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2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷
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这是一份2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数为无理数的是（ ）
A． B．0.8 C．﹣6 D．
2．下列单项式中，﹣2a2b3的同类项是（ ）
A．a3b2 B．2a2b3 C．a2b D．4ab3
3．计算的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2b﹣2a
4．如图立体图形中，三视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC≌△DEF，DE＝5，AE＝2，则BE的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．某班一合作学习小组有6人，初三上期数学期末考试成绩数据分别为114、86、95、77、110、93，则这组数据的中位数是（ ）
A．86 B．95 C．77 D．94
7．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38° B．76° C．80° D．60°
8．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．米 B．200tan50°米
C．200sin50°米 D．米
9．已知一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，折线ABCDE描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A．汽车共行驶了120千米
B．汽车在整个行驶过程中停留了2个小时
C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时
D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少
二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．如果|x|＝2023，那么x＝ ．
12．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，则a﹣ab+b的值为 ．
13．寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、宁乡泡温泉．妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是 ．
14．如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，若点B'的坐标为（2，6），则点B的坐标为 ．
15．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，则该扇形纸扇的面积为 ．
16．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有 万人观看了春晚．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b），其中a＝2，．
19．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE．
（1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的 ；
A．角平分线B．高C．中线D．垂直平分线
（2）若△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，AB＝8，求CE的长．
20．某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，BE＝2，求线段AD的长．
22．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元．
（1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；
（2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若tan∠ABC＝2，菱形ADBF的面积为40．求菱形ADBF的周长．
24．我们不妨约定：若存在实数k，对于函数图象上任意两点（x1，y1）、（x2，y2），|y1﹣y2|≤k都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．
（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“√”，不是的打“×”；
①y＝2x﹣1（﹣1≤x≤2） ；
②（） ；
③y＝（x﹣1）2+2（2≤x≤3） ．
（2）若一次函数y＝ax+b和反比例函数（a，b为常数，且a≠0），当且时，这两个函数的幸福指数相同，求t的值；
（3）若关于x的幸福函数y＝﹣x2+4x+t（t为常数），当t﹣1≤x≤t时，幸福指数为t，求t的值．
25．如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；
（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，
①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数为无理数的是（ ）
A． B．0.8 C．﹣6 D．
【分析】根据有理数和无理数的定义、实数的分类解答．
解：A．分数为有理数，A不符合题意；
B．有限小数是有理数，B不符合题意；
C．整数是有理数，C不符合题意；
D．是无理数，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查无理数的定义，熟练掌握实数的分类、有理数和无理数的定义是解题关键．
2．下列单项式中，﹣2a2b3的同类项是（ ）
A．a3b2 B．2a2b3 C．a2b D．4ab3
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，即可确定答案．
解：根据同类项的定义可知，﹣2a2b3的同类项是2a2b3，
故选：B．
【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
3．计算的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2b﹣2a
【分析】根据同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，计算即可．
解：
＝
＝﹣
＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．
4．如图立体图形中，三视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．
解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意；
B、三棱柱的主视图是两个矩形，左视图是一个矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意．
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
D、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
5．如图，△ABC≌△DEF，DE＝5，AE＝2，则BE的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ABC≌△DEF，DE＝5，
∴AB＝DE＝5，
∵AE＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．某班一合作学习小组有6人，初三上期数学期末考试成绩数据分别为114、86、95、77、110、93，则这组数据的中位数是（ ）
