专题15 带电粒子在交变电磁场中运动模型-高考物理磁场常用模型最新模拟题精练

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高考物理《磁场》常用模型最新模拟题精练
专题15 带电粒子在交变磁场中运动模型
1. (2023湖南怀化名校联考)在如图所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图所示．一个质量为m、带电量为的粒子不计重力，在时刻平行于oc边从o点射入磁场中．已知正方形边长为L，规定磁场向外的方向为正，磁感应强度的最大值为求：

带电粒子在磁场中做圆周运动的周期；
若带电粒子不能从oa边界射出磁场，磁感应强度B变化周期T的最大值；
要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子磁场时的速度．
【参考答案】；； ，．
【思路分析】根据洛伦兹力做向心力求解；根据几何关系求得带电粒子不能从oa边界射出磁场时在时间内转过的中心角，从而求得T和周期的关系，进而得到T的最大值；根据两粒子运动得到带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场的运动轨迹，进而得到轨道半径，由时间内转过的中心角求得周期T；最后根据洛伦兹力做向心力由轨道半径求得运动速度．
【名师解析】
粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，故洛伦兹力做向心力，则有：，所以，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期；
粒子在前半周期和后半周期的偏转方向相反，根据时间相同可得：经过一个周期T后粒子速度回到竖直向上；
那么，根据粒子偏转，当时，粒子一直向上运动，不可能从oa边界射出磁场；
若，则粒子必在时从oa边界射出磁场
当时，由几何关系可得：当磁场第一次改变方向后的轨迹与边界oa相切时如右图所示，
；
，所以，，即磁场变向前运动轨迹的圆心角为；
所以，磁场每次变向的最长时间，粒子不从oa边界射出磁场；
故，所以，T的最大值；
由可知：经过时间T后粒子运动重复，故根据几何关系可得：粒子经过时间T后在对角线ob上；
那么，根据粒子在前半周期和后半周期的偏转方向相反，运动时间相同可得：前后半周期的位移相同，故粒子经过后在对角线ob上；
那么，粒子运动轨迹如图所示，
；
所以，由几何关系可得：每次磁场改变前粒子偏转的圆心角为，且从粒子进入到离开，磁场改变了偶数次；故有：，所以，；
设磁场一共变化了n次，则由几何关系可得：；故轨道半径，，；
根据洛伦兹力做向心力可得：，所以，粒子磁场时的速度；
【点睛】带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力做向心力，故常根据速度及磁感应强度求得半径，然后根据几何关系求得运动轨迹；或反过来由轨迹根据几何关系求解半径，进而求得速度、磁感应强度．
2. （2022山东青岛二模）如图甲，三维坐标系中平面的左侧虚线区域内存在一未知电场，平面的右侧存在平行轴方向周期性变化的磁场和沿轴正方向竖直向上的匀强电场，电场强度。一质量、电荷量的带正电液滴，从平面内的点沿轴方向以的初速度进入未知电场区域，经过到达原点第1次经过轴，此时速度大小，方向在平面内与轴正向成角斜向下。把液滴到达原点的时刻记为，此时磁场沿轴负方向，磁场随时间变化的关系如图乙所示，其中、，重力加速度。
（1）求液滴从点到原点的过程中，受到的电场力的冲量大小；
（2）求液滴从第1次到第4次经过轴的时间间隔；
（3）在时刻撤去电场和磁场，同时在整个空间区域加上竖直向上的匀强磁场，磁感应强度，求液滴继续运动过程中达到最大高度时的位置坐标。

