专题10 三大力场中竖直面内圆周运动模型-高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练

高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练

专题10 三大力场中竖直面内圆周运动模型

【特训典例】

一、重力场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型

1．中国“嫦娥号”探测器成功在月球背面软着陆，中国载人登月工程前进了一大步。假设将来某宇航员登月后，在月球表面完成下面的实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部最低点静止放置一个质量为的小球（可视为质点），如图所示，当给小球一瞬时冲量时，小球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。已知圆轨道半径为，月球的半径为，则月球的第一宇宙速度为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设月球表面的重力加速度为，小球在最高点的速度为，小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒其中小球刚好做完整的圆周运动，在最高点有由以上两式可得若在月球表面发射一颗卫星，则重力必须提供向心力，则有故最小发射速度为

故选B。

2．如图所示，设竖直圆轨道的最低点处重力势能为零，小球以某一初速度从最低点出发沿轨道内侧运动到最高点时，小球的机械能、重力势能和动能的相对大小（用柱形高度表示）可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】若小球恰能到达最高点，则 此时小球在最高点的动能 重力势能小球运动过程中机械能守恒，因E机=Ek+Ep小球的动能也不可能为零，则小球的机械能不可能等于重力势能，重力势能不可能大于机械能，小球的动能最少是重力势能的四分之一，则小球的重力势能可能等于动能的2倍，即选项ABD错误，C正确。故选C。

3．图甲所示为固定在竖直平面内半径为的半圆形轨道，为最低点，与圆心等高，为最高点，竖直。一质量为的小球从最低点A以一定速度进入半圆轨道，沿轨道运动过程中小球的速率的平方与上升高度的关系图像如图乙所示。已知轨道粗糙程度处处相同，不计空气阻力，重力加速度。则下列说法正确的是（　　）

A．小球从轨道脱离时速度大小为 B．小球沿轨道运动过程中摩擦力做的功为

C．小球能到达的最高点的高度为 D．小球经过A点时的切向加速度与初动能有关

【答案】D

【详解】A．由图乙知，时脱离轨道，设此时小球与轨道圆心连线与水平方向夹角为，根据几何关系可得此时重力沿半径方向的分力刚好提供向心力，则有解得

故A错误；

C．小球脱离轨道时做斜抛运动，能到达的最高点的高度大于，故C错误；

B．由图乙知，时即小球在点时速度根据动能定理代入数据得

故B错误；

D．根据；小球经过点时轨道对小球的支持力与小球初速度有关，根据牛顿第三定律，小球经过点时小球对轨道的压力与小球初速度有关，所以小球经过点时小球受到的摩擦力与小球初速度有关，小球经过点时的切向加速度与初动能有关，故D正确。故选D。

4．杂技演员骑摩托车在球形大铁环内进行刺激而惊险的表演。如图所示，铁环A的半径为R，竖直固定在铁板B上。铁环A、铁板B、杂技演员C（包括摩托车）的质量均为m，摩托车以一定速度经过最低点时关闭引擎，在竖直平面内做圆周运动，铁板始终静止在地面，铁环内壁可看作光滑面，杂技演员和摩托车可看作质点，则下列说法正确的是（　　）

A．杂技演员C经过最高点的速度为不能超过

B．地面和铁板B之间始终没有摩擦

C．杂技演员C经过最高点时铁板B对地面的压力不小于2mg

D．杂技演员C在最低点获得的瞬时速度不能超过

【答案】D

【详解】AD．杂技演员C恰能经过最高点，支持力为零，由重力提供向心力，则有解得

即为杂技演员C能经过最高点的最小速度；杂技演员C能经过最高点，当铁板受到地面的支持力刚好为零时，则杂技演员C对圆环的最大支持力等于A、B的重力之和，即，对杂技演员C，则有

解得即为杂技演员C能经过最高点的最大速度，故杂技演员C经过最高点的速度为不能超过；以最大速度从最高点到最低点，根据机械能守恒定律有解得即杂技演员C在最低点获得的瞬时速度不能超过，故D正确，A错误；

