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2022-2023学年重庆八中九年级（下）月考数学试卷（2月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年重庆八中九年级（下）月考数学试卷（2月份）（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级学生测试成绩统计表等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆八中九年级（下）月考数学试卷（2月份）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面几何体中，是圆锥的为( )
A. B. C. D.
2. 2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢．141260用科学记数法可表示为( )
A. 0.14126×106 B. 1.4126×106 C. 1.4126×105 D. 14.126×104
3. 已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则( )
A. a+c>b+d B. a+b>c+d C. a+c>b−d D. a+b>c−d
4. 如图，已知AB//CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE.若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
5. 下列事件中是确定事件的是( )
A. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 B. 400人中有两人的生日在同一天
C. 三条线段可以组成一个三角形 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数
6. 已知抛物线顶点坐标为(2,3)，则抛物线的解析式可能为( )
A. y=−(x+2)2−3 B. y=−(x−2)2−3
C. y=−(x+2)2+3 D. y=−(x−2)2+3
7. 一个等腰的底边为4，腰是方程x2−5x+6=0的一个根.则这个等腰三角形的周长可能是( )
A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 9
8. 下列中国结图形都是边长为“1”的正方形按照一定规律组成，第①个图形中共有7个边长为“1”的正方形，第②个图形中共有12个边长为“1”的正方形，第③个图形中共有17个边长为“1”的正方形，…，依此规律，第⑥个图形中边长为“1”的正方形的个数是( )
A. 25 B. 27 C. 30 D. 32
9. 如图，△DBC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，连接AB，若∠ACB=40°，DB=DC，则∠ABD的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 25°
D. 65°
10. 如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF.设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=2，AO=3.则正方形BCEF的面积为( )
A. 18
B. 32
C. 34
D. 50
11. 若实数a使得关于x的分式方程x+ax−2+2x2−x=1有非负整数解，并且使关于y的一元一次不等式组y+15≥y2−1y+a<11y−3有且仅有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 定义：如果代数式A=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与B=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)，满足a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，则称这两个代数式A与B互为“和谐式”，对于上述“和谐式”A、B，下列三个结论正确的个数为( )
①若A=−x2−43mx−2，B=x2−2nx+n，则(m+n)2023的值为−1；
②若k为常数，关于x的方程A=k与B=k的解相同，则k=0；
③若p，q为常数，pA+qB的最小值为p−q，则A有最小值，且最小值为1．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. cos230°−(2−π)0= ．
14. 有四张除数字外其它完全一样的卡片，正面写有数字0，−1，2，−3.把它们全部背面朝上，抽出一张记为数m作为点A的横坐标，不放回，再抽一张记为数n作为点A的纵坐标.则点A(m,n)在第四象限内的概率为 ．
15. 如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以点B为圆心线段AB的长为半径画圆弧，若圆弧与线段BC交于点E，且弧线恰好过点O，若AB的长度为2，则图形中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
16. 若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数M为“永恒数”.将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，并规定F(M)=M−N9.若一个“永恒数”M的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且F(M)9为整数，则F(M)的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)(a+2b)2−4b(a+b)
(2)(x2−2xx2−4x+4+12−x)÷x−1x2−4
18. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠C=70°，∠D=55°．
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠ABC的角平分线BE交CD于点E；(保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中，证明四边形ABED是平行四边形，完成下列填空．
