∴AE⊥DF（依据2），∴AE垂直平分DF．
【反思交流】（1）上述证明过程中的“依据1”是 　 　；“依据2”是 　 　；
（2）小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连接图①中的CF，将CF绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接EG，求证：点G在线段BC的垂直平分线上；
【拓展应用】如图③，将图②中的CF绕点F顺时针旋转90°得到FH．分别以点B、C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接MH，若MH＝AB＝1，直接写出m的值．

六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D为边AB上的点，且BD＝1．动点P从点A出发（点P不与点A、C重合），沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿折线CB一BD向终点D运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t（0＜t＜4）秒．
（1）当点Q与点B重合时，t的值为 　 　；
（2）当点E落在AC边上时，求t的值；
（3）设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；
（4）连结PQ，直接写出PQ与△ABC的边平行时t的值．


26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点（0，﹣4），其对称轴是直线x＝1．点A在这个抛物线上，其横坐标为m，点B、C的坐标分别为（m，2﹣m）、（1﹣m，2﹣m），点D在坐标平面内，以A、B、C、D为顶点构造矩形ABCD．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）当点A、B重合时，求m的值；
（3）当抛物线的最低点在矩形ABCD的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标之差为h（h＞0），求h的值；
（4）当该抛物线在矩形ABCD内部的部分的图象对应的函数值y随x增大而减小时，直接写出m的取值范围．



参考答案
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：从左面看易得，底层有3个正方形，上层左边有1个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
2．若两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（　　）
A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81
【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴其面积之比是16：81，
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
3．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项分析即可．
解：A、C、D选项中的图形旋转180度不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，而B选项中的图形旋转180度能够与原图形重合，故是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形的识别，绕某一个点旋转180度能够与自身重合的图形，叫做中心对称图形．
4．将抛物线y＝x2﹣1向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣4 C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
解：将抛物线y＝x2﹣1向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
5．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝60°，则∠BCD等于（　　）

A．54° B．56° C．30° D．46°
【分析】根据圆周角定理的推论由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°，根据∠BAD＝90°﹣∠ABD求得度数，再利用同弧所对圆周角相等得到∠BCD．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°．
∴∠BCD＝∠BAD＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　）

A．5cosαm B．m C．5sinαm D．m
【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．
解：如图，过点B作BC⊥AF于点C，
在Rt△ABC中，
∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．
∴AB＝＝．
故选：B．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．sin260°＝　　．
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
解：sin260°＝（）2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
8．若一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＜　．
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
解：∵一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1﹣4m＞0，
解得m＜，
故答案为：m＜．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
9．如图，a∥b∥c，若，DF＝12，则BD的长为 　6　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
解：∵a∥b∥c，
∴＝，
∵，DF＝12，
∴＝，
解得，BD＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　　．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
解：由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x．
∴tanA＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
11．如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥y轴于B，S△ABO＝3，则k＝　6　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO＝|k|，即可求出表达式．
解：∵△OAB的面积为3，
∴k＝2S△ABO＝6，
∴反比例函数的表达式是y＝，
即k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意三角形面积＝|k|，学生们熟练掌握这个公式．
12．如图①，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．经测量，得CD＝60cm，AD＝120cm，AB＝1.5m．设BG＝x（m），EG＝y（m），则y与x之间的函数关系式为　y＝x+1.5　．

【分析】根据题意可得：FG＝AB＝1.5m，AF＝BG，EF∥CD，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEF，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
解：由题意得：
FG＝AB＝1.5m，AF＝BG，EF∥CD，
∴∠EFA＝∠CDA，∠ACD＝∠AEF，
∴△ACD∽△AEF，
∴＝，
∴＝，
解得：y＝x+1.5，
故答案为：y＝x+1.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
13．如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，分别以A，B，C，D为圆心，边长为半径画弧，得到一个眼状图形，则阴影部分的面积为 　3π　（结果保留π）．

【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为60°，且半径为3的扇形的面积，可据此求出阴影部分的面积．
解：菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，
∴S弓形AD＝S弓形BD，
∴S阴影＝2S扇形＝2×＝3π，
故答案为：3π．

【点评】本题利用了扇形的面积公式，菱形的性质，得出S阴影＝2S扇形是解题关键．
14．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，连接CC′，使点B′落在CC′上，AB′交CD于点H．若AB＝4，AD＝3，则AH的长为 　　．