B．当杂技演员C运动与圆心等高点时，由支持力提供向心力，则杂技演员C对铁环有水平向左或向右的作用力，因铁板始终静止在地面，故地面对铁板有水平向右或水平向左的静摩擦力，故B错误；

C．当杂技演员C经过最高点时，支持力最小为零，仅由重力提供向心力，则铁板受到地面的最大值支持力等于A、B的重力之和，即2mg，则由牛顿第三定律可知，杂技演员C经过最高点时铁板B对地面的压力小于等于2mg，故C错误。故选D。

5．如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内.小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数).A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑,与静止于轨道最低点的B球相撞,碰撞后A、B球能达到的最大高度均为R,碰撞中无机械能损失.重力加速，碰撞中无机械能损失．重力加速度为g．试求：

（1）待定系数β；

（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；

（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度．

【答案】（1）3；（2），方向向左和，方向向右；4.5mg，方向竖直向下；（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度分别是和0，当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同； 当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；

【详解】（1）A球从静止开始下滑到碰撞后A、B球达到的最大高度的过程，由机械能守恒定律得

，解得：β=3

（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则；设向右方向正，向左为负，解得：，方向向左；，方向向右．设轨道对B球的支持力为FN，B球对轨道的压力为FN′，方向竖直向下为正则由牛顿第二定律得，解得：FN=4.5mg由牛顿第三定律得，FN′=-FN=-4.5mg，方向竖直向下．

（3）设A、B两球第二次碰撞刚结束时各自的速度分别为V1、V2，由机械能守恒和动量守恒得；-mv1-βmv2=mV1+βmV2解得，，V2=0．（另一组解：V1=-v1，V2=-v2，不合题意，舍去）由此可得：当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；

6．如图甲所示，光滑半圆环轨道固定在竖直平面上，最低点与光滑水平面平滑连接，一长度与半圆轨道直径相等的轻弹簧左端固定在高h=0.4m的固定竖直挡板P上，弹簧的右端在半圆轨道的最低点处。将一小球（可视为质点）置于弹簧的右端（与弹簧接触但不连接）并向左压缩弹簧，然后静止释放，小球被弹簧弹开后进入半例轨道运动。多次重复，每次弹簧的压缩量不同。通过固定在半圆轨道最高点处的压力传感器与速度传感器（甲图中未画出）测出小球对轨道的压力大小F、与此处小球速度的平方的关系如图乙所示。已知当某次弹簧的压缩量r=0.1m静止释放小球后。小球恰能经过挡板P的上端。重力加速度g=10m/s2.不计空气阻力。求：

(1)小球的质量m与半圆轨道的半径r；

(2)弹簧的劲度系数k。

【答案】(1)，；(2)

【详解】(1)小球在半圆轨道的最高点处，由牛顿第二定律有即由乙图知可得当时可得

(2)当弹簧压缩量为x静止释放小球后，弹簧对小球做功以半圆轨道最低点所在的水平面为重力势能的零势面，由功能关系知，小球在半圆轨道最高点处的机械能为小球离开半圆轨道最高点做平抛运动，设历时t经过挡板P的最高点，由平抛运动规律有；

代入数据联立解得。

二、重力场中的竖直面内圆周运动的的杆（或管）模型

7．如图所示，质量为m、内壁光滑的圆管用轻绳竖直悬吊在天花板上，质量分别为2m、m的小球甲、乙（均可视为质点）在圆管内逆时针运动，两小球的直径略小于圆管的内径，已知两球圆周运动的轨道半径为R，且经过最低点时的速率相等，当小球乙位于圆管最低点时小球甲刚好位于最高点，此时轻绳的拉力大小为mg（g为重力加速度），则两球在最低点的速率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】乙球位于最低点受力分析可知在最高点对甲受力分析

