专题13 机械能守恒中的杆连接模型、绳连接模型和非质点类模型-高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练

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高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题13 机械能守恒中的杆连接模型、绳连接模型和非质点类模型特训目标特训内容目标1高考真题（1T—2T）目标2杆连接模型（3T—7T）目标3绳连接模型（8T—12T）目标4非质点类模型（13T—17T）【特训典例】一、高考真题1．如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)重物落地后，小球线速度的大小v；(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；(3)重物下落的高度h。【答案】(1)；(2)；(3)【详解】(1)由题意可知当重物落地后鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知小球的线速度为(2)小球匀速转动，当在水平位置时设杆对球的作用力为F，合力提供向心力，则有结合(1)可解得杆对球的作用力大小为(3)设重物下落高度为H，重物下落过程中对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据系统机械能守恒可知而重物的速度等于鼓形轮的线速度，有联立各式解得2．打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。（1）求C的质量；（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。【答案】（1）；（2）6.5mg；（3）【详解】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知解得（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知解得，CD碰撞后D向下运动 距离后停止，根据动能定理可知解得F=6.5mg（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机械能守恒定律可知令对上式求导数可得当时解得即此时于是有解得此时C的最大动能为二、杆连接模型3．如图所示，一长直轻杆两端分别固定着质量均为m的小球A和B，两小球的半径忽略不计，杆的长度为l，竖直放置，由于微小的扰动，小球A沿竖直光滑槽向下运动，小球B沿水平光滑槽向右运动。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）A．当小球A沿竖直滑槽下滑距离为时，小球A的速度为B．小球A到达水平滑槽前瞬间的速度大小为C．在小球A到达水平滑槽前，轻杆对小球B一直做负功D．对小球B施加一个水平向左的恒定推力，可使小球A缓慢向下移动【答案】A【详解】A．设当小球A沿竖直滑槽下滑距离为时，小球A的速度为，小球B的速度为，根据机械能守恒定律得两小球沿杆方向上的速度相等，则有联立两式解得故A正确；B．小球A到达水平滑槽前瞬间小球B的速度为0，根据机械能守恒定律得解得故B错误；C．小球A、B组成的系统机械能守恒，小球B的动能开始是0，小球A撞击水平滑槽前瞬间小球B的动能还是0，所以轻杆对小球B先做正功后做负功，故C错误；D．对整体进行受力分析，缓慢移动两小球，受力平衡，水平向左的推力与竖直槽对A的弹力平衡再隔离小球A进行受力分析，竖直滑槽对小球A的弹力为小球A向下移动，夹角θ增大，增大，F增大，故D错误。故选A。4．如图，一长为L的轻杆两端分别用铰链与质量均为m的小球A、B连接，A套在固定竖直杆上，B放在倾角的斜面上。开始时，轻杆AB与竖直杆的夹角。现将轻杆由静止释放，A沿竖直杆向下运动，B沿斜面下滑。小球均可视为质点，不计一切摩擦，已知重力加速度大小为g。下列判断正确的是（　　）A．A碰到斜面前瞬间，B重力的功率为零B．A碰到斜面前瞬间，B的速度大小为C．A碰到斜面前瞬间，A的速度大小为D．B下滑过程中，A重力势能的减少量等于A、B动能增加量之和【答案】C【详解】A．设A碰到斜面前瞬间的速度大小为，速度分解如图所示因杆不能伸长，则有，A碰到斜面前瞬间B重力的功率为故A错误；B C．两球下滑过程中， A、B组成的系统机械能守恒，则有解得；故B错误，C正确；D．由系统机械能守恒，可知B球下滑过程中，A、B两球重力势能减少量之和等于A、B动能增加量之和，故D错误。故选C。5．如图所示，水平面内固定两根足够长的光滑细杆P、Q，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。可视为质点的小球a、b质量均为m，a球套在水平杆P上，b球套在水平杆Q上，a、b两小球通过铰链用轻杆连接。在图示位置（轻杆与细杆Q的夹角为45°）给系统一瞬时冲量，使a、b球分别获得大小均为v、沿杆方向的初速度。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　）A．b球能达的最大速度大小为2vB．