A．86 B．95 C．77 D．94
【分析】把这组数从小到大排列，求出中间两个的平均数即可．
解：这组数从小到大排列为：77，86，93，95，110，114，
∴这组数据的中位数是是（93+95）÷2＝94，
故选：D．
【点评】本题考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
7．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38° B．76° C．80° D．60°
【分析】根据圆周角定理求解即可．
解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，
∴∠AOB＝76°，
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
8．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．米 B．200tan50°米
C．200sin50°米 D．米
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣50°＝40°，
∴∠PTQ＝50°，
∴tan50°＝，
∴PT＝＝，
即河宽米，
故选：A．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
9．已知一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的增减性可得a＜0，进一步可知y＝ax﹣4的图象经过的象限，即可判断．
解：∵一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∵b＝﹣4＜0，
∴y＝ax﹣4经过第二、三、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
10．如图，折线ABCDE描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A．汽车共行驶了120千米
B．汽车在整个行驶过程中停留了2个小时
C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时
D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少
【分析】根据所给的函数图象，以及速度、时间和路程的关系，逐项判定即可．
解：∵汽车共行驶了：120×2＝240（千米），
∴选项A不符合题意；
∵汽车在整个行驶过程中停留了0.5个小时，
∴选项B不符合题意；
∵汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为：120÷3＝40（千米/时），
∴选项C符合题意；
∵汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数的图象，以及速度、时间和路程的关系和应用，要熟练掌握．
二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．如果|x|＝2023，那么x＝ ±2023 ．
【分析】根据绝对值的定义解答即可．
解：∵|x|＝2023，
∴x＝±2023，
故答案为：±2023．
【点评】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数．
12．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，则a﹣ab+b的值为 8 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出a+b与ab的值，代入原式计算即可求出值．
解：∵a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，
∴a+b＝5，ab＝﹣3，
则a﹣ab+b＝（a+b）﹣ab＝5﹣（﹣3）＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
13．寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、宁乡泡温泉．妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
解：由概率公式可知，妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，若点B'的坐标为（2，6），则点B的坐标为 （﹣，﹣2） ．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
解：∵△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B′的坐标为（2，6），
∴点B的坐标为（2÷（﹣3），6÷（﹣3）），
∴点B'的坐标为（﹣，﹣2），
故答案为：（﹣，﹣2）．
【点评】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．
15．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，则该扇形纸扇的面积为 300πcm2 ．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
解：∵＝300π（cm2），
∴该扇形纸扇的面积为300πcm2，
故答案为：300πcm2．
【点评】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积公式．
16．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有 615 万人观看了春晚．
【分析】首先计算出调查的人中观看了今年的春晚的人所占百分比，可推算出长沙市观看了今年的春晚的人数所占百分比，再用长沙市人数×百分比即可．
解：1025×（×100%）＝615（万）．
故答案为：615．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，关键是掌握用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
解：原式＝3×﹣2﹣（﹣1）+1
＝﹣2﹣+1+1
＝0．
【点评】本题主要考查了实数运算，掌握实数的运算法则是关键．
18．先化简，再求值：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b），其中a＝2，．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．
解：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b）
＝a2+2ab+b2+a2﹣b2﹣2a2+2ab
＝4ab，
当a＝2，b＝﹣时，
原式＝4×2×（﹣）＝﹣4．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式、平方差公式的应用．
19．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE．
（1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的 D ；
A．角平分线B．高C．中线D．垂直平分线
（2）若△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，AB＝8，求CE的长．
【分析】（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段AB的垂直平分线．
（2）由已知条件结合线段垂直平分线的性质可得∠A＝∠EBF＝30°，则∠CBE＝30°，在Rt△ABC中，可得BC＝＝4，在Rt△BCE中，可得CE＝BC•tan30°＝．
解：（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段AB的垂直平分线.