从最高点到最低点根据动能定理得对圆环受力分析可知

又因为，，故联立解得故选D。

8．如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内他圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（   ）

A．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积相等

B．t2时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积不相等

C．t1时刻，杆中弹力一定最小

D．在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力不可能两次为零

【答案】A

【详解】AB．过最高点后，水平分速度要增大，经过四分之一圆周后，水平分速度为零，可知从最高点开始经过四分之一圆周，水平分速度先增大后减小，故通过题图可知，图像的t1是最高点，面积S1表示的是从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移，其大小等于轨道半径；S2表示的是从水平直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移，其大小也等于轨道半径，A正确、B错误；

CD．若存在某点高于圆心，低于最高点，巧好重力的分力提供匀速圆周运动的向心力，则杆中的弹力为零，并存在关于过圆心竖直方向对称位置弹力也为零，故t1时刻，杆中弹力不一定最小；在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力可能两次为零，CD错误。故选A。

9．半径为R的内壁光滑的圆环形轨道固定在水平桌面上，轨道的正上方和正下方分别有质量为和的小球A和B，A的质量是B的两倍，它们在轨道内沿逆时针滚动，经过最低点时速率相等；当B球在最低点时，A球恰好通过最高点，如图所示，此时轨道对桌面的压力恰好等于轨道重力，当地重力加速度为g。则小球在最低点的速率可表示为（　　）

A． B． C． D．2

【答案】C

【详解】设小球A、B在最低点时速率为v1，对A、B在最低点，由牛顿第二定律可得①

②小球A从最低点运动到最高点（速率为v2）过程，由动能定理可得

③小球A在最高点时，由牛顿第二定律可得④

由题意知⑤联立以上各式可解得故选C。

10．固定滚轮训练是飞行员为提高空间定向能力而特有的一种训练手段。如图所示，固定滚轮是固定在竖直面内可绕中心轴自由转动的轮子，训练时飞行员手脚支撑在轮子上做变速圆周运动，若某次转动中飞行员双臂间的夹角为120°，飞行员恰好能通过圆周最高点在竖直面内自由转动，已知飞行员质量为m，重心到转轴距离为L。当其头部转动到最低点时，踏板对脚无作用力，此时（　　）

A．飞行员脚的线速度大小为 B．飞行员头部的线速度大小为

C．每个手臂的支持力大小为5mg D．每个手臂的支持力大小为6mg

【答案】C

【详解】AB．飞行员恰好能通过圆周最高点，则此时在最高点的速度为零，当其头部转动到最低点时，则由机械能守恒定律解得重心的速度则飞行员头部以及脚的线速度大小均大于 ，选项AB错误；

CD．每个手臂的支持力大小为N，由牛顿第二定律可知解得N=5mg即每个手臂的支持力大小为5mg，选项C正确，D错误。故选C。

11．如图甲所示，质量为m的小球与轻杆一端相连，绕杆的另一端点O在竖直平面内做圆周运动，从小球经过最高点开始计时，杆对小球的作用力大小F随杆转过角度的变化关系如图乙所示，忽略摩擦阻力，重力加速度大小为g，则（　　）

A．当时，小球的速度为零0

B．当时，力F的大小为6mg

C．当时，小球受到的合力大于3mg

D．当时，小球的加速度大小为6g

【答案】BC

【详解】A．当时，刚好由重力提供向心力，则解得故A错误；

BD．当时，由合力提供向心力得最高点到最低点，由动能定理

解得故B正确，D错误；

C．当时，由水平方向上的合力提供向心力得角度由变为过程中，由动能定理得解得当时，小球受到的合力为

故C正确。故选BC。

12．如图甲所示，一光滑的圆管轨道固定在竖直平面内，质量为m的小球在圆管内运动，小球的直径略小于圆管的内径，轨道的半径为R，小球的直径远小于R，可以视为质点，重力加速度为g。现小球经最高点的初速度v，圆管对小球的弹力与的关系如图乙所示（取竖直向下为正），为通过圆心的一条水平线，关于小球的运动，下列说法不正确的是（　　）