【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）液滴从点到原点的过程中，根据动量定理
水平方向：

竖直方向：
，
解得：

电场的冲量大小为

（2）液滴进入平面的右侧后

相当于只受磁场力，根据向心力公式：

其中，解得：

且

同理

其中，解得

且

则

（3）在时，液滴的速度在平面内，与轴夹角。后螺旋上升，
上升时间为：

高度

圆周运动的半径

半径为

周期为

所以上升过程相当于
，
因此液滴在最高点的坐标为
3. (2022辽宁沈阳二模)如图甲所示，真空中两块金属板AB、CD水平、正对放置，其长度为L，间距为d，且L=d=0.2m。过金属板B、D端的竖直边界线的右侧有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度，方向垂直纸面向里。现将CD板接地，AB板的电势随时间t变化的规律如图乙所示，周期T=0.2s。带正电的粒子流以速度沿两板间的水平中线连续射入电场，粒子的比荷为。不计粒子重力及相互作用，电场只存在于两板间，在每个粒子通过电场的极短时间内，电场可视为匀强电场。求：
（1）第一个周期内，哪段时间射入电场的粒子能从电场射出；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间（保留两位有效数字）；
（3）何时射入电场的粒子，从B点正上方0.15m的E点飞出。

【参考答案】（1）0.05s~0.15s；（2）；（3） （n=0，1，2……）
【名师解析】
（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，刚好从两极板的右边缘B点或D点飞出时有竖直方向，则有

水平方向有


解得

当时进入电场中的粒子将从D点旁射出，当时进入电场中的粒子将从B点旁射出，所以，时进入电场中的粒子都将从电场射出。
由图乙可得

即时间段射入电场的粒子能射出电场

（2）当带电粒子从下极板的右边缘D点旁飞入磁场时，在磁场中的时间最长
设该粒子在电场中的速度偏转角为

所以速度方向与水平夹角为45°
由几何知识得，该粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为





联立解得

（3）设粒子从某处进入磁场时速度为v，与水平方向夹角为，则有

它在磁场中的出射点与入射点间距为

又

联立解得

因为l是定值，所以到达E点的粒子应从点上方y=0.05m的位置射入磁场。
又因为

则可得的y与U成正比，粒子通过电场时对应的电压有

解得

根据图像，粒子应在时射入电场，可得

根据图像
（n=0，1，2……）


4. （2022辽宁葫芦岛质检）（18分）如图甲所示，以两虚线M、N为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的电场，M、N间电压UMN的变化图像如图乙所示，电压的最大值为U0、周期为T0；M、N两侧为相同的匀强磁场区域I、II，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度均为B。t=0时，将一带正电的粒子从边界线M上的A处由静止释放，经电场加速后进入磁场，粒子在磁场中做圆周运动的周期也为T0。两虚线M、N间宽度很小，粒子在其间的运动时间忽略不计，也不考虑粒子所受的重力。







（1）求该粒子的比荷；
（2）求粒子第1次和第3次到达磁场区域I的左边界线N的两位置间的距离Δd；
（3）若粒子质量增加为原来的倍，电荷量不变，t=0时，将其在A处由静止释放，求t=2T0时粒子的速度。
【名师解析】（18分）（1）设粒子第一次加速后的速度为，粒子进入磁场后，据题意有，
洛伦兹力充当向心力 ………………（1分）
周期 ………………（1分）
联立解得 ………………（2分）
（2）由于不计粒子穿越MN间的时间，则可认为0时刻出发的粒子穿越MN的过程中电压始终为U0，如图所示
第一次加速后 ………………（1分）
解得 ………………（1分）
在I磁场区域中第一次做圆周运动，故有 …………（1分）
解得 ………………（1分）
同理，之后在II磁场中圆周运动的半径为 ………………（1分）
粒子第1次和第3次到达磁场区域I的左边界限N的两位置间的距离为
………………（1分）
解得 ………………（2分）
（3）粒子的质量增加为，则 ………………（1分）
每半个周期为 ………………（1分）
从0开始到为止的时间内，根据加速电压图像可知粒子进入电场的时刻分别为0，，，，且加速电压UMN分别为、、0、，前两次为加速，最后一次为减速，
由动能定理得 ………………（2分）
解得 ………………（2分）

