2023年陕西省渭南市澄城县中考数学一模试卷(含答案）

这是一份2023年陕西省渭南市澄城县中考数学一模试卷(含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省渭南市澄城县中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）若点（﹣2，a）在反比例函数的图象上，则a的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
2．（3分）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝1
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
4．（3分）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．抛一枚均匀硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上
C．从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
5．（3分）已知两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．60cm
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．（3分）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接AB并延长交⊙O于点D，若∠A＝33°，则∠DOE的度数是（　　）

A．114° B．116° C．118° D．120°
8．（3分）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+3m，则m的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知x＝1是关于x的方程2x2﹣5x+m＝0的一个根，则m的值为 　 　．
10．（3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 　 　．

11．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即），可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度AB为2m的雕像，则该雕像的下部高度BC应设计为 　 　m．（结果保留根号）

12．（3分）如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数的图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△AOB的面积为2，则m+n＝　 　．

13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为 　 　．

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：（）﹣1+4cos45°﹣+（2023﹣π）0．
15．（5分）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣8＝0的两个根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
16．（5分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格格点上，且A（2，8），B（4，4），C（8，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的相似比1：2，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1；
（2）点C1的坐标为 　 　．

17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，连接BD，利用尺规作图法求作⊙O，使⊙O经过点B、C、D．（不写作法，保留作图痕迹）

18．（5分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF＝45°．把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．求证：△AGE≌△AFE．

19．（5分）随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．市场上某款新能源汽车1月份的售价为25万元/辆，3月份下降到20.25万元/辆，求该款汽车售价的月平均下降率．
20．（5分）中国古代有很多辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）从3张卡片中随机抽取1张，求抽到《周髀算经》的概率；
（2）若甲同学从3张卡片中随机抽取1张后放回洗匀，乙同学再从3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两位同学抽中不同书目的概率．
21．（6分）位于陕西省渭南市澄城县城以南6公里处的印象古徵民俗文化园将现代都市生活与田园乡村气息完美结合，原汁原味的关中民俗风情诱惑着一批又一批的人前来游览．某个天气晴好的周末，欢欢和乐乐两个人去印象古徵民俗文化园游玩，看见园中的一棵大树，于是他们想运用所学知识测量这棵树的高度．如图，乐乐站在大树AB的影子BC的末端C处，同一时刻，欢欢在乐乐的影子CE的末端E处做上标记，随后两人用尺子测得BC＝10米，CE＝2米．已知乐乐的身高CD＝1.6米，B、C、E在一条直线上，DC⊥BE，AB⊥BE．请你运用所学知识，帮助欢欢和乐乐求出这棵大树的高度AB．

22．（7分）某商店销售一款工艺品，每件成本为100元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是160元时，每月的销售量是200件，而销售单价每降价1元，每月可多销售10件．设这种工艺品每件降价x元．
（1）每件工艺品的实际利润为 　 　元（用含有x的式子表示）；
（2）为达到每月销售这种工艺品的利润为15000元，且要求降价不超过20元，那么每件工艺品应降价多少元？
23．（7分）某广场举行无人机表演，如图，点D、E处各有一架无人机，它们在同一水平线上，与地面AB的距离为60m．此时，点E到点A处的俯角为60°，点E到点C处的俯角为30°，点D到点C处的俯角为45°，点A到点C处的仰角为30°．点A、B、C、D、E均在同一平面内，求两架无人机之间的距离DE的长．（结果保留根号）

24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点M是的中点，作MN∥BC交AB的延长线于点N，连接AM交BC于点D．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若BC＝8，AD＝3，求⊙O的半径．

25．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（10分）【问题情景】
含30°角的直角三角板ABC中∠A＝30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，边A′C与边AB交于点D．
（1）如图1，若A′B′边经过点B，则α的度数为 　 　°；
【探究发现】
（2）如图2是旋转过程的一个位置，过点D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE，小明发现在三角板旋转的过程中，∠CBE度数是定值，求∠CBE的度数；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，设BC＝1，△BDE的面积为S，当时，
①求AD的长；
②以点E为圆心，BE为半径作⊙E，并判断此时直线A′C与⊙E的位置关系．


