2022-2023学年高二数学 人教A版2019选择性必修第一册 同步讲义 第13讲 椭圆及其标准方程5种常考基础题型 Word版含解析

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第13讲 椭圆及其标准方程5种常考基础题型
考点分析
考点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．
注意：①若，则动点的轨迹为线段；
②若，则动点的轨迹无图形．
考点二：椭圆的标准方程与几何性质
标准方程


图形


性质
焦点
，
，
焦距


范围
，
，
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长，短轴长
离心率
（注：离心率越小越圆，越大越扁）



















考点三：椭圆的通径
过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
考点四：椭圆上一点的有关最值
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．

题型目录
题型一：椭圆的定义
题型二：利用椭圆定义的解题
题型三：利用椭圆定义求范围
题型四：椭圆中有关三角形周长、面积问题
题型五：椭圆的标准方程
典型例题
题型一：椭圆的定义
【例1】如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）．
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线
【答案】B
【解析】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆，故选：B
【例2】设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（       ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件可得，即可得答案.
【详解】
因为，所以动点M的轨迹是线段，
故选：D
【例3】已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）
A．（x≠0） B．（x≠0）
C．（x≠0） D．（x≠0）
【答案】B
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，
∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4∴b2＝20，
∴椭圆的方程是故选B．
【题型专练】
1．已知动点满足(为大于零的常数)﹐则动点的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线
【答案】C
【解析】的几何意义为点与点间的距离，
同理的几何意义为点与点间的距离，
且
又由为大于零的常数，可知，
当且仅当，即时取等，
故，
即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，
所以动点的轨迹为椭圆，
故选：C.
2.已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
【答案】A
【解析】 ，
故，
又，
根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.
故选：A.
3.（多选）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错；
B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确；
C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确；
D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错.
故选：BC
4.已知△ABC的周长为10，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵△ABC的周长为10，顶点，，
∴，，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，∵，∴，
又因为三点构成三角形，
∴椭圆的方程是.
故选：A．
题型二：利用椭圆定义的解题
在处理椭圆问题的时候，要优先思考定义，俗称定义优先原则，而非上来就直接设直线和椭圆联立．所以在解题的时候如果看到点在椭圆上，要时刻思考椭圆定义，将该点和焦点连线，用上定义分析问题．
【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若，则等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【解析】因，所以
【例2】椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点时，小球经过的最短路程是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能
【答案】C
【解析】因最短路程
【例3】（2021新高考1卷） 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】因，所以
【例4】（2023重庆市松树桥中学校高二月考）设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因，所以，所以
【例5】（2023吉林高三其他模拟）已知椭圆的焦点为，，其中，的长轴长为，过的直线与交于，两点.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设则，所以，因为，所以，所以，，因为，所以
【例6】设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由中位线定理以及椭圆方程得出，再由椭圆的定义得出，再求的值.
【详解】
由椭圆的定义可知，，由中位线定理可知，，将代入中，解得，即，，故
故选：C
【例7】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设线段的中点为，连接、，利用圆的几何性质可得出，求得，利用椭圆的定义可求得，可判断出的形状，即可得解.
【详解】
在椭圆中，，，，
设线段的中点为，连接、，则为圆的一条直径，则，

因为为的中点，则，则，
所以，为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为.
故选：C.
【例8】（2023·福建省泰宁第一中学月考）、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】如图，直线与直线相交于点N，由于PM是的平分线，且PM⊥，
所以三角形是等腰三角形，所以，点M为中点，因为O为的中点，
所以OM是三角形的中位线，所以，其中，
因，所以，所以，所以选


【题型专练】
1.（2023武邑月考）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（ ）
A．7倍 B．6倍 C．5倍 D．4倍
【答案】C
【解析】由题意知：，所以，因，所以，所以
2.（2023深圳期中）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，则为的中点，为的中点，所以，同理，所以
3.（2023重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆，焦点，.过作倾斜角为的直线L交上半椭圆于点A，以(O为坐标原点)为邻边作平行四边形，点B恰好也在椭圆上，则

A． B． C． D．12
【答案】B
【解析】由题意知关于轴对称，所以，又因，所以为平行四边形，连接，则为直角三角形，所以，所以，所以，所以
4.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【详解】
解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
5.在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（       ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.
【详解】
由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，
所以，，
由正弦定理边角关系知：.
故选：A
6.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设线段的中点为，连接、，利用圆的几何性质可得出，求得，利用椭圆的定义可求得，可判断出的形状，即可得解.
【详解】
在椭圆中，，，，
设线段的中点为，连接、，则为圆的一条直径，则，