故答案为：D．
（2）设MN与AB 交于点F，
∵∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，
∴∠CBA＝60°，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴∠A＝∠EBF＝30°，
∴∠CBE＝30°，
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，
∴BC＝＝4，
在Rt△BCE中，
∵∠CBE＝30°，
∴CE＝BC•tan30°＝＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
20．某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是 75 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【分析】（1）由选修“文学鉴赏”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，求出选修“手工”的学生人数，用360°乘以手工所占总数的百分比即可解决问题；
（2）补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则选修“厨艺”的人数为120×15%＝18（名），
则选修“手工”的人数为120﹣30﹣20﹣18﹣27＝25（名），
则“手工”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×＝75°，
故答案为：120，75；
（2）补全条形统计图如下：
（3）把“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小明和小红两人恰好选到同一门课程的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，BE＝2，求线段AD的长．
【分析】（1）连接OC，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACO，则AD∥OC，证得∠OCE＝90°，则可得出结论；
（2）连接OC，证明△COE∽△DAE，由相似三角形的性质可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCE＝∠ADC，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连接OC，
∵AD∥OC，
∴△COE∽△DAE，
∴，
∴，
∴AD＝．
【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会作常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元．
（1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；
（2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？
【分析】（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，根据“购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过828元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
解：（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：菜苗基地A种菜苗每捆的单价为10元，B种菜苗每捆的单价为8元；
（2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，
根据题意得：10×0.9m+8×0.9（100﹣m）≤828，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：本次购买最多可购买60捆A种菜苗．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若tan∠ABC＝2，菱形ADBF的面积为40．求菱形ADBF的周长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中点的定义可得AE＝DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD＝AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积＝△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB•AC＝40，
∵∠BAC＝90°，tan∠ABC＝＝2，
设BC＝m，则AC＝2m，
∴×m×2m＝40，
∴m＝2（负根已经舍去），
∴AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝10，
∴BD＝BC＝5，
∴菱形ADBF的周长为20．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
24．我们不妨约定：若存在实数k，对于函数图象上任意两点（x1，y1）、（x2，y2），|y1﹣y2|≤k都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．
（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“√”，不是的打“×”；
①y＝2x﹣1（﹣1≤x≤2） √ ；
②（） × ；
③y＝（x﹣1）2+2（2≤x≤3） × ．
（2）若一次函数y＝ax+b和反比例函数（a，b为常数，且a≠0），当且时，这两个函数的幸福指数相同，求t的值；
（3）若关于x的幸福函数y＝﹣x2+4x+t（t为常数），当t﹣1≤x≤t时，幸福指数为t，求t的值．
【分析】（1）①当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，当x＝2时，y＝2x﹣1＝3，则kmin＝3﹣（﹣3）＝6，符合题意，故正确；②、③同理可解；
（2）a＞0时，求出两个函数k的最小值，即可求解；
（3）当t＜2时，当x＝t时，y＝﹣t2+5t，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝t，即可求解；当2≤t≤3时、当t＞3时，同理可解．
解：（1）①当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，当x＝2时，y＝2x﹣1＝3，
则kmin＝3﹣（﹣3）＝6，符合题意，故正确；
②当x＝﹣3时，y＝﹣＝1，当x＝﹣时，则y＝﹣＝5，
则kmin＝5﹣1＝4≠6，故错误；
③当x＝3时，y＝（x﹣1）2+2＝6，当x＝2时，y＝（x﹣1）2+2＝3，
则kmin＝6﹣3＝6≠6，故错误；
故答案为：√，×，×；
（2）∵t，故t﹣＞0，
a＞0时，
当x＝t+时，y＝ax+b＝a（t+）+b，当x＝t﹣时，y＝ax+b＝a（t﹣）+b，
当x＝t﹣时，y＝﹣，当x＝t+时，y＝﹣，
即a（t+）+b﹣a（t﹣）﹣b＝﹣+，
解得：t＝；
当a＜0时，列出的函数关系式和t的值和a＞0得情况完全相同，
故t＝；
（3）当x＝t时，y＝﹣x2+4x+t＝﹣t2+4t+t＝﹣t2+5t，同理可得：当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，当x＝2时，y＝t+4；
①当t＜2时，
当x＝t时，y＝﹣t2+5t，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，
则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝t，
解得：t＝；
②当2≤t≤3时，
当t≥时，当x＝2时，y＝t+4，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，
则t+4﹣（﹣t2+7t﹣5）＝0，