2023年陕西省渭南市澄城县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）若点（﹣2，a）在反比例函数的图象上，则a的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵点（﹣2，a）在反比例函数的图象上，
∴a＝﹣＝4，
故选：B．
2．（3分）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可得，球体的俯视图是一个圆，圆柱的俯视图也是一个圆，圆柱的底面圆的半径大于球体的半径，如图，

故A选项符合题意．
故选：A．

3．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝1
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝2．
故选：A．
4．（3分）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．抛一枚均匀硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上
C．从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
【解答】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是＝0.5，故本选项错误；
B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的频率约为：≈0.17，故本选项错误；
C、从一个装有3个红球和2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是＝0.4，本选项正确；
D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是＝0.25，故本选项错误；
故选：C．
5．（3分）已知两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．60cm
【解答】解：设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，
∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴，
解得x＝40，
故选：C．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD＝AD，
∴CD+BD＝8cm，
∵cos∠BDC＝＝，
∴＝，
解得：CD＝3，
∴BD＝5cm，
由勾股定理可得：BC＝＝4cm．
故选：B．
7．（3分）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接AB并延长交⊙O于点D，若∠A＝33°，则∠DOE的度数是（　　）

A．114° B．116° C．118° D．120°
【解答】解：如图，连接BE、DC，

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°．
∵∠A＝33°，
∴∠ABE＝90°﹣∠A＝57°．
∴∠DBE＝123°．
∵四边形EBDC是圆内接四边形，
∴∠ECD+∠DBE＝180°，
∴∠ECD＝180°﹣123°＝57°，
∴∠DOE＝2∠ECD＝114°．
故选：A．
8．（3分）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+3m，则m的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
【解答】解：将y＝﹣x2+4x+3m化为顶点式，得
y＝﹣（x﹣2）2+3m+4，
∴这条抛物线的顶点坐标为（2，3m+4），
∴关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为（2，﹣3m﹣4），
∵它们的顶点相距6个单位长度．
∴|3m+4﹣（﹣3m﹣4）|＝6，
∴|6m+8|＝6，
∴6m+8＝±6，
当6m+8＝6时，
解得，
当6m+8＝﹣6时，
解得，
∴m的值是或，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知x＝1是关于x的方程2x2﹣5x+m＝0的一个根，则m的值为 　3　．
【解答】解：∵x＝1于x的方程2x2﹣5x+m＝0一个根，
∴2﹣5×1+m＝0，
解得，m＝3，
故答案是：3．
10．（3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 　10　．

【解答】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数＝＝10，
故答案为：10．

11．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即），可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度AB为2m的雕像，则该雕像的下部高度BC应设计为 　（﹣1）　m．（结果保留根号）

【解答】解：∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比，
∴该雕像的下部设计高度＝×2＝（﹣1）m，
故答案为：（﹣1）．
12．（3分）如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数的图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△AOB的面积为2，则m+n＝　﹣8　．

【解答】解：∵S△AOB＝AB•OC＝2，S△BOC＝BC•OC，AC＝3BC，
∴AB＝2BC，
∴S△BOC＝1，
∴S△AOC＝2+1＝3，
又∵|m|＝3，|n|＝1，m＜0，n＜0，
∴m＝﹣6，n＝﹣2，
∴m+n＝﹣6﹣2＝﹣8，
故答案为：﹣8．

13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为 　﹣2　．

【解答】解：如图，连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG＝AE，连接PG，GE，
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF＝AP，∠PAF＝90°，
∴∠FAE+∠PAE＝∠PAE+∠PAG＝90°，
∴∠FAE＝∠PAG．
又∵AG＝AE，
∴△AEF≌△AGP（SAS），
∴PG＝EF＝2．
∵BC＝3，CE＝2BE，
∴BE＝1．
∴在Rt△ABE中，AE＝＝．
∵AG＝AE，∠GAE＝90°，
∴GE＝AE＝．
∵PE≥GE﹣PG，且当点G，P，E三点共线时取等号，
∴PE的最小值为GE−PG＝−2．
故答案为：−2．

