2022-2023学年山东省菏泽市开发区多校联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年山东省菏泽市开发区多校联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列不等式中，是一元一次不等式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列判断不正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

3.  若等腰三角形中有两边长分别为和，则这个三角形的周长为(    )

A.  B. 或 C.  D.

4.  用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，，，要根据“”证明≌，则还需要添加一个条件是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  有一个角是的直角三角形，斜边为，则斜边上的高为．(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，、分别是、的角平分线，则图中的等腰三角形有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

8.  如图，，平分， 交于点，，垂足为若，则的长为  (    )

A.  B.  C.  D.

9.  下面是教师出示的作图题．
已知：线段，，小明用如图所示的方法作，使，上的高．
作法：
作射线，以点为圆心、为半径画弧，交射线于点；
分别以点，为圆心、为半径画弧，两弧交于点，；
作直线，交于点；
以点为圆心、为半径在上方画弧，交直线于点，连接，．
对于横线上符号代表的内容，下列说法不正确的是(    )

A. 代表“线段的长” B. 代表“任意长”
C. 代表“大于的长” D. 代表“线段的长”

10.  已知点在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点，连接与相交于点，连接、，则；≌；；是等边三角形；平分；；以上结论正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若的解集是，则的取值范围是______．

12.  在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：如：则不等式的解集是        ．

13.  如图，在中，，，则的度数为        ．

14.  如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，的面积是______．

15.  如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，，则的度数为        ．

16.  如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
．
．
．
．

18.  本小题分
一次数学竞赛中，共有道题，规定答对一道题得分，答错或不答一道题扣分；分以上含分可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？

19.  本小题分
在等边的三条边，，上，分别取点，，，使得，连接，，，求证：是等边三角形．

20.  本小题分
如图，点在线段上，，，，于点．
求证：≌；
求证：平分．

21.  本小题分
已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
求证：是等腰三角形；
求的周长．

22.  本小题分
如图，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、求证：≌；
如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角请问结论≌是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
拓展应用：如图，，是，，三点所在直线上的两动点三点互不重合，点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，求证：是等边三角形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元一次不等式的识别．主要依据一元一次不等式的定义进行辨别．含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫一元一次不等式．
【解答】
解：分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式，不符合题意；

是一元二次不等式，不符合题意；
是二元一次不等式，不符合题意；
是一元一次不等式，符合题意．
故选D．

2.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时加，不等式仍成立，即，正确，不符合题意；
B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，正确，不符合题意；
C、在不等式的两边同时乘以，不等式仍成立，即，正确，不符合题意；
D、当时，，原变形错误，符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质进行判断．
本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：若为腰长，为底边长，
由于，则三角形不存在；
若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故选：．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
 

4.【答案】 

【解析】解：反证法证明命题“在中，若，则”时，
首先假设，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】
解：条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
≌，
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：如下图所示：

，于点，，．
，，，
，．
，，
．
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误．
故选：．
根据题目画出相应的图形，由题意可以求得、的长，由，，可以求得的长，从而可以解答本题．
本题考查角的直角三角形，解题的关键是画出合适的三角形，灵活变化，找出所求问题需要的条件．
 

7.【答案】 

【解析】解：共有个．
，
是等腰三角形；
、分别是、的角平分线，
，，
是等腰三角形，
，
是等腰三角形；
，，
，
又是的角平分线，
，
是等腰三角形；
、分别平分，，，
，．
，，
．
，，
，
即
是等腰三角形
由可得，
即
是等腰三角形．
综上所述，共有个等腰三角形．
故选：．
根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行一一分析，即可得出答案．
此题主要考查学生对角的平分线，等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：

平分，，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
过点作于点，根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质可得的度数，再根据含角的直角三角形的性质可得的长度，再证明，即可求出的长．
本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作法：
作射线，以点为圆心、“线段的长”为半径画弧，交射线于点；
分别以点，为圆心、“大于二分之一的长”为半径画弧，两弧交于点，；
作直线，交于点；
以点为圆心、“线段的长”为半径在上方画弧，交直线于点，连接，．
所以说法不正确的是．
故选：．
根据基本作图方法即可完成填空．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：三角形和三角形都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，故正确；
，
又，
，
，故正确；
，，，
≌，故正确；
，
又，
是等边三角形，故正确；
如图，过作，，

≌，
中边上的高与中边上的高对应相等，
即，
点在的角平分线上，
即平分，故正确；
如图，在上截取，则是等边三角形，

，，
又，，
≌，
，
，故正确；
故选：．
依据等边三角形的性质，判定≌，≌，≌，再分别依据全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高相等，即可得到正确的结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判断的综合运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 

11.【答案】 

【解析】解：，且不等式的解集是，
，
解得：．
故答案为：．
根据不等式的基本性质，结合题意可得，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质和解一元一次不等式的能力．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
不等式即为：，
解得，
故答案为：．
根据新定义运算，列出不等式，然后解不等式即可．
本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，根据新定义得出不等式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，，
为的外角，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形的性质，得出，，根据三角形的外角得出，根据三角形内角和，结合，求出的度数即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边对等角．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
过作于，于，连接，根据角平分线性质求出，根据的面积等于的面积、的面积以及的面积之和，即可求出答案．
【解答】
解：如图，过作于，于，连接，

，分别平分和，，
，，
即，
的面积是：


．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：垂直平分线段，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
证明，利用三角形内角和定理求解即可．
本题考查直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：．
连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
，
解集在数轴上表示为：

去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
解集在数轴上表示为：

，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
解集在数轴上表示为：

，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
解集在数轴上表示为：
 

【解析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成即可；
去括号，移项，合并同类项，系数化成即可；
移项，合并同类项，系数化成即可；
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

18.【答案】解：设答对题，那么答错或者不答的有题

解得：
答：至少要答对题． 

【解析】根据题意，设答对题，则答对获得的分数为，而答错损失的分数为，由这次竞赛获奖必须达到分，列出不等式求解即可．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确的不等关系是解题关键．
 

19.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
在和中，
，
≌，
≌，
，
是等边三角形． 

【解析】根据等边三角形的性质得出，，，进一步证得，即可证得≌≌，根据全等三角形的性质得出，即可证得是等边三角形．
此题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，，
≌，
≌，
，
又，
平分． 

【解析】根据平行线性质求出，根据推出≌；
根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质即可证明平分．
本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

21.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
，
，
平分，
，
，
，
，，
的周长为：




． 

【解析】首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得；
同理可得，根据的周长，求解即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，直线，直线，
，
，
，
在和中，
，
≌．
解：≌成立，
证明：当为钝角时，如图，
，
，，
，
在和中，
，
≌．
当为锐角时，如图，
，
，，
，
在和中，
，
≌．
证明：如图，和均为等边三角形，
，，，
，
由得≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌和，
，，
，
是等边三角形． 

【解析】由，推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
当为钝角时，由，推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；当为锐角时，用同样的方法可证明≌；
先由和均为等边三角形，得，，，则，而，由得≌，则，，可推导出，即可证明≌和，得，，则，即可证明是等边三角形．
此题重点考查同角的余角相等、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．