第六章 实数【单元培优卷】-2022-2023学年七年级数学下册单元复习过过过（人教版）

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  第六章 实数（单元培优卷） 一、选择题（每小题3分，共30分）1．平方根和立方根都是本身的数是（　　）A．0 B．0和1 C．±1 D．0和±1【答案】A【解析】根据立方根和平方根性质可知，只有0的平方根和立方根都是本身，由此即可解决问题．【详解】平方根和立方根都是本身的数是0．故选A．【点睛】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．一个正数有两个互为相反数的平方根．这些都是需要熟记的内容．2．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|c-a|-|a+b|的值等于（    ）A．c+b B．b-c C．c-2a+b D．c-2a-b【答案】A【解析】观察数轴可得，从而得到，再化简绝对值，即可求解．【详解】解：观察数轴得：，∴，∴|c-a|-|a+b| 故选：A【点睛】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的性质，能够根据数轴比较实数的大小，掌握绝对值的性质是解题的关键．3．若2m-4与3m-1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（  ）A．2 B．一2 C．4 D．1【答案】C【解析】根据平方根的性质即可求出答案．【详解】解：由题意可知：2m-4+3m-1=0，解得：m=1，∴2m-4=-2所以这个数是4，故选C．【点睛】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．4．实数 与互为倒数，则a的值是(　　)A．8 B．－8 C．－ D．【答案】D【解析】根据两实数互为倒数的性质进行作答.【详解】由题知，＝1，求得a＝，所以选D.【点睛】本题考查了两实数互为倒数的性质，熟练掌握两实数互为倒数的性质是本题解题关键.5．如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（　　）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解析】试题解析：∵，而（0＜x＜150）是一个整数，且x为整数，∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式，所以可以是6，24，54，96共有4个．故选B．6．下列说法中错误的是（     ）A．中的 a可以是正数、负数或零       B．中的a不可能是负数C．数a的平方根有两个              D．数a的立方根有一个【答案】C【解析】A、根据立方根的定义即可判定；B、根据算术平方根的性质即可判定；C、根据平方根的定义即可判定；D、根据立方根的定义即可判定．【详解】A、中的a可以是正数、负数、零，故选项说法正确；B、中的a不可能是负数，故选项说法正确；C、如果a为0，则只有一个，故选项说法错误；D、数a的立方根只有一个，故选项说法正确．故选C．【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的定义及它们的性质．有平方根的应是非负数，任何数都有立方根．7．估算的值应在（    ）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间【答案】C【解析】先根据19位于两个相邻平方数16和25之间，估算的取值范围进而得出结论．【详解】解：由于16＜19＜25，所以，因此，故选：C．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，解题的关键是估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．8．各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”．例如153是“水仙花数”，因为．以下四个数中是“水仙花数”的是（    ）A．135 B．220 C．345 D．407【答案】D【解析】分别算出某数各个数位上数字的立方和，看其是否等于某数本身，若等于即为“水仙花数”，若不等于，即不是“水仙花数” ．【详解】解：A、∵，∴A不是“水仙花数”，不符合题意；B、∵，∴B不是“水仙花数”，不符合题意；C、∵，∴C不是“水仙花数”，不符合题意；D∵，∴D是“水仙花数”，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是正确理解题目所给概念并熟练应用实数运算法则去完成有关计算．9．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为4时，输出的y是(    )A．4 B．2 C． D．－【答案】C【解析】直接利用规定的运算顺序计算得出答案．【详解】解：4的算术平方根为：=2，则2的算术平方根为：，是无理数.故选C．【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数定义，正确把握运算顺序是解题关键．10．若规定“!”是一种数学运算符号，且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，⋯，则的值为（     ）A．9900 B．99！ C． D．2【答案】A【解析】先根据数学运算符号“！”得出和的值，再计算有理数的乘除法即可得．【详解】由题意得：故选：A．【点睛】本题考查了新运算下的有理数的乘除法，理解新运算是解题关键．二、填空题（每题3分，共15分）11．的平方根是____．【答案】±3【解析】根据算术平方根、平方根解决此题．【详解】解：，实数的平方根是．故答案为：．【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键．12．当x≤0时，化简|1-x|-的结果是______．【答案】1【解析】=1-x+x=113．若，则x2009+2009 =________________.【答案】2010【解析】分析：由于已知等式的两个二次根式有意义，而二次根式要求被开方数为非负数，由此列不等式组求x的值，接着就可以求出结果．详解：由y＝，根据二次根式的意义，得 解得x=1， ∴x2009+2009=1+2009=2010．故答案为2010.点睛：本题考查了二次根式的意义，指数运算，属于基础题，需要熟练掌握．14．记|a，b|的值为a，b两数中最大的数，如=5，若m满足=3－2m那么m=_____．【答案】【解析】根据题意可知，3-2m是两数中最大的数，分类讨论，列出等式，求解即可解答.【详解】根据题意，当2>2-m时，2=3-2m，m=；当2<2-m时，2-m=3-2m，m=1，此时2-m=1<2，不合题意；故答案为【点睛】本题为新定义运算类型试题，审清题意，根据题意进行计算即可，注意分类讨论思想的运用.15．