解得：t＝3；
当t＜时，同理可得：t+4﹣（﹣t2+5t）＝0，
解得：t＝4或1（均舍去）；
③当t＞3时，
当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，当x＝t时，y＝﹣t2+5t，
则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝﹣t，
解得：t＝5；
综上，t＝或3或5．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义，一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，数形结合和正确理解新定义，是本题解题的关键．
25．如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；
（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，
①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．
【分析】（1）①令y＝0，可得ax（x+3）＝0，则A点坐标可求出；
②连接PC，连接BP延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠CDE，则CE＝DE；
（2）①由y＝ax2+3ax＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+）2+可得A（﹣3，0），B（﹣，），则OA＝3，AB＝OB＝＝3，△OAB是等边三角形，证明△BAC∽△EBA，根据相似三角形的性质可得结论；
②设OE＝m，点D的坐标为（t，0），由∠CAE＝∠OBE可得∠CBO＝∠OBE，由角平分线的性质得，则m＝，即可求解．
【解答】（1）①解：令y＝ax2+3ax＝0，
∴ax（x+3）＝0，解得x＝0或﹣3，
∴A（﹣3，0）；
②证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，
∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，
∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，
又∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵CE为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°，
又∵∠BDM＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE；
（2）①证明：如图，
∵a＝﹣，
∴y＝ax2+3ax＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+）2+，
令y＝0，可得﹣x（x+3）＝0，
∴x＝0或﹣3，
∴A（﹣3，0），B（﹣，），
∴OA＝3，AB＝OB＝＝3，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠BAE＝60°，
∵∠CAE＝∠OBE，∠BAO＝∠ABO＝60°，
∴∠BAO+∠CAE＝∠AEBA，BO+∠OBE＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA，
∴△BAC∽△EBA，
∴，
∴AB2＝AC•BE；
②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），
∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，
∴∠CBO＝∠EBO，
由角平分线成比例定理可得：，
∵BD＝＝，
BE＝＝，，
∴＝，
∴m＝或t（舍去），
∴−＝＝，
∴−＝−−＝．
【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，考查了二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．
2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数为无理数的是（ ）
A． B．0.8 C．﹣6 D．
2．下列单项式中，﹣2a2b3的同类项是（ ）
A．a3b2 B．2a2b3 C．a2b D．4ab3
3．计算的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2b﹣2a
4．如图立体图形中，三视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC≌△DEF，DE＝5，AE＝2，则BE的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．某班一合作学习小组有6人，初三上期数学期末考试成绩数据分别为114、86、95、77、110、93，则这组数据的中位数是（ ）
A．86 B．95 C．77 D．94
7．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38° B．76° C．80° D．60°
8．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．米 B．200tan50°米
C．200sin50°米 D．米
9．已知一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，折线ABCDE描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A．汽车共行驶了120千米
B．汽车在整个行驶过程中停留了2个小时
C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时
D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少
二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．如果|x|＝2023，那么x＝ ．
12．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，则a﹣ab+b的值为 ．
13．寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、宁乡泡温泉．妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是 ．
14．如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，若点B'的坐标为（2，6），则点B的坐标为 ．
15．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，则该扇形纸扇的面积为 ．
16．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有 万人观看了春晚．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b），其中a＝2，．
19．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE．
（1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的 ；
A．角平分线B．高C．中线D．垂直平分线
（2）若△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，AB＝8，求CE的长．
20．某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，BE＝2，求线段AD的长．
22．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元．
（1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；