因为为的中点，则，则，
所以，为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为.
故选：C.
7.设是椭圆：上一点，，分别是的左、右焦点，则
A．5 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】依题意得椭圆：焦点在轴，且，，
因为，所以，即，
又，，所以，故选：A．
8.椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则 等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．1.5
【答案】B
【解析】设椭圆另一焦点为,根据椭圆定义，故，
中, 是的中点，是的中点，故 是中位线，
.故选：B.
9.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．
10．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和 ，且为常数）成立是定值．
若动点到两定点的距离之和 ，且为常数），当，此时的轨迹不是椭圆．甲是乙的必要不充分条件．故选：．
11．已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设椭圆左焦点为，右焦点为，
因为的中点为，的中点为，所以，
又由，可得.故选：B.
题型三：利用椭圆定义求范围
若表示椭圆，则
若表示焦点在轴上的椭圆，则
若表示焦点在轴上的椭圆，则
【例1】方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方程x2＋ky2＝2可变形为：，表示焦点在x轴上的椭圆，则有：，
解得.易知当时，，当时未必有，所以是的充分但不必要条件.故选B.
【例2】“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则，解得：或
或是的真子集，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B
【例3】方程表示椭圆的一个必要不充分条件是（　　）
A．m＞0 B．m＞4 C．m＞0且m≠4 D．m＜0
【答案】A
【解析】若方程表示椭圆，则m＞0且m≠4，
∴m＞0是方程表示椭圆的一个必要不充分条件，故选：A
【例4】（多选题）已知曲线
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
【答案】AD
【解析】由题意得：，所以当，则，所以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当时，曲线为，所以表示圆，半径为，当时，曲线为，所以，所以表示两条直线，故选：AD
【题型专练】
1.已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，且，所以或．
故选D．
2.若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由于方程为椭圆，且焦点在轴上，所以，解得，所以，长轴长为.故选：D
3.是方程表示椭圆的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则有，解得且
所以是方程表示椭圆的必要不充分条件故选：B
4．已知p：方程表示椭圆，q：.则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示椭圆，则解得且，
易知可以推出，但是不能推出，故是的充分不必要条件．故选：A.
题型四：椭圆中有关三角形周长、面积问题
【例1】已知△的顶点､在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆方程知：，又，，
∴△的周长为，故选：D.


【例2】（2020·广西钦州一中高三开学考试（理））设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】，，由椭圆定义，，
由⊥得，
的面积为4，则，即，
，即,解得，即，故选：C.
【例3】椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为
A．24 B．28
C．40 D．48
【答案】A
【解析】由题意得：，所以，又因，所以，所以为直角三角形，所以，故选：A
【题型专练】
1.（2014安徽）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于两点，
（Ⅰ）若的周长为16，求；
【解析】：（Ⅰ）由得．
因为的周长为16，所以由椭圆定义可得
故．
2.点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆：，得：，
当点在椭圆上时，周长最大，为，
当点在轴上时，去最小值，为，
又因点为椭圆内部的动点，
所以周长的取值范围为.
故选：C.
3.已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解析】由椭圆知：a=3，
由椭圆的定义得：，
所以，
又因为，
所以，
故选：A
4.（黄梅国际育才高级中学高二月考）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.
【答案】
【解析】椭圆，
可得，设，，
可得，
化简可得：，
，故答案为．
5.（2020·正定县弘文中学月考）焦点在x轴上的椭圆 焦距为8，两个焦点为，弦AB过点，则的周长为（ ）
A．20 B．28 C． D．
【答案】D
【解析】由题意知 ，因为，所以，解得，所以的周长为，故选：D
题型五：椭圆的标准方程
【例1】椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
【答案】A
【解析】∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．故选：A．
【例2】已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由条件可知，所以，即，所以，故选：C

【例3】椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则
A．椭圆的短轴长为 B．椭圆的长轴长为4
C．椭圆的焦距为4 D．
【答案】B
【解析】由条件可知，所以，即，所以，故选：B
【例4】椭圆的右焦点到直线的距离是
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由条件可知，所以右焦点为，由点到直线的距离公式得，故选：B
【例5】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1），，焦点在y轴上；
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点
（3）经过两点
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由，，得，
焦点在y轴上，
其标准方程为.
（2）椭圆的焦点坐标为，
椭圆过点，
，
，
椭圆的标准方程为.
（3）设所求的椭圆方程为.
把两点代入，
得：，解得，
椭圆方程为.
【例6】（2020·四川青羊.树德中学高三月考（文））已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据椭圆的定义知的周长为，∴，又，，∴，
∴椭圆的标准方程为．
【例7】（2019全国1文12）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在和中，由余弦定理得，
又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【例8】椭圆（>>0）的左、右焦点分别为,，且过的直线交椭圆于两点，且．
（Ⅰ）若|，|，求椭圆的标准方程；
【解析】由椭圆的定义得，故，设椭圆的半焦距为，又已知得，所以，所以，故所求椭圆的标准方程为
【例9】已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（Ⅰ)求的方程；
【解析】由题意知，故，又已知得，所以，故所求椭圆的标准方程为
【题型专练】
1．到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为和两点间的距离，
所有由椭圆的定义知动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，，即，
所以，
所以所求动点的轨迹方程为，
故选：A.
2.（镇远县文德民族中学校高二月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.
（2）以点，为焦点，经过点.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
由题意有，可得，
故椭圆的标准方程为.
（2）设椭圆的标准方程为，焦距为.
由题意有，，，
有，，
故椭圆的标准方程为.
3.（多选）已知椭圆C：，则下列结论正确的是
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为 D．离心率为
【答案】D
【解析】由题意知，所以焦点在轴上，所以，所以，所以，故选D
4.已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【解析】要表示焦点在轴上的椭圆时， ，所以，解得，故选：D

5.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C与A，B两点，若△的周长为，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，解得，所以，故选B
6.（2019·山西高三开学考试（文））在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，的周长为16，即,
根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率为，即，则，故，则，则椭圆的方程为，故选：D．

7.（2022·全国甲（文）） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
8.（2020·海林市朝鲜族中学高三课时练习）已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是
A． B．或
C． D．以上均不正确
【答案】A
【解析】设经过两点P和点Q的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），
代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为+x2=1．故选A．