b球能达的最大速度大小为C．当轻杆与细杆Q的夹角为30°时，a、b两球的速度大小比为D．当轻杆与细杆Q的夹角为30°时，a、b两球的速度大小比为【答案】BC【详解】AB．当b球运动到两杆交点处时，速度达到最大，此时a球速度为零，根据系统机械能守恒，有解得故A错误，B正确；CD．当轻杆与细杆的夹角为30°时，根据速度关联，小球b沿轻杆方向的速度分量与小球a沿轻杆方向的速度分量相等，即解得故C正确，D错误。故选BC。6．如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为0.3m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一水平光滑直杆。质量为2kg的小球a套在半圆环上，质量为1kg的小球b套在直杆上，两者之间用长为L=0.4m的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处静止释放，让其沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，g取10m/s2，则以下说法中正确的是（　　）A．小球a滑到与圆心O等高的P点时，a、b两球的速度大小相等B．小球a滑到与圆心O等高的P点时，a的速度大小为m/sC．小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点（图中未画出）过程中，a、b两球组成的系统机械能守恒D．小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点（图中未画出）的过程中，杆对小球b做的功为【答案】BCD【详解】A．当a滑到与O同高度P点时，a的速度v沿圆环切向向下，a沿杆方向速度为零，所以b的速度为零，故A错误；B．由机械能守恒定律可得解得m/s故B正确；C．小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点（图中未画出）过程中，a、b两球组成的系统除了两球的机械能在变化，系统没有其他形式能量在变化，所以系统机械能守恒。故C正确；D．杆与圆相切时，如图所示。 a的速度沿杆方向，设此时b的速度为，根据杆不可伸长和缩短，有由几何关系可得在图中，球a下降的高度，a、b系统机械能守恒，则有对b，由动能定理得J故D正确。故选BCD。7．意大利物理学家乔治•帕里西荣获2021年诺贝尔物理学奖，他发现了从原子到行星尺度的物理系统中无序和涨落间的相互影响，深刻揭示了无序体系中的隐藏对称性。如图为一个简单无序系统模型，两个质量均为m的小球M、N用两根长度均为的轻质细杆a、b连接，细杆a的一端可绕固定点自由转动，细杆b可绕小球M自由转动。开始时两球与点在同一高度，时刻由静止释放两球，两球在竖直面内做无序运动；时刻，细杆a与竖直方向的夹用，小球N恰好到达与点等高处且速度方向水平向右。重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（　　）A．时刻，小球M的速度方向竖直向下B．时刻，M、N两球的速度关系C．到过程中，a、b两杆对M球做功之和为D．到过程中，细杆b对N球的冲量大小为【答案】BC【详解】A．细杆a的一端可绕固定点O自由转动，则M的速度方向始终与杆a垂直，时刻小球M的速度方向不是竖直向下，选项A错误；BC．设t1时刻小球M、N的速度大小分别为vM，vN，如图所示M的速度方向始终与杆a垂直，当N速度方向水平向右时，二者沿杆b方向的分速度相等，有可得由系统机械能守恒，有解得方向向右下方，与水平方向的夹角为30°；方向水平向右。到过程中，对M球根据动能定理有解得选项C正确；D．到过程中，对N球根据动量定理有(矢量运算)解得选项D错误。故选BC。三、绳连接模型8．如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为mA的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接A，另一端悬挂质量为mB的小物块B，C为O点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离OC=h。开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°，现将A、B同时由静止释放，则下列分析正确的是（　　）A．物块A在运动过程中最大速度为B．物块A过C点后，向右运动最远距离为2hC．PO与水平方向的夹角为45°时，物块A、B速度大小关系D．物块A由P点出发第一次到达C点的过程中，物块B的机械能先增大后减小【答案】C【详解】A．当物块A运动到O点正下方C时，物块A的速度达到最大，B速度为零，根据系统机械能守恒有解得故A错误；B．根据系统机械能守恒及对称性，物块A过C点后，向右运动的最大距离与初始PC间的距离相等，即故B错误；C．当PO与水平方向的夹角为45°时，有解得故C正确；D．物块A由P点出发第一次到达C点的过程中，物块B在竖直方向先向下加速后向下减速，细线对物块B的拉力一直做负功，所以物块B的机械能一直减小，故D错误。故选C。9．