（2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若tan∠ABC＝2，菱形ADBF的面积为40．求菱形ADBF的周长．
24．我们不妨约定：若存在实数k，对于函数图象上任意两点（x1，y1）、（x2，y2），|y1﹣y2|≤k都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．
（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“√”，不是的打“×”；
①y＝2x﹣1（﹣1≤x≤2） ；
②（） ；
③y＝（x﹣1）2+2（2≤x≤3） ．
（2）若一次函数y＝ax+b和反比例函数（a，b为常数，且a≠0），当且时，这两个函数的幸福指数相同，求t的值；
（3）若关于x的幸福函数y＝﹣x2+4x+t（t为常数），当t﹣1≤x≤t时，幸福指数为t，求t的值．
25．如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；
（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，
①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数为无理数的是（ ）
A． B．0.8 C．﹣6 D．
【分析】根据有理数和无理数的定义、实数的分类解答．
解：A．分数为有理数，A不符合题意；
B．有限小数是有理数，B不符合题意；
C．整数是有理数，C不符合题意；
D．是无理数，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查无理数的定义，熟练掌握实数的分类、有理数和无理数的定义是解题关键．
2．下列单项式中，﹣2a2b3的同类项是（ ）
A．a3b2 B．2a2b3 C．a2b D．4ab3
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，即可确定答案．
解：根据同类项的定义可知，﹣2a2b3的同类项是2a2b3，
故选：B．
【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
3．计算的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2b﹣2a
【分析】根据同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，计算即可．
解：
＝
＝﹣
＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．
4．如图立体图形中，三视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．
解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意；
B、三棱柱的主视图是两个矩形，左视图是一个矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意．
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
D、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
5．如图，△ABC≌△DEF，DE＝5，AE＝2，则BE的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ABC≌△DEF，DE＝5，
∴AB＝DE＝5，
∵AE＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．某班一合作学习小组有6人，初三上期数学期末考试成绩数据分别为114、86、95、77、110、93，则这组数据的中位数是（ ）
A．86 B．95 C．77 D．94
【分析】把这组数从小到大排列，求出中间两个的平均数即可．
解：这组数从小到大排列为：77，86，93，95，110，114，
∴这组数据的中位数是是（93+95）÷2＝94，
故选：D．
【点评】本题考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
7．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38° B．76° C．80° D．60°
【分析】根据圆周角定理求解即可．
解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，
∴∠AOB＝76°，
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
8．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．米 B．200tan50°米
C．200sin50°米 D．米
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣50°＝40°，
∴∠PTQ＝50°，
∴tan50°＝，
∴PT＝＝，
即河宽米，
故选：A．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
9．已知一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的增减性可得a＜0，进一步可知y＝ax﹣4的图象经过的象限，即可判断．
解：∵一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∵b＝﹣4＜0，
∴y＝ax﹣4经过第二、三、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
10．如图，折线ABCDE描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A．汽车共行驶了120千米
B．汽车在整个行驶过程中停留了2个小时
C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时
D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少
【分析】根据所给的函数图象，以及速度、时间和路程的关系，逐项判定即可．
解：∵汽车共行驶了：120×2＝240（千米），
∴选项A不符合题意；
∵汽车在整个行驶过程中停留了0.5个小时，
∴选项B不符合题意；
∵汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为：120÷3＝40（千米/时），
∴选项C符合题意；
∵汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数的图象，以及速度、时间和路程的关系和应用，要熟练掌握．
二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．如果|x|＝2023，那么x＝ ±2023 ．
【分析】根据绝对值的定义解答即可．
解：∵|x|＝2023，
∴x＝±2023，
故答案为：±2023．
【点评】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数．
12．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，则a﹣ab+b的值为 8 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出a+b与ab的值，代入原式计算即可求出值．
解：∵a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，
∴a+b＝5，ab＝﹣3，
则a﹣ab+b＝（a+b）﹣ab＝5﹣（﹣3）＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