证明：∵AB//CD．
∴①．
∵∠C=70°．
∴∠ABC=180°−∠C=110°．
∵BE平分∠ABC．
∴②=12∠ABC=55°．
∵AB//CD．
∴③=∠ABE=55°．
∵∠D=55°
∴∠D=∠BEC=55°．
∴④．
∵AB//CD．
∴四边形ABED是平行四边形．
19. (本小题10.0分)
11月是我国的消防安全月，学校为了了解学生对消防安全知识的掌握情况，对全体学生进行了消防安全知识测试，学校从七年级和八年级学生中各随机抽取10名学生的测试成绩进行整理、描述和分析(测试成绩用x表示，共分为4个组：A组60≤x<70，B组70≤x<80，C组80≤x<90，D组90≤x≤100)，下面给出了部分信息：
抽取的七年级学生的成绩在C组的数据是：87，82，87，86，87
抽取的10名八年级学生的成绩是：64，74，95，86，67，76，86，98，86，88
抽取的七、八年级学生测试成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
七年级
82
a
87
八年级
82
86
b
(1)根据图表信息，a= ，b= ，n= ；
(2)该校有七年级学生1600人和八年级学生1680人，请估计安全知识测试成绩在85分及以上的人数．
(3)根据以上数据，你认为哪个年级的学生消防安全知识的掌握情况更好？请说明理由；(写出一条理由即可)
20. (本小题10.0分)
在△ABC中，点D和点E分别是AB、AC上两点，连接ED，EB.点F、G、H分别是DE、BC、BE的中点，连接HG，FG，HF．
(1)猜想∠A与∠FHG的关系，并证明你的猜想．
(2)若∠A=90°，∠2=∠1+60°，求ECFG的值．
21. (本小题10.0分)
为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元．
(1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？
(2)现计划用19322元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共800套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的23，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？
22. (本小题10.0分)
已知轮船在点A处测得灯塔点C位于北偏东60°方向，若轮船以15海里/小时的速度向正东方向行驶2个小时到达点B处，此时测得灯塔在轮船的北偏东45°方向.(参考数据：sin36°≈0.6，cos36°≈0.8，tan36°≈0.7，2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
(1)求轮船点B与灯塔点C的距离(结果精确到0.1m)；
(2)轮船在点B处发生故障，向位于C点的维修船发出信号，双方约定在岛屿点D处维修，点D位于点B的北偏东54°方向，点D位于点C的正南方向.发出信号后轮船即刻调转航线以原速向点D处航行，若2个小时后维修船以30海里/小时的速度向点D处行驶，请问维修船能否在轮船到达岛屿之前到达点D处？
23. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=4，AC=3.点P从点B出发，沿折线B−C−A运动，当它到达点A时停止，设点P运动的路程为x.点Q是射线CA上一点，CQ=6x，连接BQ.设y1=S△CBQ，y2=S△ABP．
(1)求出y1，y2与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
(2)补全表格中y1的值；
x
1
2
3
4
6
y1
______
______
______
______
______
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出y1的函数图象：
(3)在直角坐标系内直接画出y2函数图象，结合y1和y2的函数图象，求出当y1
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和B，与y轴交于点C(0,−2)．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点P为直线BC下方抛物线上一动点，过点P作AC的平行线交BC于点E，过点E作x轴的平行线交y轴于点F，求955PE+EF最大值．
(3)已知点D为y轴上一点，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转90°得到线段MD，将抛物线y=23x2+bx+c沿射线CB方向平移2313个单位长度，N为平移后抛物线对称轴上的一点，且N的纵坐标为3，Q为平面内任意一点，若以A、M、N、Q为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出其中一种情况的过程．
25. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为Rt△ABC的角平分线．
(1)如图1，若AD+AC=BC，求出∠ADC的度数；
(2)如图2，当AC≠BC时，将线段BD绕点B顺时针旋转90°得线段BE.点F是线段BC上一点，且CF=CD，连接EF，当∠CEF=∠CBE，请判断AC，CD与BC的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当AC=BC=42时，N为线段CD上一动点，F为BC的中点，连接NF，将线段NF绕点F顺时针旋转90°得线段FN′.H为直线AB上一动点，连接FH，将△AHF沿FH翻折至△ABC所在平面内，得到△A′FH，连接A′N，A′N′，NN′.当FA′−FN′最大时，直接写出△A′NN′的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A是圆柱；
B是圆锥；
C是三棱锥，也叫四面体；
D是球体，简称球；
故选：B．
简单几何体的识别．
本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】
解：141260=1.4126×105．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：A选项，∵a>b，c=d，
∴a+c>b+d，故该选项符合题意；
B选项，当a=2，b=1，c=d=3时，a+b
根据不等式的性质判断A选项；根据特殊值法判断B，C，D选项．