观察下列算式：①＝＋＝16＋4＝20；②＝＋＝40＋4＝44；③＝＋＝72＋4＝76；④＝＋＝112＋4＝116；…根据以上规律计算：=__________．【答案】4076356【解析】观察题目所给的式子，可以发现其计算结果等于乘法式子首尾两个偶数的乘积的平方再开方，加上16的算术平方根，据此可解答.【详解】解：＝4076352＋4，＝4076356.【点睛】本题考查了探究规律，读懂题目信息，观察出式子的规律是解题的关键；三、解答题（共75分）16．（8分）(1)计算：|﹣2|+|﹣1|.【答案】1.【解析】原式利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．【详解】原式= =1．故答案为1．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（2）计算： .【答案】-2.【解析】根据二次根式、三次根式的化简方法计算，再合并同类项．【详解】，=，=-2.【点睛】本题考查实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、三次根式的化简．17．（8分）求符合下列条件的x的值．(1)(x＋5)2＝9；(2)(x－3)3－9＝0.【答案】（1） x=－8或x=－2；（2）x=6．【解析】（1）直接对方程两边开平方，注意9的平方根是±3，移项得出x的两个值；（2）将9移到等式右边，然后方程两边同乘以3，此时方程两边开立方，移项，得出x的一个值.【详解】解：（1）∵(x＋5)2＝9，∴x＋5＝±3，解得x1＝－2，x2＝－8；（2），移项得＝9，两边同时乘3得：(x－3)3＝27，∴x－3＝3，∴x＝6.【点睛】本题应用平方根、立方根的知识，掌握平方根有两个、立方根有一个是解答的前提.18．（9分）已知2a﹣1的平方根是±3，的算术平方根是b，求a+b的平方根．【答案】±3．【解析】先依据平方根、算术平方根的定义得到a、b的值，然后再代入求解即可．【详解】∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，∴a＝5，∵的算术平方根是b，即16的算术平方根是b，∴b＝4，∴±±3．【点睛】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，由平方根和算术平方根的定义得到2a-1=9，b=4是解题的关键．19．（9分）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值．【答案】6.5【解析】由题意可得：ab＝1，c＋d＝0，e＝±，f＝64，所以e2＝(±)2＝2，＝=4，再将已知数值代入要求的式子即可．【详解】解：由题意可知：ab＝1，c＋d＝0，e＝±，f＝64， ∴e2＝(±)2＝2，＝=4.∴ab＋＋e2＋＝＋0＋2＋4＝6．【点睛】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值，算术平方根和立方根，熟知相关知识是解题的关键．20．（10分）如图，点A表示的数为﹣，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n．（1）求n的值；（2）求|n+1|+（n+2﹣2）的值．【答案】（1）n＝﹣+2；（2）3.【解析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出n的值；（2）把n的值代入，再根据绝对值的性质、实数运算的法则计算即可得解．【详解】（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，∴点B所表示的数比点A表示的数大2，∵点A表示﹣，点B所表示的数为n，∴n＝﹣+2；（2）|n+1|+（n+2﹣2）＝|﹣+2+1|+（﹣+2+2﹣2）＝3﹣+＝3．【点睛】本题考查了实数与数轴，是基础题，主要利用了数轴上点的运动规律，还利用了绝对值的性质和二次根式的运算．21．（9分）某小区将原来400平方米的正方形场地改建成300平方米的长方形场地，且长和宽之比为3∶2.如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？并说明理由．【答案】够用．【解析】先设长方形场地的长为3x米，宽为2x米，根据新场地的面积为300平方米，列方程求出长方形的长和宽，再求出周长；再设正方形的边长为y米，根据正方形的面积为400平方米，列方程求出正方形的边长，再求出正方形的周长，与长方形的周长做比较即可得出结论.【详解】解：设长方形场地的长为3x米，宽为2x米，根据题意，得;3x·2x＝300,＝50,∴x＝±.∵长方形的长度为正数，∴x＝，即长方形的长为15，宽为，周长为50；再设正方形的边长为y米，则：＝400,y＝±20,∵正方形的边长为正数，∴y＝20；∴正方形的周长＝4×20＝80米；∵80＞50，∴这些铁栅栏够用.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系.22．（10分）阅读理解．∵＜＜，即2＜＜3．∴1＜﹣1＜2∴﹣1的整数部分为1，∴﹣1的小数部分为﹣2．解决问题：已知a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分．（1）求a，b的值；（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（）2＝17．【答案】（1）a＝1，b＝﹣4；（2）±4．【解析】（1）根据被开饭数越大算术平方根越大，可得a，b的值，（2）根据开平方运算，可得平方根．【详解】解：（1）∴，∴4＜5，∴1＜﹣3＜2，∴a＝1，b＝﹣4；（2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（﹣4+4）2＝﹣1+17＝16，∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：±＝±4．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜＜5是解题关键．23．（12分）如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．【答案】（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由见解析．【解析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【详解】解：（1）∵，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t，PC=2t，∴OP=8-2t，∵D（4，3），∴，，∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.