高一下学期数学微专题25讲 23.空间垂直证明中的一些重要构型

这是一份必修 第二册全册综合随堂练习题，共6页。试卷主要包含了等腰梯形，如图4，正方形中，为中点，则，如图5，边长为2等内容，欢迎下载使用。
       全国卷空间垂直证明中的一些重要构型一般的空间垂直（线面垂直或者面面垂直）基本都是一个平面垂直加一个线面或者面面垂直得到，关于平面垂直，注意到通常以四棱锥，三棱柱，四棱柱为主，前者底面为四边形，后者的侧面为平行四边形，如此的话，我们需要关注一些特殊四边形中的垂直，这些垂直都是常出现在空间垂直的证明过程中的.一．平面四边形中的一些重要垂直关系1.等腰梯形：如图1，我们可以证得，这是底边为等腰梯形的四棱锥中常出现的垂直情形.     图1                                    图22.内角为的菱形，如图2，，为中点，则.3.内角为的平行四边形，如图3，，，则.                               图3                                          图44.如图4，正方形中（边长为1:1的矩形），为中点，则.5.如图5，边长为2:3的矩形，可以看做是4的推广，有.                 图5例1.(2022年全国甲卷)·第18题)在四棱锥中，底面．（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．解析：考察图1 例2．(2021年高考浙江卷）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解析：考察图3例3．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点． （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?解析：考察图4. 例4．如图，在三棱柱中，已知底面，，，，D为的中点，点F在棱上，且，E为线段上的动点.（1）证明：；（2）若直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.解析：考察图5二．一些常见的空间垂直模型模型1.“筝形翻折模型”结论：如图，，设为中点，则，故面，则.模型2. 面面垂直找交线，找到交线引垂线.下面的例5-例7均考察上述模型1：“筝形翻折模型”例5.(2022年全国乙卷数学)如图，四面体中，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 例6．(2021年新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 例7．（2017新课标3卷）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）证明：平面⊥平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 下面的例8，例9考察了面面垂直模型：面面垂直找交线，找到交线引垂线例8.如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧上异于的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．   例9.如图，直三棱柱的体积为，的面积为．（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．