5.(16分) （2022江苏百校大联考）如图甲所示,以两虚线M、N为边界,中间存在平行纸面且与边界垂直的电场,M、N间电压UMN的变化图像如图乙所示,电压的最大值为U0、周期为T0;M、N两侧为相同的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ,磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度均为B。t=0时,将一带正电的粒子从边界线M上的A处由静止释放,经电场加速后进入磁场,粒子在磁场中做圆周运动的周期也为T0。两虚线M、N间宽度很小,粒子在其间的运动时间忽略不计,也不考虑粒子所受的重力。
(1)求该粒子的比荷;
(2)求粒子第1次和第3次到达磁场区域Ⅰ的左边界线N的两位置间的距离Δd;
(3)若粒子的质量增加为倍,电荷量不变,t=0时,将其在A处由静止释放,求t=2T0时粒子的速度大小v。

【名师解析】.(16分)
(1)周期公式 T0=　(2分)
解得=。　(2分)
(2)由于不计粒子穿越MN间的时间,则可认为t=0时刻出发的粒子穿越MN的过程中电压始终为U0,如图所示

第一次加速后qU0=m-0　(2分)
解得v1=
在Ⅰ磁场区域中第一次做圆周运动,故有
qv1B=m　(2分)
解得R1=
同理,之后在Ⅱ磁场中圆周运动的半径为R2=R1
粒子第1次和第3次到达磁场区域Ⅰ的左边界线N的两位置间的距离为
Δd=2R2-2R1=2(-1)R1　(1分)
解得Δd=2(-1)。　(1分)
(3)粒子的质量增加为m,则T'=·=T0　(2分)
每半个周期为=T0
从t=0开始到t=2T0为止的时间内,根据加速电压图像可知粒子进入电场的时刻分别为0,T0,T0,T0,且加速电压UMN分别为U0、-U0、0、U0,前两次为加速,最后一次为减速,由动能定理得
q(1++0-)U0=×mv2-0　(2分)
解得v=。　(2分)
6．(2023·山东日照名校联考)如图甲所示，在水平方向足够长的虚线区域Ⅰ(上下边界水平)内有交替变化的电磁场，电磁场按照如图乙所示的规律变化，电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B1＝，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)在t＝0时刻以初速度v0从上边界A点竖直向下进入区域Ⅰ，t＝(π＋3)时刻从下边界C点离开区域Ⅰ并进入半径为R的圆形区域Ⅱ，R＝，区域Ⅱ与区域Ⅰ在C点相切，区域Ⅱ中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2＝。求：

(1)t1＝时刻粒子的速度大小v1；
(2)区域Ⅰ在竖直方向的宽度d；
(3)粒子在区域Ⅱ中运动的时间。
【名师解析】：(1)0～t1时间内，粒子在电场中做匀加速直线运动a＝
由匀加速直线运动公式知v1＝v0＋at1
可得v1＝2v0。
(2)0～t1时间内，粒子在电场中运动的位移
d1＝·t1＝
t1时刻，粒子开始在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r1
由向心力公式qv1B1＝m
可得r1＝
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T1
T1＝＝
粒子在磁场中运动的时间t2＝＝T1
对应圆心角为θ＝60°
在磁场中沿竖直方向运动的距离大小为d2＝r1sin θ＝
然后粒子以速度v1第二次进入电场，在电场中运动时间t3＝
由运动的合成与分解可知，粒子竖直向下的速度大小为vy1＝v1cos θ＝v0
水平方向的速度大小为vx＝v1sin θ＝v0
粒子竖直方向做匀加速直线运动，经过t3时间，竖直向下的速度大小为vy2＝vy1＋at3＝3v0
竖直位移大小d3＝·t3＝
可得，区域Ⅰ在竖直方向的宽度
d＝d1＋d2＋d3＝。

