河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期1月新未来联考理科数学试题
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这是一份河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期1月新未来联考理科数学试题,共11页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来元月联考理科数学一、选择题:本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,,设全集,则( )A. B.C. D.2.已知i是虚数单位,则复数( )A.-1 B.1 C.-I D.i3.的展开式中,的系数为( )A.16 B.-9 C.6 D.-144.已知圆C:上的点均满足则r的最大值为( )A. B. C. D.5.某公司对2021年的营收来源进行了统计,并绘制饼图如图所示.在华中地区的三省中,湖北省的营收额最多,河南省的营收额最少,湖南省的营收额约1421万元.则下列说法错误的是( )A.该公司在华东地区的营收额,约为东北地区营收额的三倍.B.该公司在华南地区的营收额,比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多C.该公司2021年营收总额约为20300万元D.该公司在湖南省的营收额,在华中地区的营收额的占比约为6.已知点P是抛物线C:上任意一点,则点P到抛物线C的准线和直线l;的距离之和的最小值为( )A. B.4 C. D.57.已知α,β均为锐角,且,,则A. B. C. D.8.已知一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为2且圆心角为的扇形,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.9.已知定义在R上的奇函数满足,,且当时,.若关于x的方程在上有且仅有四个实数解,则t的取值范围为( )A. B. C. D.10.已知直线与双曲线C:的两条渐近线交于A,B两点,且点A在第一象限.O为坐标原点,若,则双曲线C的离心率为( )A. B. C.2 D.511.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,且.当取得最大值时,的值为( )A. B. C. D.12.已知曲线与曲线在处的切线互相平行,记,,则( )A., B.,C., D.,二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知非零向量,满足,且,则向量夹角θ的大小为________.14.已知函数在上单调递增,且在上有最大值.则的取值范围为________.15.已知函数.若存在,,使得曲线在,处的切线互相垂直,则实数a的取值范围为________.16.如图,三棱锥的侧面展开图在以P为圆心,2为半径的圆上,其中,为三棱锥的顶点A在展开图中的对应点.已知,,则三棱锥的外接球的半径为________.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(―)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)在如图所示的七面体中,底面ABCD为正方形,,,平面ABCD,.已知,.(1)设平面平面,证明:平面;(2)若平面平面EDG,求AE的长.18.(本小题满分12分)已知数列的各项均为正数,前n项和为,,且.(1)若,证明:数列为等差数列;(2)若,求数列的前n项和.19.(本小题满分12分)最近几年,新型冠状病毒肺炎席卷全球.在病毒爆发之初,我国迅速建立防疫机制,通过将与新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群,并对两类人群分别加以不同程度的隔离措施,有效地预防了新冠肺炎病毒的传播.已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员有2人,“次密接”人员有3人,且每个“密接”人员被感染的概率为,每个“次密接”人员被感染的概率为.(1)求在这五人中,恰好有两人感染新冠肺炎的概率;(2)设这五人中,感染新冠肺炎的人数为随机变量X,求X的数学期望.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:的上、下顶点分别为A,B,点在椭圆内,且直线PA,PB分别与椭圆C交于E,F两点,直线EF与y轴交于点Q.已知.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设的面积为,的面积为,求的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数,,其中,,e是自然对数的底数.(1)若在区间上单调递增,求a的取值范围;(2)设函数,证明:存在唯一的正实数a,使得恰好有两个零点.