13．寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、宁乡泡温泉．妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
解：由概率公式可知，妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，若点B'的坐标为（2，6），则点B的坐标为 （﹣，﹣2） ．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
解：∵△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B′的坐标为（2，6），
∴点B的坐标为（2÷（﹣3），6÷（﹣3）），
∴点B'的坐标为（﹣，﹣2），
故答案为：（﹣，﹣2）．
【点评】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．
15．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，则该扇形纸扇的面积为 300πcm2 ．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
解：∵＝300π（cm2），
∴该扇形纸扇的面积为300πcm2，
故答案为：300πcm2．
【点评】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积公式．
16．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有 615 万人观看了春晚．
【分析】首先计算出调查的人中观看了今年的春晚的人所占百分比，可推算出长沙市观看了今年的春晚的人数所占百分比，再用长沙市人数×百分比即可．
解：1025×（×100%）＝615（万）．
故答案为：615．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，关键是掌握用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
解：原式＝3×﹣2﹣（﹣1）+1
＝﹣2﹣+1+1
＝0．
【点评】本题主要考查了实数运算，掌握实数的运算法则是关键．
18．先化简，再求值：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b），其中a＝2，．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．
解：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b）
＝a2+2ab+b2+a2﹣b2﹣2a2+2ab
＝4ab，
当a＝2，b＝﹣时，
原式＝4×2×（﹣）＝﹣4．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式、平方差公式的应用．
19．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE．
（1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的 D ；
A．角平分线B．高C．中线D．垂直平分线
（2）若△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，AB＝8，求CE的长．
【分析】（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段AB的垂直平分线．
（2）由已知条件结合线段垂直平分线的性质可得∠A＝∠EBF＝30°，则∠CBE＝30°，在Rt△ABC中，可得BC＝＝4，在Rt△BCE中，可得CE＝BC•tan30°＝．
解：（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段AB的垂直平分线.
故答案为：D．
（2）设MN与AB 交于点F，
∵∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，
∴∠CBA＝60°，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴∠A＝∠EBF＝30°，
∴∠CBE＝30°，
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，
∴BC＝＝4，
在Rt△BCE中，
∵∠CBE＝30°，
∴CE＝BC•tan30°＝＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
20．某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是 75 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【分析】（1）由选修“文学鉴赏”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，求出选修“手工”的学生人数，用360°乘以手工所占总数的百分比即可解决问题；
（2）补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则选修“厨艺”的人数为120×15%＝18（名），
则选修“手工”的人数为120﹣30﹣20﹣18﹣27＝25（名），
则“手工”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×＝75°，
故答案为：120，75；
（2）补全条形统计图如下：
（3）把“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小明和小红两人恰好选到同一门课程的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，BE＝2，求线段AD的长．
【分析】（1）连接OC，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACO，则AD∥OC，证得∠OCE＝90°，则可得出结论；
（2）连接OC，证明△COE∽△DAE，由相似三角形的性质可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCE＝∠ADC，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连接OC，
∵AD∥OC，
∴△COE∽△DAE，
∴，
∴，
∴AD＝．
【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会作常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元．
（1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；
（2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？
【分析】（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，根据“购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过828元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
解：（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：菜苗基地A种菜苗每捆的单价为10元，B种菜苗每捆的单价为8元；
（2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，
