辽宁省朝阳市北票市高级中学2022-2023学年高二数学下学期3月月考试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省朝阳市北票市高级中学2022-2023学年高二数学下学期3月月考试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，为虚数单位，，若，则复数在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】易知，再结合复数的除法运算法则可得，根据复数的几何意义可得复数的坐标，即可得所在象限.
【详解】解：由题意知，，
所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
2. 数列的通项公式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察数列的特点，即可得到其通项公式.
【详解】根据题意数列其中，，，
，则其通项公式可以为
故选:B.
3. 如图，四边形中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用，表示.
【详解】，
．
故选：A.
4. 抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先求出准线方程，再根据抛物线定义求解.
【详解】对于抛物线 ， ， 准线方程为，
点A到焦点的距离为；
故选：C.
5. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（ ）
A. ，5B. 5，5C. ，6D. 5，6
【答案】C
【解析】
【分析】先求出x的值，再根据定义分别求解.
【详解】中位数 ，众数为4，,由题意知，解得，
该组数据的平均数为，
该组数据的方差是，
因为，所以该组数据的60%分位数是6；
故选：C.
6. 设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知函数在上是减函数，则有，结合函数的图象可得关于的限制条件，解出即可．
【详解】解：数列是单调递减数列，即有，
也即，
所以函数在上是减函数，
故有，解得．
所以实数的取值范围是．
故选：C．
7. 天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A. 54种B. 60种C. 72种D. 96种
【答案】A
【解析】
【分析】甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
【点睛】思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
8. 已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A. B. 12C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合对数的运算法则，得到，代入即可求解.
【详解】由题意，函数为上的奇函数，且，即，
且当时，，
又由.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦点为B. 渐近线方程为
C. 离心率e为D. 焦点到渐近线的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据方程求出，再由双曲线的性质以及点到直线的距离公式得出答案.
【详解】由方程可知
则焦点为，渐近线方程为，即
离心率为，焦点到渐近线的距离为
故选：BC
10. 已知的展开式中，的系数为56，则实数的取值可能为（ ）
A. -1B. 4C. 5D. 6
【答案】AD
【解析】
【分析】利用多项式的乘法法则得到系数由三部分组成，利用二项展开式的通项公式求出各项的系数，列出方程求出的值．
【详解】解：因为，所以的展开式中的系数是，故，解得或-1.
故选：AD
【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是图象的一条对称轴
C. 的最小正周期为
D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】对选项A，根据两角和公式得到，即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，根据周期公式即可判断C正确，对选项D，根据三角函数平移公式和函数的奇偶性即可判断D正确.
【详解】对选项A，
，
故A正确；
，故B错误；
对选项C，，C正确；
将的图象向左平移个单位后得，
定义域为，，
所以为偶函数，图象关于轴对称，D正确.
故选：ACD
12. 列昂纳多·斐波那契（Lenard Fibnacci，1170－1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先求出 分别计算选项A和B，再利用递推性质求解.
【详解】由题意知： ，
;
，A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，
= ，故C错误；
对于D，由，
则
，故D正确；
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_________.
【答案】0.175
【解析】
【分析】
设“他是谨慎的”，“他是一般的”，“他是冒失的”，事件“出事故”，由全概率公式求解.
【详解】设“他是谨慎的”，“他是一般的”，“他是冒失的”，
则构成了的一个划分，设事件“出事故”，
由全概率公式得，
.
故答案为：0.175
14. 已知等比数列的前4项和为8，前8项和为24，则S16______.
【答案】60
【解析】
【分析】根据等比数列的性质求解.
【详解】设公比为q，若 ，则数列 为常数列，前4项之和等于8，每项为常数2，
则前8项之和为16，不符合题意， ；
，依题意， ， ， ， ， ；
故答案为：60.
15. 已知圆和两点若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为______.
【答案】11
【解析】
【分析】利用轨迹方程定义和圆与圆的位置关系求解.
【详解】，记中点为，则，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又在圆上，所以两圆有交点，
则，而，得.
故答案为:11.
16. 如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正三棱柱得性质，确定外接球的球心，利用球的表面积公式以及勾股定理，可得答案.
【详解】由该三棱柱的外接球O的表面积为12π，设外接球得半径为，则，解得，
由题意，取上下底面三角形得中心，分别为，得中点即为外接圆圆心，作图如下：
则，平面，，
平面，，
在等边中，，
在中，，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的三个内角所对的边分别为，且，，的面积.
（1）求边和c；
（2）求角.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）计算出的值，由，可设，，利用三角形的面积公式可求得的值，进而可得结果；
（2）由（1）及余弦定理求得a的值，利用正弦定理求得的值，再由可知为锐角，由此可求得角的值.
【详解】（1）由，及，得.
由，可设，，
所以，
得，故，；
（2）根据（1）及余弦定理得，
由正弦定理，
所以，
由，知必为锐角，
故.
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式解三角形，考查计算化简的能力，属于基础题.
18. 已知等差数列的前项和为，有，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得知，然后利用裂项法求出数列的前项和，即可证明出.
【详解】（1）设数列的公差为，有，解得，有，因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
有，
由，有，故有，由上知.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，在求解等差数列的通项公式时，一般要建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.
19. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBD⊥平面PBC；
（2）若二面角P－BC－D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性质定理，可得答案；
（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案.
【小问1详解】
在平行四边形中，，，，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
【小问2详解】
由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：
设，则，在中，，
平面，平面，，
，平面，平面，
在二面角的平面角，即，
在中，，
在平行四边形中，，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，化简可得，
令，，解得平面的一个法向量，
设与平面的夹角为，
.
20. 已知数列的前n项和为，且满足， 数列为等比数列，且
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列， 求数列的前项和为
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据求出，进而通过基本量的运算求出；
（2）通过错位相减法即可求得答案.
【详解】（1）由题意，时，，
时，，n=1时，
∴.
设公比为q，所以，∴.
（2）由（1），
∴……①
则……②
由①-②得：
，
∴.
21. “学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮，该平台以全方位、多维度深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”.某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们今年1月底的积分情况，并将数据整理如下：
（1）已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；
（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：参考公式及数据：，其中n=a+b+c+d
【答案】（1）列联表见解析，没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】(1)根据独立性检验的方法判断即可求解；
(2)利用二项分布求分布列和数学期望.
【小问1详解】
补全列联表如图所示：
故没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
【小问2详解】
由题知，从已选取的400人中随机抽取1人，属于“非优秀员工”的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，
且，.
，，
所以的分布列为
所以.
22. 平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于不同两点､，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，.
【解析】
【分析】
（1）设点，则，化简即可求得轨迹的方程；
（2）若直线恰好过原点，直接计算的值即可；若直线不过原点，设直线，，求出相关点的坐标与向量，用表示出，联立直线与椭圆方程消去，利用韦达定理，化简求解即可．
【详解】（1）设点，
因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以，
化简可得
曲线方程为：．
（2）由题知，
若直线恰好过原点，则，，，
，，则，
，，则，
．
若直线不过原点，设直线，，
，，，，．
则，，，，
，，，，
由，得，从而；
由，得，从而；
故．
联立方程组得：，整理得，判别式恒大于零，
，，
．
综上所述，．
【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.积分
性别
2000～3000（分）
3001～4000（分）
4001～5000（分）
5001～6000（分）
>6000（分）
男性
80
60
30
20
10
女性
20
60
100
20
0
优秀员工
非优秀员工
总计
男性
女性
总计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀员工
非优秀员工
总计
男性
30
170
200
女性
20
180
200
总计
50
350
400
0
1
2
3