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,圆C的极坐标方程为,直线l的极坐标方程为.以极点为坐标原点,以极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.(1)求圆C及直线l的直角坐标方程;(2)若射线分别与圆C和直线l交于P,Q两点,其中,求的最大值.23.(本小题满分10分)选修:4-5不等式选讲已知正数a,b,c满足.(1)若,求的最大值;(2)证明:.2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来元月联考·理科数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C【解析】易知,,,所以.故选C.2.【答案】B【解析】因为,所以.故选B.3.【答案】D【解析】,展开式中的系数为.故选D.4.【答案】A【解析】作出可行域,圆心到直线:的距离,点到:的距离,因为,所以r的最大值为.故选A.5.【答案】B【解析】因为,即A正确;因为,即B错误;因为,即C正确;因为,即D正确.故选B.6.【答案】C【解析】抛物线C的焦点,如图,由抛物线的性质有.故选C.7.【答案】C【解析】因为,解得,所以,所以,,所以,故选C.8.【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是底面半径为2,高为2的圆锥的,所以体积.故选D.9.【答案】D【解析】因为,所以,又为奇函数,所以,,所以,当时,则,作图,可知,t的取值范围为.故选D.10.【答案】B【解析】因为,所以,设,则,因为,所以,解得,所以,所以,则.故选B.11.【答案】A【解析】因为,所以,所以,所以,所以,当且仅当时,等号成立,所以,且,则.故选A.12.【答案】B【解析】因为,,则由题意可知,所以,易解得,即,所以,易知,且,所以,且,因为,所以,所以.故选B.13.【答案】【解析】因为,所以,所以,即.14.【答案】【解析】由题意可知,解得.15.【答案】【解析】易知则因为,且,所以,所以,,所以,解得.16.【答案】【解析】因为,,所以,在原三棱锥中,作BC的中点H,连接AH,PH,作AP的中点M,设的外心为,三棱锥的球心为O,连接,,易知,,且,因为,,即,所以,,所以,又,,由余弦定理可知,即,延长OM,交于点N,则,所以,,所以,即,所以外接球半径.17.【答案】(1)略(2)【解析】(1)证明:由题意可知,因为平面ABFE,平面ABFE,所以平面ABFE,因为平面平面,平面GCD,所以,又平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD;(2)分别以为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,,,,所以,,,,设平面BCGF的法向量为,则取,则,,所以,设平面EDG的法向量为,则取,则,,所以,因为平面平面EDG,所以,解得,即.18.【答案】(1)略(2)【解析】证明:当时,,则,两式相减,可得,因为,所以,当时,,所以,所以,且,所以对任意,均有,即数列是公差为1的等差数列;(2)当时,,则,两式相减,可得,因为,所以,当时,,所以,所以,所以,所以.19.【答案】(1)(2)【解析】设恰好有两人感染新冠肺炎为事件A,则;(2)易知X的可取值为0,1,2,3,4,5,且由(1)可知,,又,,,,,所以.20.【答案】(1)(2)【解析】(1)易知,,则,,因为,所以,解得,所以椭圆C的标准方程为;(2)易知,,则直线PA:,直线PB:,设,令直线PA与椭圆C的方程联立,消去y,整理得,解得,则,即,同理可得,则,,由题意可知,整理得,即,所以,所以,,所以,,所以,因为P在椭圆内,所以,解得,所以.21.【答案】(1)(2)略【解析】由题意可知在上恒成立,因为,所以单调递增,所以,所以a的取值范围为;(2)证明:易知,单调递减,因为,所以当时,,即在上无零点,因为,所以存在,使得,又因为,,且等号不同时成立,所以,所以,因为当时,,所以若恰有两个零点,只需在上恰有一个零点即可,因为,且,所以存在,使得,列表可知,在上单调递减,在上单调递增,且,若,则在上恒成立,所以单调递减,所以,即不符题意, 若.则,所以在上单调递减,在上单调递增,又因为当时,,且,所以,将代入上式,可得,设,则,即单调递增,因为,.所以存在唯一的,使得,即存在唯一的正实数a,使得恰好有两个零点,命题得证.22.【答案】(1)圆C:,直线l:(2)【解析】因为,所以, 由,,,得,整理得,因为,所以,由,,得,所以圆C和直线l的直角坐标方程分别为,;(2)由题意可知,,所以(时取“=”).故的最大值为.23.【答案】(1)(2)略【解析】当时,,所以,当且仅当时,上式中等号成立,所以的最大值为;(2)证明:因为,当且仅当时,等号成立,所以,当且仅当时取等号.
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