(3)粒子从C点离开区域Ⅰ时的速度
v2＝＝2v0
易知速度与水平方向的夹角为60°
设粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动的半径为r2，圆心为O′，做圆周运动的周期为T2，粒子从D点射出磁场，由向心力公式qv2B2＝m
可得r2＝＝R，T2＝＝
易知OCO′D为菱形，圆心角为α＝60°
粒子在区域Ⅱ中运动的时间t4＝T2＝。
答案：(1)2v0　(2)　(3)
7. (2020·杭州联考)如图(a)所示，匀强磁场垂直于xOy平面，磁感应强度B1按图(b)所示规律变化(垂直于纸面向外为正)．t＝0时，一比荷为＝1×105 C/kg的带正电粒子从原点沿y轴正方向射入，速度大小v＝5×104 m/s，不计粒子重力．

(1)求带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径；
(2)求t＝×10－4 s时带电粒子的坐标；
(3)保持图(b)中磁场不变，再加一垂直于xOy平面向外的恒定匀强磁场B2，其磁感应强度为0.3 T，在t＝0时，粒子仍以原来的速度从原点射入，求粒子回到坐标原点的时刻．
【名师解析】：
(1)带电粒子在匀强磁场中运动，洛伦兹力提供向力心，qvB1＝m
r＝1 m.
(2)带电粒子在磁场中运动的周期
T0＝＝×10－4 s
在0～×10－4 s过程中，粒子运动了，圆弧对应的圆心角θ1＝
在×10－4 s ～×10－4 s过程中，粒子又运动了，圆弧对应的圆心角θ2＝
轨迹如图甲所示，根据几何关系可知，
横坐标：x＝2r＋2rsin ＝(2＋) m≈3.41 m　
纵坐标：y＝－2rcos ＝－ m≈－1.41 m
带电粒子的坐标为(3.41 m，－1.41 m)．
　

(3)施加B2＝0.3 T的匀强磁场与原磁场叠加后，如图乙所示，
①当nT≤t＜nT＋(n＝0，1，2，…)时，
T1＝＝×10－4 s
②当nT＋≤t＜(n＋1)T(n＝0，1，2，…)时，
T2＝＝π×10－4 s
粒子运动轨迹如图丙所示，则粒子回到原点的时刻为：
t1＝×10－4 s
t2＝2(n＋1)π×10－4 s(n＝0，1，2，3，…)．
答案：(1)1 m　(2)(3.41 m，－1.41 m)　
(3)t1＝×10－4 s或
t2＝2(n＋1)π×10－4 s(n＝0，1，2，3，…)
8．如图甲所示，在xOy平面的第三象限内有一个粒子发射装置S，它可以向第一象限0°～90°范围内的不同方向发射速率为v0=1.0×103m/s，比荷为=1×105C/kg的大量带负电粒子．现在x轴上方的某区域内加一个匀强磁场，使所有粒子经过磁场后能在0≤y≤0.1m的范围内沿x轴正向运动．粒子越过磁场区域后进入一个由平行板电容器MN所产生的正方形电场区域，电容器两极板上的电压随时间变化的图象如图乙所示，已知电容器的左右两端位于x1=0.15m，x2=0.25m处，上下两端位于y1=0.1m、y2=0m处，在x=0.3m处有一个平行于y轴的荧屏L，粒子打到荧光屏后能够发光．若所有粒子的运动轨迹都在一行于纸面的平面内，且不计粒子的重力、粒子间的相互作用及粒子落在极板和荧光屏上对电压的影响．求：

（1）偏转磁场的感应强度；
（2）偏转磁场在图中坐标系中分布的最小面积（结果保留两位有效数字）；
（3）电容器两极板间有电压和无电压时荧光屏上平行于y轴方向发光长度的比值．
【参考答案】（1） （2） （3）
【名师解析】（1）因为能使所有粒子在0⩽y⩽0.1范围内沿x轴正向运动，所以粒子沿y轴正方向射入时,恰好能在(0.1,0.1)坐标，沿x轴正向运动，粒子在磁场中转动90°的圆心角，其圆心在x轴上，圆的半径为r=0.1m     ①
由洛仑兹力提供向心力则有：      ②
所以：B=T=0.1T