【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'，∠AB'C＝90°，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△AB'C，可得∠BAC＝∠B'AC，可证AH＝CH，由勾股定理可求解．
解：连接AC，
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴AB＝AB'，∠AB'C＝90°，
在Rt△ABC和Rt△AB'C中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△AB'C（HL），
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠B'AC，
∴AH＝CH，
∵AH2＝AD2+DH2，
∴AH2＝9+（4﹣AH）2，
∴AH＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
解：原式＝×﹣+（）2
＝1﹣+3
＝3．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16．抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”，正面朝上记2分，反面朝上记1分，小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图或列表的方法，求两次分数之和等于3的概率．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次分数之和等于3的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中两次分数之和等于3的结果有2种，
∴两次分数之和等于3的概率为＝．
【点评】本题考查了用树状图图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y（m）是其横截面积x（mm2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是多少mm2？

【分析】（1）根据反比例函数图象经过点（4，32），利用待定系数法进行解答；
（2）把y＝80代入求得的解析式求得x的值即可．
解：（1）由图象得，反比例函数图象经过点（4，32），
设y与x的函数关系式使y＝，
则＝32，
解得k＝128，
∴y与x的函数关系式是y＝；
（2）当y＝80时，即：＝80，
解得：x＝1.6（mm2），
∴钢丝的横截面积最多为1.6mm2．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键，难度不大．
18．如图，在一块矩形空地的相邻两边修宽度相等的小路（阴影部分），其余部分绿化，若矩形的长为30米，宽为20米，绿化部分的面积为504平方米，求小路的宽度．

【分析】设小路的宽度为x米，则绿化部分的长为（30﹣x）米，宽为（20﹣x）米，根据绿化部分的面积为504平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设小路的宽度为x米，则绿化部分的长为（30﹣x）米，宽为（20﹣x）米，
根据题意得：（30﹣x）（20﹣x）＝504，
整理得：x2﹣50x+96＝0，
解得：x1＝2，x2＝48（不符合题意，舍去）．
答：小路的宽度为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中画△ABC的中位线DE，使点D、E分别在边AB、BC上；
（2）在图②中画△ABC的高线BF．

【分析】（1）根据网格线的特点，先找到AB，BC 的中点，再连接即可；
（2）根据网格线的特点作图．
解：如下图：

（1）线段DE即为所求；
（2）线段BF即为所求．
【点评】本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点和三角的的中位线，高线的定义是解题的关键．
20．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ADF∽△EAB．
（2）已知AB＝4，BC＝6，求EF的长．

【分析】由四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，可得∠BAE＝∠ADF，即可证明结论；
（2）E为BC的中点，根据勾股定理可得AE＝5，再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得AF的长，进而求得EF的长即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，
∴∠B＝∠AFD＝90°，∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ADF∽△EAB；
（2）解：∵E为BC的中点，
∴BE＝，
∴AE＝＝5，
∵△ADF∽△EAB，
∴，
∴，
∴AF＝3.6，
∴EF＝AE﹣AF＝5﹣3.6＝1.4．
【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长（结果保留π）．

【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；
（2）根据三角函数的定义和弧长公式即可得到结论．
解：（1）结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△BCD中，∵，
∴sin∠CBD＝＝＝，
∴∠CBD＝30°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠CBD＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝4，
∴AO＝2，
∴＝＝．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．安装了软件“Smart Measure”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度．如图2小明测得大树底端C点的俯角α为20°，D点的仰角β为60°，点A离地面的高度AB＝1.5m．求大树CD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73，≈2.24．）
【分析】过点A作AE⊥CD于E，构建两个直角三角形．先在Rt△ADE中，利用已知角的正弦值求出CE；然后在Rt△CEA中，利用已知角的正弦值求出CE即可解决问题．
解：如图2，过点A作AE⊥CD于E，
在Rt△ACE中，AB＝CE＝1.5m，
由tan20°＝，得
AE≈4.17．在Rt△ADE中
tan60°＝，得
DE＝7.21，∴CD＝CE+DE＝1.5+7.21＝8.71≈8.7（m）．
答：大树CD的高为8.7米．

【点评】本题考查仰角、俯角的定义，要求学生能借助角度构造直角三角形并解直角三角形．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点P在抛物线上，且S△POC＝4SBOC，求点P的坐标．