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：（）﹣1+4cos45°﹣+（2023﹣π）0．
【解答】解：原式＝2+4×﹣2+1
＝2+2﹣2+1
＝3．
15．（5分）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣8＝0的两个根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x﹣8＝0的两个根分别为m，n，
∴m+n＝﹣＝，mn＝＝﹣4，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣4×＝﹣6．
16．（5分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格格点上，且A（2，8），B（4，4），C（8，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的相似比1：2，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1；
（2）点C1的坐标为 　（4，2）　．

【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．

（2）点C1的坐标为（4，2）．
故答案为：（4，2）．

17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，连接BD，利用尺规作图法求作⊙O，使⊙O经过点B、C、D．（不写作法，保留作图痕迹）

【解答】解：如下图：⊙O即为所求．

18．（5分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF＝45°．把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．求证：△AGE≌△AFE．

【解答】证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°
由旋转的性质可得△ABG≌△ADF，
∴AG＝AF，∠BAC＝∠DAF，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）．
19．（5分）随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．市场上某款新能源汽车1月份的售价为25万元/辆，3月份下降到20.25万元/辆，求该款汽车售价的月平均下降率．
【解答】解：设该款汽车售价的月平均下降率是x，
由题意得：25（1﹣x）2＝20.25，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
∴该款汽车售价的月平均下降率是10%．
20．（5分）中国古代有很多辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）从3张卡片中随机抽取1张，求抽到《周髀算经》的概率；
（2）若甲同学从3张卡片中随机抽取1张后放回洗匀，乙同学再从3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两位同学抽中不同书目的概率．
【解答】解：（1）从3张卡片中随机抽取1张，抽到《周髀算经》的概率为．
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学抽中不同书目的结果有6种，
∴甲乙两位同学抽中不同书目的概率为＝．
21．（6分）位于陕西省渭南市澄城县城以南6公里处的印象古徵民俗文化园将现代都市生活与田园乡村气息完美结合，原汁原味的关中民俗风情诱惑着一批又一批的人前来游览．某个天气晴好的周末，欢欢和乐乐两个人去印象古徵民俗文化园游玩，看见园中的一棵大树，于是他们想运用所学知识测量这棵树的高度．如图，乐乐站在大树AB的影子BC的末端C处，同一时刻，欢欢在乐乐的影子CE的末端E处做上标记，随后两人用尺子测得BC＝10米，CE＝2米．已知乐乐的身高CD＝1.6米，B、C、E在一条直线上，DC⊥BE，AB⊥BE．请你运用所学知识，帮助欢欢和乐乐求出这棵大树的高度AB．

【解答】解：根据题意可得，AC∥DE，
∴∠DEC＝∠ACB．
又∵DC⊥BE，AB⊥BE，即∠DCE＝∠ABC＝90°，
∴△ABC∽△DCE，
∴＝．
∵BC＝10米，CE＝2米，CD＝1.6米．
∴＝，
∴AB＝8米，
答：这棵树的高度AB为8米．
22．（7分）某商店销售一款工艺品，每件成本为100元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是160元时，每月的销售量是200件，而销售单价每降价1元，每月可多销售10件．设这种工艺品每件降价x元．
（1）每件工艺品的实际利润为 　（160﹣100﹣x）　元（用含有x的式子表示）；
（2）为达到每月销售这种工艺品的利润为15000元，且要求降价不超过20元，那么每件工艺品应降价多少元？
【解答】解：（1）（160﹣100﹣x）元．
故答案为：（160﹣100﹣x）
（2）设每件工艺品应降价x元，
依题意得（160﹣100﹣x）×（200﹣10x）＝15000，
解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去）．
答：每件工艺品应降价10元．
23．（7分）某广场举行无人机表演，如图，点D、E处各有一架无人机，它们在同一水平线上，与地面AB的距离为60m．此时，点E到点A处的俯角为60°，点E到点C处的俯角为30°，点D到点C处的俯角为45°，点A到点C处的仰角为30°．点A、B、C、D、E均在同一平面内，求两架无人机之间的距离DE的长．（结果保留根号）