A．图乙中的，

B．当时，小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差可能为

C．小球在水平线以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力

D．若小球从最高点静止沿轨道滑落，当滑落高度为时，小球与内、外管壁均没有作用力

【答案】BC

【详解】A．此问题类似于“轻杆”模型，小球通过最高点时最小速度为零，当小球经最高点的速度时，内侧管壁对小球有支持力故当小球经最高点的速度v=时，内、外管壁对小球均没有作用力，则故A正确；

B．当，最高点有由最高点和最低点机械能守恒可得

最低点有解得故B错误；

C．受力分析可知，为了有力提供向心力，外侧轨道对小球必有压力。故C错误；

D．若小球从最高点静止沿轨道滑落，小球绕圆心转角时，内、外管壁对小球均没有作用力，则

机械能守恒得联立解得当小球从最高点静止沿轨道滑落高度为故D正确。本题选错的，故选BC。

三、电磁场中的竖直面内圆周运动模型

13．如图所示，质量为m、带电荷量为的小球（可视为质点）与长为L的绝缘轻绳相连，轻绳另一端固定在O点，整个系统处在与竖直方向夹角为的匀强电场中。已知A、B、C、D、E、F为圆周上的点，为水平直径，为竖直直径，过O点且与的夹角为，当小球绕O点在竖直平面内做半径为L的圆周运动时，小球运动到A点时的速度最小，最小速度为，g为重力加速度的大小，则下列说法正确的是（　　）

A．匀强电场的电场强度大小为

B．小球从A点运动到B点时，合力做的功为

C．小球运动到B点时轻绳拉力的大小为

D．小球运动到F点时的机械能最大

【答案】D

【详解】A．小球在A点受重力和电场力，如图所示，由题意，小球绕O点在竖直平面内做圆周运动，在A点时速度最小可知，小球受到的合外力提供向心力，小球在竖直方向受力平衡，则有

；，A错误；

B．小球从A点运动到B点时，重力做功是零，电场力做功为因此合力做的功为，B错误；    

C．小球运动到B点时，由动能定理可得解得在B点，由牛顿第二定律可得代入数据解得，C错误；

D．小球在做圆周运动中，只有重力和电场力做功，则有小球的机械能和电势能之和是一个定值，小球在E点时电势最高，小球带正电，电势能最大，小球在F点时的电势最低，具有的电势能最小，因此小球在F点的机械能最大，D正确。故选D。

14．如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上C、D两点的连线过圆心O且OC与竖直向下方向的夹角为60°。空间存在方向水平向右且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m的带负电小球（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的圆形轨道运动，且小球通过D点时的速度最小。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）

A．小球受到的电场力大小为

B．小球通过D点时的速度大小为

C．小球在运动过程中的最大速度为

D．小球通过C点时所受轨道的作用力大小为12mg

【答案】BD

【详解】A．小球在通过D点时的速度最小，则在该点电场力与重力的合力沿半径方向，则有小球受到的电场力大小故A错误；

B．D点竖直平面内圆周运动的物理“最高点”，恰好能完整的做圆周运动，在“最高点”有最小速度，即

解得，B正确；

C．分析可得小球在等效最低点C点得速度最大，故小球从C到D的过程中，由动能定理得联立解得，C错误；

D．在C点由牛顿第二定律可知解得，D正确。故选BD。

15．在光滑绝缘水平面上，一绝缘轻绳栓着一个带电小球绕竖直方向的轴O在匀强磁场中做顺时针方向的匀速圆周运动，磁场的方向竖直向下，其俯视图如图，若小球运动到A点时，绳子突然断开，关于小球在绳断开后的运动情况，可能的是（ ）