【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）a＝1时，先由对称轴为直线x＝﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式即可；
（3）由（2）得二次函数的解析式，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC＝4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标．
解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称，
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）∵a＝1时，抛物线为y＝x2+bx+c，对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
解得b＝2．
将B（1，0）代入y＝x2+2x+c，得1+2+c＝0，
解得c＝﹣3，
则二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（3）∵二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），
∴OC＝3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC＝4S△BOC，
∴×3×|x|＝4××3×1，
∴|x|＝4，
∴x＝±4．
当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21，
当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．
【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积．解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、运用方程思想与数形结合思想解决问题．
24．【题目】如图①，在矩形ABCD中，AD＝2AB，F是AB延长线上一点，且BF＝AB，连接DF，交BC于点E，连接AE．试判断线段AE与DF的位置关系．
【探究展示】小明发现，AE垂直平分DF，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BF＝AB，∴AF＝2AB．∵AD＝2AB，∴AD＝AF．∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．∴（依据1）∵BF＝AB，∴＝1，∴DE＝EF，∵AD＝AF，
∴AE⊥DF（依据2），∴AE垂直平分DF．
【反思交流】（1）上述证明过程中的“依据1”是 　平行线分线段成比例定理　；“依据2”是 　等腰三角形三线合一的性质　；
（2）小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连接图①中的CF，将CF绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接EG，求证：点G在线段BC的垂直平分线上；
【拓展应用】如图③，将图②中的CF绕点F顺时针旋转90°得到FH．分别以点B、C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接MH，若MH＝AB＝1，直接写出m的值．

【分析】【反思交流】（1）根据平行线分线段成比例定理和等腰三角形三线合一的性质直接得出结论；
（2）证明△CEG≌△FBC（SAS），根据全等三角形的性质得∠CEG＝∠FBC＝90°，得出GE⊥CB，由【探究展示】知BE＝AD＝BC，即可得出结论；
【拓展应用】过点H作HN⊥AF于N，连接CM，证明△HNF≌△FBC（SAS），得出NH＝1，NF＝2，判断出四边形BEHN为矩形，则EH＝BN＝3，分两种情况利用勾股定理即可得出结论．
【解答】【反思交流】（1）解：上述证明过程中的“依据1”是平行线分线段成比例定理；“依据2”是等腰三角形三线合一的性质．
故答案为：平行线分线段成比例定理，等腰三角形三线合一的性质；
（2）证明：由旋转得∠FCG＝90°，CG＝FC，
∴∠GCE+∠BCF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBF＝90°，AD＝BC，
∴∠CFB+∠BCF＝90°，
∴∠CFB＝∠GCE，
由【探究展示】知DE＝EF，
∵BF＝AB，
∴BE＝AD＝BC，
∴BC＝2CE＝2BE，
∵AD＝2AB，
∴BF＝CE，
∴△CEG≌△FBC（SAS），
∴∠CEG＝∠FBC＝90°，
∴GE⊥CB，
∴点G在线段BC的垂直平分线上；
【拓展应用】过点H作HN⊥AF于N，连接CM，

由旋转得∠CFH＝90°，FH＝FC，
∴∠CFB+∠HFN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBF＝90°，AD＝BC，
∴∠CFB+∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠NFH，
∵∠CBF＝∠FNH＝∠ABC＝90°，
∴△HNF≌△FBC（SAS），BE∥NH，
∴NH＝BF＝AB＝1，BC＝NF，
∵AD＝2AB，
∴BC＝NF＝2，
∴BN＝3，
由（2）知BC＝2CE＝2BE，
∴BE＝CE＝1，
∴四边形BEHN为矩形，
∴EH＝BN＝3，EH⊥BC，
∴EH是BC的垂直平分线，
∴m的值为CM的长，
∵MH＝AB＝1，
∴EM＝3﹣1＝2或3+1＝4，
∴CM＝＝或CM＝＝，
∴m的值为或．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D为边AB上的点，且BD＝1．动点P从点A出发（点P不与点A、C重合），沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿折线CB一BD向终点D运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t（0＜t＜4）秒．
（1）当点Q与点B重合时，t的值为 　3　；
（2）当点E落在AC边上时，求t的值；
（3）设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；
（4）连结PQ，直接写出PQ与△ABC的边平行时t的值．