如图所示，把光滑细铁丝制成半径的半圆形轨道并竖直固定在地面上，圆心O正上方处有轻质定滑轮，质量的小球A套在细铁丝上，一根不可伸长的轻绳绕过处于同一水平线上的两个定滑轮，一端连接小球A，另一端连接质量的小球B，两小球均可看作质点。现托住小球B，使小球A与地面恰好无挤压，然后由静止释放小球B。小球B始终没有落地，不计滑轮的大小和一切阻力，重力加速度取。下列说法正确的是（　　）A．释放瞬间，小球A和小球B的加速度大小满足B．两球刚开始运动时，小球A和小球B的速度大小满足C．小球A运动的最大速度为D．由释放到小球A的速度最大的过程中，细绳对小球B做的功为【答案】AD【详解】A．有几何关系可知，连接小球A的绳与竖直方向夹角的余弦值为设释放瞬间绳的拉力为T，对小球A，在竖直方向上对小球B，在竖直方向上解得故A正确；B．两球刚开始运动时，由速度分解可得故B错误；C．小球A和小球B组成的系统机械能守恒，当小球A运动到轨道最高点时速度最大，此时小球B的速度为0，由系统机械能守恒定律得解得故C错误；D．由动能定理得解得故D正确。故选AD。  10．如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮、和质量为m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，直杆与水平面的夹角，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮的距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从C点由静止释放，当小物块沿杆下滑距离也为L时（图中D处），下列说法不正确的是（    ）A．小物块刚释放时，轻绳对小球的拉力大于B．小球下降最大距离为C．小物块在D处的速度与小球速度大小之比为2∶1D．小物块在D处的速度【答案】AC【详解】A．物块从C点由静止释放时，小球将向下运动，瞬时加速度竖直向下，故轻绳对小球的拉力一定小于小球的重力mg，故A错误；B．当连接物块的绳子与杆垂直时，小球下降的距离最大，根据几何知识得故B正确；CD．小物块沿杆下滑距离L时，由几何知识，可知三角形为等边三角形，将小物块的速度分解为沿绳子方向和垂直绳子方向， 如图所示物块沿绳子方向的分速度等于小球的速度，则有可得对物块和小球组成的系统，由机械能守恒定律可得解得，故C正确，D错误。本题选择错误的，故选AC。11．如图所示，一倾角为的光滑斜面与半径为R的光滑圆弧在最高点对接，斜面固定在水平地面上，圆弧最低点与水平地面相切。质量分别为m和M的物块A与B（可视为质点）通过跨过斜面顶端光滑定滑轮的轻绳（长为1.5R）连接。初始时轻绳伸直，将物块B由圆弧的最高点静止释放，当物块B到达圆弧最低点时，物块A的速度为，重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　）A．物块B到达圆弧最低点时速度大小也为B．当物块B到达圆弧最低点时，物块A的机械能最大C．轻绳对物块A做的功为D．物块B经过圆弧最低点时受到的支持力小于【答案】BCD【详解】A．如图1所示，设物块B滑至圆弧最低点时的速度为，将其分解为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，其中分速度由几何关系可得故A错误；B．在物块B沿圆弧向下运动时，减小的机械能转化为物块A的机械能，则物块B到达圆弧最低点时，物块A的机械能最大，故B正确；C．轻绳对物块A做的功等于其机械能的增加量故C正确；D．对滑至圆弧最低点的物块B进行受力分析如图2所示，由牛顿第二定律可得解得故D正确。故选BCD。12．如图所示，倾角为的斜面体固定在足够高的水平桌面上，AP与桌边缘平齐，在斜面上固定放置半径为、内壁光滑的半圆管轨道AEB（管内径远小于），O为圆心，E为圆心等高处，最低点A、最高点B的切线水平，AB是半圆管轨道的直径。在管口B点处有光滑轻质小定滑轮（图中未画出），一轻绳跨过滑轮，一端与管内的小球连接，另一端与小物块连接，小物块竖直悬挂，小球位于最低点A，开始时整个装置被锁定，绳刚好拉直，某时刻解锁，整个装置由静止开始运动，已知小球质量为，小物块质量为，两者均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　）A．解锁瞬间，小物块加速度大小为B．小球无法通过B点C．小球运动到E点时速度大小为D．从解锁至小球运动到E点的过程中，绳子对物块做功为【答案】CD【详解】A．解锁瞬间绳子拉力突变，则此时小球加速度大小不为，故A错误；B．从A到B，由系统机械能守恒有解得则小球可以通过B点，故B错误；C．从A到E，由系统机械能守恒有解得故C正确；D．从解锁到小球运动至E点过程中，设绳对小物块做功为W，对小物块由动能定理有解得故D正确。故选CD。四、非质点类模型13．如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是（　　）A．水从小孔P射出的速度大小为B．y越小，则x越大C．x与小孔的位置无关D．当y = ，时，x最大，最大值为h【答案】D【详解】A．取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时由机械能守恒定律可知解得选项A错误；BCD．