(2)由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的(0.1,0)点，半径为R=0.1m的圆。该电子沿圆弧运动至最高点时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，如图1所示
当电子速度方向与x轴正向成角度θ时,作出轨迹图2,当电子达到磁场边界时,速度方向必须平行于x轴方向,设边界任一点的坐标为S(x,y)，由图2可知，
x=Rsinθ，y=R−Rcosθ，消去参数θ得，
x2 +(y−R)2 =R2 
可以看出随着θ的变化，S的轨迹是圆心为(0,R)，半径为R的圆，即是磁场区域的下边界。
上下边界就构成一个叶片形磁场边界，如图3所示，则符合条件的磁场最小面积为扇形面积减去等腰直角三角形面积的2倍。
S=2(−)=R2 
本题中R=0.1m,代入上式得S=5.7×10−3 m2 
(3)当电容器两极板间无电压时,屏上发光长度为l1=0.1m
当电容器两极板间有电压时，带负电粒子在两板间做类平抛运动如图
根据牛顿第二定律qE=ma，且E=U/d
得a==1×107 m/s2 
水平方向：l=v0t
解得t=l/v0=1×10−4 s
竖直方向：y==×1×107×(1×10−4)2=0.05m=5cm，
电场方向向下，带负电粒子向上偏转，沿中心线射入的粒子恰好沿边界射出，在中心线上方进入平行板电容器的粒子打在极板上，沿中心线射入的粒子打在屏上的位置距中心线距离y′,根据几何关系，y′=10cm
沿下极板入射的粒子刚好打在屏上和上板同一水平线上，所以有电压时屏上发光长度为l2=5cm
所以有电压时和无电压时屏上发光长度的比值l2：l1=5cm：10cm=1：2
点睛：根据粒子在磁场中匀速圆周运动的某一临界轨迹，沿+y方向入射，根据轨迹求出半径，再结合洛伦兹力提供向心力求出半径公式，联立求出磁感应强度；求出偏转磁场的上下边界，包围的面积即为最小面积；无电压时，粒子在板间匀速直线运动，发光亮度就是板宽度，有电压时根据类平抛运动的规律求出在屏上的亮度．

9.（20分）（2023重庆南开联考）在矩形区域中，存在如图所示的磁场区域（包括边界），规定磁场方向垂直纸面向里为正，其中、为边界上的一点，且。重力可忽略不计的正粒子从点沿方向以初速度射入如图所示的周期性变化的磁场，已知粒子的比荷为k。求：

（1）如果在t=0时刻射入磁场的粒子经小于半个周期的时间从边界上的点离开，则磁场的磁感应强度应为多大？
（2）如果磁场的磁感应强度，在边的右侧加一垂直边向左的匀强电场，t=0时刻射入磁场的粒子刚好经过T0后垂直边离开磁场，经过一段时间又沿边从d点离开磁场区域，则电场强度E以及粒子在电场中的路程x分别为多大？（T0未知，用k，L，v0表示）
（3）如果磁场的磁感应强度，欲使在小于半个周期的任意时刻射入磁场的粒子均不能由边离开磁场，则磁场的变化周期应满足什么条件？
【名师解析】(1)根据题意作出粒子的运动轨迹，如图所示，
由几何关系有： 计算得出：
又 解得
(2)根据题意知道粒子的半径R= 画出粒子在T0的运动轨迹如图所示。
O
O


  设粒子运动的周期为T，根据题意有：
得 为保证能回到d点，则在电场中用时间t满足：t=nT0 （n=1，2，3 ．．．）
又有
解得 （n=1，2，3 ．．．）
电场中路程： （n=1，2，3 ．．．）
(3)临界情况为粒子从t=0时刻射入，并且在时刻轨迹恰好与ad边相切，如图所示 。
 设圆周运动的周期为T，由几何关系知粒子转过的圆心角为1500 对应运动时间为 应满足 解得

10. 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：

(1)磁感应强度B0的大小．
(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
【参考答案】　(1)　(2)(n＝1,2,3，…)
【名师解析】　设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向．
(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝
做匀速圆周运动的周期T0＝
由以上两式得磁感应强度B0＝
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，