【分析】（1）先由勾股定理求得BC＝3，因为PA＝QC＝t，所以当点Q与点B重合时t＝3；
（2）当点E落在AC边上时，则DQ∥AC，所以△DQB∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例可列方程＝，解方程求出t的值即可；
（3）分两点情况，一是点Q在BC上，作PF⊥AB于点F，DG⊥BC于点G，可求得PF＝t，DG＝，即可由S＝2S△DPQ＝2（S△ABC﹣S△PAD﹣S△QBD﹣S△CPQ）求出S与t之间的函数关系式；二是点Q在BD上，可直接由平行四边形的面积公式求出S与t之间的函数关系式；
（4）分两种情况，一是PQ∥AB，可根据平行线分线段成比例定理列方程＝；二是PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理列方程＝，解方程求出相应的t值即可．
解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵PA＝QC＝t，
∴当点Q与点B重合时，QC＝BC＝3，
∴t＝3，
故答案为：3．
（2）∵四边形PEQD是平行四边形，
∴DQ∥PE，
当点E落在AC边上时，如图2，则DQ∥AC，
∴△DQB∽△ACB，
∴＝，
∵BQ＝3﹣t，BD＝1，
∴＝，
解得t＝.
（3）当0＜t≤3时，如图1，作PF⊥AB于点F，DG⊥BC于点G，
∵∠AFP＝∠BGD＝90°，
∴PF＝AP•sinA＝t，
∵AB＝5，BD＝1，
∴AD＝AB﹣BD＝4，DG＝BD•sinB＝，
由S△DPQ＝S△ABC﹣S△PAD﹣S△QBD﹣S△CPQ得S＝×3×4﹣×4×t﹣×（3﹣t）﹣t（4﹣t），
∴S＝2（t2﹣t+）＝t2﹣t+；
当3＜t＜4时，如图3，作PF⊥AB于点F，则PF＝t，
∵BC+BD＝4，
∴DQ＝4﹣t，
∴S＝t（4﹣t），
∴S＝﹣t2+t，
综上所述，S＝．
（4）当PQ∥AB时，如图4，
∴＝，
∴＝，
解得t＝；
当PQ∥BC时，如图5，
∴＝，
∵AB+BC＝8，
∴AQ＝8﹣t，
∴＝，
解得t＝，
综上所述，t＝或t＝．






【点评】此题重点考查勾股定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点（0，﹣4），其对称轴是直线x＝1．点A在这个抛物线上，其横坐标为m，点B、C的坐标分别为（m，2﹣m）、（1﹣m，2﹣m），点D在坐标平面内，以A、B、C、D为顶点构造矩形ABCD．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）当点A、B重合时，求m的值；
（3）当抛物线的最低点在矩形ABCD的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标之差为h（h＞0），求h的值；
（4）当该抛物线在矩形ABCD内部的部分的图象对应的函数值y随x增大而减小时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用二次函数的解析式表示出点A的坐标，再利用两点重合时的性质列出关于m的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用配方法求得抛物线的最低点的坐标，再利用函数的性质和点的坐标的特征，求得该矩形与抛物线交点的纵坐标后即可得出结论；
（4）利用二次函数的性质得到函数值y随x增大而减小的范围，再利用矩形的性质，结合函数的图象列出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点（0，﹣4），其对称轴是直线x＝1，
∴，
解得：．
∴该抛物线对应的函数关系式y＝x2﹣2x﹣4；
（2）∵点A在这个抛物线上，其横坐标为m，
∴A（m，m2﹣2m﹣4）．
∵点A、B重合，点B（m，2﹣m），
∴m2﹣2m﹣4＝2﹣m，
解得：m＝3或﹣2．
∵点B、C的坐标分别为（m，2﹣m）、（1﹣m，2﹣m），
∴m＞1﹣m，
∴m＞．
∴m＝3；
（3）∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣5）．
∵抛物线的开口方向向上，
∴抛物线的最低点为（1，﹣5）．
∵点A在这个抛物线上，以A、B、C、D为顶点构造矩形ABCD，
∴抛物线的最低点不可能在BC，CD边上，
∴抛物线的最低点可能在AB，AD边上，即抛物线的最低点与点A重合，
∴A（1，﹣5）．
∴m＝1．
∴C（0，2），D（0，﹣5），
∴C，D均在y轴上，
∴该矩形与抛物线交点即为抛物线与y轴的交点，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴抛物线与y轴交于（0，﹣4），
∴该矩形与抛物线交点的纵坐标为﹣4，
∴h＝﹣4﹣（﹣5）＝﹣4+5＝1；
（4）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣4开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，函数值y随x增大而减小．
∴m≤1．
∵A（m，m2﹣2m﹣4），点B、C的坐标分别为（m，2﹣m）、（1﹣m，2﹣m），以A、B、C、D为顶点构造矩形ABCD，
∴，
由①得：m＞，
由②得：﹣2＜m＜3，
综上，＜m≤1．
∴当该抛物线在矩形ABCD内部的部分的图象对应的函数值y随x增大而减小时，m的取值范围＜m≤1．
【点评】本题主要考查了二次函数的特殊与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．