根据题意得：10×0.9m+8×0.9（100﹣m）≤828，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：本次购买最多可购买60捆A种菜苗．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若tan∠ABC＝2，菱形ADBF的面积为40．求菱形ADBF的周长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中点的定义可得AE＝DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD＝AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积＝△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB•AC＝40，
∵∠BAC＝90°，tan∠ABC＝＝2，
设BC＝m，则AC＝2m，
∴×m×2m＝40，
∴m＝2（负根已经舍去），
∴AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝10，
∴BD＝BC＝5，
∴菱形ADBF的周长为20．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
24．我们不妨约定：若存在实数k，对于函数图象上任意两点（x1，y1）、（x2，y2），|y1﹣y2|≤k都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．
（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“√”，不是的打“×”；
①y＝2x﹣1（﹣1≤x≤2） √ ；
②（） × ；
③y＝（x﹣1）2+2（2≤x≤3） × ．
（2）若一次函数y＝ax+b和反比例函数（a，b为常数，且a≠0），当且时，这两个函数的幸福指数相同，求t的值；
（3）若关于x的幸福函数y＝﹣x2+4x+t（t为常数），当t﹣1≤x≤t时，幸福指数为t，求t的值．
【分析】（1）①当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，当x＝2时，y＝2x﹣1＝3，则kmin＝3﹣（﹣3）＝6，符合题意，故正确；②、③同理可解；
（2）a＞0时，求出两个函数k的最小值，即可求解；
（3）当t＜2时，当x＝t时，y＝﹣t2+5t，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝t，即可求解；当2≤t≤3时、当t＞3时，同理可解．
解：（1）①当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，当x＝2时，y＝2x﹣1＝3，
则kmin＝3﹣（﹣3）＝6，符合题意，故正确；
②当x＝﹣3时，y＝﹣＝1，当x＝﹣时，则y＝﹣＝5，
则kmin＝5﹣1＝4≠6，故错误；
③当x＝3时，y＝（x﹣1）2+2＝6，当x＝2时，y＝（x﹣1）2+2＝3，
则kmin＝6﹣3＝6≠6，故错误；
故答案为：√，×，×；
（2）∵t，故t﹣＞0，
a＞0时，
当x＝t+时，y＝ax+b＝a（t+）+b，当x＝t﹣时，y＝ax+b＝a（t﹣）+b，
当x＝t﹣时，y＝﹣，当x＝t+时，y＝﹣，
即a（t+）+b﹣a（t﹣）﹣b＝﹣+，
解得：t＝；
当a＜0时，列出的函数关系式和t的值和a＞0得情况完全相同，
故t＝；
（3）当x＝t时，y＝﹣x2+4x+t＝﹣t2+4t+t＝﹣t2+5t，同理可得：当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，当x＝2时，y＝t+4；
①当t＜2时，
当x＝t时，y＝﹣t2+5t，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，
则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝t，
解得：t＝；
②当2≤t≤3时，
当t≥时，当x＝2时，y＝t+4，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，
则t+4﹣（﹣t2+7t﹣5）＝0，
解得：t＝3；
当t＜时，同理可得：t+4﹣（﹣t2+5t）＝0，
解得：t＝4或1（均舍去）；
③当t＞3时，
当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，当x＝t时，y＝﹣t2+5t，
则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝﹣t，
解得：t＝5；
综上，t＝或3或5．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义，一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，数形结合和正确理解新定义，是本题解题的关键．
25．如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；
（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，
①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．
【分析】（1）①令y＝0，可得ax（x+3）＝0，则A点坐标可求出；
②连接PC，连接BP延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠CDE，则CE＝DE；
（2）①由y＝ax2+3ax＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+）2+可得A（﹣3，0），B（﹣，），则OA＝3，AB＝OB＝＝3，△OAB是等边三角形，证明△BAC∽△EBA，根据相似三角形的性质可得结论；
②设OE＝m，点D的坐标为（t，0），由∠CAE＝∠OBE可得∠CBO＝∠OBE，由角平分线的性质得，则m＝，即可求解．
【解答】（1）①解：令y＝ax2+3ax＝0，
∴ax（x+3）＝0，解得x＝0或﹣3，
∴A（﹣3，0）；
②证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，
∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，
∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，
又∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵CE为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°，
又∵∠BDM＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE；
（2）①证明：如图，
∵a＝﹣，
∴y＝ax2+3ax＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+）2+，
令y＝0，可得﹣x（x+3）＝0，
∴x＝0或﹣3，
∴A（﹣3，0），B（﹣，），
∴OA＝3，AB＝OB＝＝3，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠BAE＝60°，
∵∠CAE＝∠OBE，∠BAO＝∠ABO＝60°，
∴∠BAO+∠CAE＝∠AEBA，BO+∠OBE＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA，
∴△BAC∽△EBA，
∴，
∴AB2＝AC•BE；
②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），
∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，
∴∠CBO＝∠EBO，
由角平分线成比例定理可得：，
∵BD＝＝，
BE＝＝，，
∴＝，
∴m＝或t（舍去），
∴−＝＝，
∴−＝−−＝．
【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，考查了二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．
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