两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有R＝(n＝1,2,3，…)．
联立求解，得正离子的速度的可能值为
v0＝＝(n＝1,2,3，…)

11.（14分）（2020年3月山东淄博质检）如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子。在0~3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、t0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况）
（1）求电压U0的大小。
（2）求时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。
（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

图甲 图乙

【名师解析】.（14分）
（1）时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为，
（1分）
（1分）
（1分）
联立以上三式，解得两极板间偏转电压为 （1分）
（2）时刻进入两极板的带电粒子，前时间在电场中偏转，后时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动。
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为 （1分）
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为（1分）
带电粒子离开电场时的速度大小为 （1分）
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有（1分）
联立以上各式解得 （1分）

（3）时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短。带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为 （1分）
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为，则 （1分）
代入数据解得
带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为，
所求最短时间为 （1分）
带电粒子在磁场中运动的周期为（1分）
解得 （1分）
12.如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S1、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0，周期为T0．在t=0时刻将一个质量为m电量为-q（q＞0）的粒子由S1静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t=t0/2时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区。（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）
（1）求粒子到达S2时的速度大小v和极板间距d；
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t=3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小。
【名师解析】（1）粒子在匀强电场中电场力做功等于粒子动能的增加，得：

代入数据，得：
又：
联立以上两式，得：
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：，
得：
使粒子不与极板相撞，则运动的半径
联立以上两式，得：
（3）粒子在t=3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，根据运动的对称性，则从s1再次进入电场时的时刻是；
粒子从右向左应是水平匀速穿过无场区，距离为d，时间为：
粒子在左右磁场中的时间是相等的，粒子在磁场中运动的总时间：
粒子在左右磁场中的时间是相等的且都是半个周期，所以粒子运动的总时间是一个周期，即t′=T；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：
，vT=2πr
联立以上公式得：。
13. 在如图甲所示的xOy坐标系中，第一象限内有垂直坐标平面的匀强磁场；第二象限内有方向水平向右、场强大小为E的匀强电场E1；第四象限内有方向水平(以水平向右为正方向)、大小按图乙规律变化的电场E2，变化周期T＝.一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从(－x0，x0)点由静止释放，进入第一象限后恰能绕O点做匀速圆周运动.以粒子经过x轴进入第四象限的时间点为电场E2的计时起点，不计粒子重力.求：

(1)第一象限内匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)粒子在第四象限中运动，当t＝时，粒子的速度；
(3)粒子在第四象限中运动，当t＝nT(n∈N*) 时，粒子的坐标.
【参考答案】　(1)　 (2)2，方向与水平方向成45°角斜向右下方　
(3)[(n＋1)x0，－2nx0] (n∈N*)
【名师解析】　
(1)设粒子离开第二象限时的速度为v0，在第二象限内，由动能定理得qEx0＝mv02
解得v0＝
在第一象限内，粒子做匀速圆周运动的速度为v0，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m
解得B＝
(2)粒子进入第四象限后，加速度a＝＝，当t＝时在水平方向上有v水平＝at＝×
得v水平＝＝v0
故粒子的速度大小v合＝v0＝2
方向与水平方向成45°角斜向右下方
(3)粒子在第四象限中运动时，y轴方向上做匀速直线运动，x轴方向上前半个周期向右做匀加速运动，后半个周期向右做匀减速运动直到速度为0；每半个周期向右前进x＝×2＝，每个周期前进x0
当t＝nT时，x轴距O点的距离x＝x0＋nx0
y轴距O点的距离y＝－v0nT＝－2nx0
粒子的坐标[(n＋1)x0，－2nx0](n∈N*)
14 . 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：

(1)磁感应强度B0的大小．
(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
【答案】　(1)　(2)(n＝1,2,3，…)
【解析】　设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向．
(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝
做匀速圆周运动的周期T0＝
由以上两式得磁感应强度B0＝
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，

两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有R＝(n＝1,2,3，…)．
联立求解，得正离子的速度的可能值为
v0＝＝(n＝1,2,3，…)