A．小球做逆时针匀速圆周运动，半径不变

B．小球做逆时针匀速圆周运动，半径减小

C．小球做顺时针匀速圆周运动，半径不变

D．小球做顺时针匀速圆周运动，半径减小

【答案】ABC

【详解】AB．如果小球带正电，则小球所受的洛伦兹力方向背离圆心，当洛伦兹力的大小等于小球原来所受合力大小时，绳子断后，小球做逆时针的匀速圆周运动，半径不变，也可能洛伦兹力大于之前合力的大小，则半径减小，故AB正确；

CD．若小球带负电，则小球所受的洛伦兹力指向圆心，开始时，拉力可能为零，绳断后，仍然洛伦兹力提供向心力，顺时针做圆周运动，半径不变．若开始靠洛伦兹力和拉力的合力提供向心力，拉力减小为零，小球靠洛伦兹力提供向心力，速度的大小不变，半径变大，故C正确，D错误．故选ABC。

16．如图所示，一根水平光滑的绝缘直槽轨连接一个竖直放置的半径为R＝0.50m的绝缘光滑圆槽轨．槽轨处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感强度B＝0.5T，有一质量为m＝0.10g的带正电的电量为q＝1.6×10﹣3C的小球在水平轨道上向右运动，小球恰好能通过光滑圆槽轨的最高点，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　）

A．小球在最高点只受到洛仑兹力和重力的作用

B．小球在最高点时受到的洛仑兹力为1×10﹣3N

C．小球到达最高点的线速度是1m/s

D．小球在水平轨道上的初速度v0为6m/s

【答案】AC

【详解】设小球在最高点的速度为v，则小球在最高点所受洛伦兹力为：F＝qvB，方向竖直向上；由于小球恰好能通过最高点，故小球在最高点由洛伦兹力和重力共同提供向心力，故A正确；由上可知：mg﹣F＝m，小球运动过程机械能守恒：，联立得：v＝1m/s，F＝8×10﹣4N，v0＝4.6m/s，故BD错误，C正确；故选AC．

17．如图所示，空间存在竖直向上、大小为E的匀强电场和沿水平方向、垂直于纸面向里、大小为B的匀强磁场，一个质量为m的带电小球用长为L的绝缘细线吊着悬于O点，给小球一个水平方向的初速度，小球在竖直面内做匀速圆周运动，细线张力不为零；某时刻细线断开，小球仍做半径为L的匀速圆周运动，不计小球的大小，重力加速度为g，则

A．细线未断时，小球沿顺时针方向运动

B．小球的带电量为

C．小球运动的速度大小为

D．细线未断时，细线的拉力大小为

【答案】ABD

【详解】A.由于小球带正电，根据左手定则判断，细线未断时，小球沿顺时针方向运动，A项正确．

B.由于细线断了以后，小球还能做匀速圆周运动，说明小球带正电，电场力与重力等大反向，因此，B项正确；

CD.由于细线断了以后，小球仍做半径为L的匀速圆周运动，因此细线未断时，，细线断了以后，得到，细线的拉力大小，C项错误、D项正确；

18．在竖直放置固定半径为R的光滑绝缘圆环中，套有一个带电-q、质量m的小环，整个装置放在如图所示的正交匀强电磁场中，磁感应强度大小为B，电场，重力加速度为g．当小环从大环顶端无初速度下滑时，则小环 （   ）

A．运动到最低点的速度最大

B．不能做完整的圆周运动

C．对轨道最大压力为

D．受到的最大洛仑兹力

【答案】BD

【详解】A．将重力场和电场等效为一个等效场，只有运动到等效最低点速度才最大，故A错误．

B、电场力的方向向左，可知该等效最低点在左下侧，其等效最高点在环的右上侧，小环开始时的位置在等效最高点以下.由能量守恒定律可知无法到达等效最高点，不能做完整的圆周运动，故B正确.

C、D、由动能定理可得：，解得：，受到的最大洛仑兹力：；在等效最低点由牛顿第二定律有：，可知，故C错误，D正确.

故选BD.