【解答】解：延长BC交ED于G，
∵点E到点A处的俯角为60°，点E到点C处的俯角为30°，
∴∠AEC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
设BC＝xm，CG＝（60﹣x）m，
∵∠GEC＝∠CAB＝30°，∠EGC＝∠ABC＝90°，
∴AC＝2xm，CE＝2CG＝2（60﹣x）m，
∵∠EAC＝30°，
∴sin∠EAC＝sin30°＝＝，
∴x＝40，
∴BC＝40m，CG＝20m，
∵∠GDC＝45°，∠GEC＝30°，
∴DG＝CG＝20m，EG＝CG＝20m，
∴DE＝（20﹣20）m．
答：两架无人机之间的距离DE的长为（20﹣20）m．

24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点M是的中点，作MN∥BC交AB的延长线于点N，连接AM交BC于点D．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若BC＝8，AD＝3，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：∵＝，点M是的中点，
∴＝，
∴AM是⊙的直径，
∴AM⊥BC，
∵MN∥BC，
∴AM⊥MN，
∵MN经过半径的外端，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接OB，
∵AM⊥BC，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，
设⊙O的半径为R，
则OA＝OB＝R，
∵AD＝3，
∴OD＝OA﹣AD＝R﹣3，
在Rt△BOD中，OB2＝BD2+OD2，
即R2＝42+（R﹣3）2，
∴R＝，
∴⊙O的半径为．

25．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．
解得．
故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．
故设M（1，m）．
∵A（﹣1，0）、点C（0，3），
∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．
①若AC＝AM时，10＝4+m2，
解得m＝±．
∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；
②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，
解得m＝0或m＝6，
∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．
当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，
∴点M的坐标为（1，0）；
③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，
解得m＝1，
∴点M的坐标为（1，1）．
综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．
26．（10分）【问题情景】
含30°角的直角三角板ABC中∠A＝30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，边A′C与边AB交于点D．
（1）如图1，若A′B′边经过点B，则α的度数为 　60　°；
【探究发现】
（2）如图2是旋转过程的一个位置，过点D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE，小明发现在三角板旋转的过程中，∠CBE度数是定值，求∠CBE的度数；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，设BC＝1，△BDE的面积为S，当时，
①求AD的长；
②以点E为圆心，BE为半径作⊙E，并判断此时直线A′C与⊙E的位置关系．

【解答】解：（1）当A'B'边经过点B时，∠α＝∠BCB'，
由旋转知，BC＝B'C，∠ABC＝∠B'＝90°﹣∠A＝60°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠α＝∠BCB'＝60°；
故答案为：60；
（2）∵DE∥A'B'，
∴，
由旋转性质可知CA＝CA'，CB＝CB'，∠ACD＝∠BCE，
∴，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE＝∠A＝30°；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2，AC＝，S△ABC＝，
由△BCE∽△ACD，得，
∵AD＝x，
∴，即BE＝，
∵BD＝AB﹣AD＝2﹣x，∠DBE＝90°，
此时S＝（2﹣x）×x，
∵S＝S△ABC，
∴，
解得x1＝x2＝1，即AD＝1，
这时D为AB的中点，∠DCB＝60°，∠BCE＝30°＝∠CBE，如图2，

∴CE＝BE，
∵∠A'CB'＝90°，点E在CB'边上，
∴圆心E到A'C的距离EC等于⊙E的半径，
∴直线A'C与⊙E相切．