水从小孔P射出时做平抛运动，则x=vt；h-y=gt2解得可知x与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y=h-y，即y=h时x最大，最大值为h，并不是y越小x越大，选项D正确，BC错误。故选D。14．全长为L且质量分布均匀的长铁链由若干节组成，已知圆形管状轨道半径为R，L＞2πR，R远大于一节铁链的高度和长度，整个管道内壁光滑。如图所示，铁链具有初速度且靠自身惯性能通过圆形管状管道继续前进，下列判断正确的是（　　）A．铁链的每一节通过最高点的速度大小都相等B．在铁链的第一节完成圆周运动的过程中，第一节铁链机械能不守恒C．铁链的第一节与最后一节到达最高点时的速度大小不相等D．铁链的第一节回到最低点至最后一节刚进入圆状轨道的过程中铁链的重力势能保持不变【答案】BD【详解】AD．从第一节铁链进入圆轨道到第一节铁链回到最低点的过程中，铁链整体的重力势能不断增加，则整体的速度逐渐减小，此段过程中通过最高点的铁链速度在减小；当最后一节进入轨道后，整体的重力势能会逐渐减小，则速度逐渐增大；在第一节回到最低点至最后一节进入轨道的过程中铁链整体的重力势能不变，速度保持不变，A错误，D正确；B．铁链各部分之间有弹力作用，若选一节研究，在完成圆周运动过程中有除重力或弹簧弹力的其他外力做功，机械能不守恒，B正确；C．第一节到达最高点和最后一节到最高点时系统的重心位置相同，由 可知铁链的第一节与最后一节到达最高点时的速度大小不相等，C错误；故选BD。15．如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长．在圆弧轨道上静止着N个半径为的光滑刚性小球，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3……N．现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是A．N个小球在运动过程中始终不会散开B．第1个小球到达最低点的速度C．第N个小球在斜面上向上运动时机械能增大D．N个小球构成的系统在运动过程中机械能守恒，且总机械能【答案】AC【详解】在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球要向前压力的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确；把N个小球看成整体，若把弧AB的长度上的小球全部放在高度为R的斜面上，通过比较可知，放在斜面上的N个小球的整体的重心位置比较高．而放在斜面上时，整体的重心的高度为：R，选择B点为0势能点，则整体的重力势能小于NmgR，小球整体的重心运动到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得：Nmv2＜Nmg•R；解得：v＜，即第1个小球到达最低点的速度v＜，故B错误，D错误；冲上斜面后，前面的小球在重力沿斜面向下的分力的作用下，要做减速运动，而后面的小球由于惯性想变成匀速运动，所以后面的小球把前面的小球往上推，后面的小球对前面的小球做正功，所以可得第N个小球在斜面上向上运动时机械能增大．故C正确．故选AC．16．横截面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，不计水与筒壁间的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，最后两筒水面高度相等，则该过程中（        ）A．水柱的重力做正功B．大气压力对水柱做负功C．水柱的机械能守恒D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS（h1-h2）2【答案】ACD【详解】B．从把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中，大气压力对左筒水柱做正功，对右筒水柱做负功，抵消为零，故B错。ACD．水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左筒高的水柱移至右筒，重心下降，重力所做正功WG=ρgS=ρgS（h1-h2）2，A、C、D正确。故选ACD。17．如图所示的木板由倾斜部分和水平部分组成，两部分之间由一小段圆弧面相连接．倾斜部分为光滑圆槽；轨道一水平部分左端长为L的一部分是光滑的，其余部分是粗糙的，现有质量为 m、长为 L的均匀细铁链，在外力作用下静止在如图所示的位置，铁链下端距水平槽的高度为h。现撤去外力使铁链开始运动，最后铁链全部运动到水平轨道粗糙部分．已知重力加速度为g，斜面的倾角为θ，铁链与水平轨道粗糙部分的动摩擦因数为μ，不计铁链经过圆弧处时的能量损失。求：（1）铁链的最大速率；（2）从释放到铁链达到最大速率的过程中，后半部分铁链对前部分铁链所做的功；（3）最后铁链的左端离木板倾斜部分底端的距离。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】(1)铁链在倾斜轨道上下滑时，由机械能守恒定律可得解(2)当铁链刚到水平面时速率最大，以前半部分为研究对象，根据动能定理，可解得(3)设最后铁链的左端离木板倾斜部分底端的距离为s，从铁链开始运动到最后静止的整个过程，由动能定理得解得