本题考查了实数大小比较，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个整式(或相等的整式)，不等号的方向不变是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C=20°，∠AEC=50°，
∴∠AEC=∠C+∠D，即50°=20°+∠D，
∴∠D=30°，
∵AB//CD，
∴∠A=∠D=30°．
故选：C．
由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠A的度数．
此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，故A错误；
B、400人中有两人的生日在同一天是必然事件，故B正确；
C、三条线段可以组成一个三角形是随机事件，故C错误；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，故D错误；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】D
【解析】解：A.y=−(x+2)2−3，顶点坐标为(−2,−3)，
故不符合题意；
B.y=−(x−2)2−3；顶点坐标为(2,−3)，
故不符合题意；
C.y=−(x+2)2+3，顶点坐标为(−2,3)，
故不符合题意；
D.y=−(x−2)2+3，顶点坐标为(2,3)，
故符合题意；
故选D．
根据顶点式y=a(x−h)2+k的定点坐标为(h,k)，逐一判断即可．
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标，熟悉顶点式的特征是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵x2−5x+6=0，
∴(x−2)(x−3)=0，
∴x−2=0或x−3=0，
∴x1=2，x2=3，
当三边是2，2，4时，
∵2+2=4，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是3，3，4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是3+3+4=10．
故选：B．
求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．
本题考查了三角形三边关系定理，解一元二次方程，等腰三角形性质的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．
8.【答案】D
【解析】解：第①个图形边长为1的小正方形有7个，
第②个图形边长为1的小正方形有7+5=12个，
第③个图形边长为1的小正方形有7+5×2=17个，
…
第n个图形边长为1的小正方形有7+5×(n−1)=(5n+2)个，
所以第⑥个图形中边长为1的小正方形的个数为5×6+2=32个．
故选：D．
由第①个图形有7个边长为1的小正方形，第②个图形有7+5=12个边长为1的小正方形，第③个图形有7+5×2=17个边长为1的小正方形，…由此得出第n个图形有(5n+2)个边长为1的小正方形，由此求得答案即可．
此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°．
∵∠ACB=40°，
∴∠A=90°−40°=50°，
∴∠D=∠A=50°，
∵DB=DC，
∴∠DCB=∠DBC=12(180°−50°)=65°，
∴∠DCA=∠DCB−∠ACB=65°−40°=25°，
∴∠ABD=∠DCA=25°．
故选：C．
先根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再由直角三角形的性质得出∠A的度数，根据圆周角定理可得∠D=∠A=50°，然后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理及直角三角形的性质是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：设AC交OB于点H，作OI⊥OA交AC于点I，则∠AOI=90°，
∵四边形BCEF是正方形，且它的中心为点O，
∴点O是BE与CF的交点，
∵BE⊥CF，
∴∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠IOC=90°−∠BOI，
∵OB=OE=12BE，OC=OF=12CF，且BE=CF，
∴OB=OC，
∵∠BAC=90°，∠AHB=∠OHC，
∴∠ABO=90°−∠AHB=90°−∠OHC=∠ICO，
在△AOB和△EOC中，
∠ABO=∠ICOOB=OC∠AOB=∠IOC，
∴△AOB≌△EOC(ASA)，
∴IC=AB=2，IO=AO=3，
∴AI=AO2+IO2=32+32=32，
∵AC=AI+IC=32+2=42，
∴S正方形BCEF=BC2=AB2+AC2=(2)2+(42)2=34，
故选：C．
设AC交OB于点H，作OI⊥OA交AC于点I，可证明△AOB≌△EOC，得IC=AB=2，IO=AO=3，则AI=32，所以AC=AI+IC=42，即可根据勾股定理求得BC2=AB2+AC2=34，则正方形BCEF的面积为34，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、同角或等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：y+15≥y2−1y+a<11y−3，
解得：y≤4y>a+310，
∵仅有4个整数解，
∴0≤a+310<1，
∴−3≤a<7，x+ax−2+2x2−x=1，
解得：x=a+22，
∵方程有非负整数解，
∴a+2≥0，且是2的倍数，
∵x≠2，
∴a≠2，
∵−3≤a<7，
∴满足条件的整数a为：−2，0，4，6
∴个数为4个．
故选：D．
解不等式组，根据仅有4个整数解，求出a的范围；解分式方程，根据a的范围，确定符合条件的a值即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法、分式方程的解法等知识点，掌握解不等式组再确定参数的范围是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：①∵A=−x2−43mx−2，B=x2−2nx+n，
依题意−43m−2n=0,−2+n=0，
解得：n=2，m=−3，
∴(m+n)2023=(−3+2)2023=−1，故①正确；
②x的方程A=k与B=k的解相同，
即−a1x2−b1x−c1−k=0与a1x2+b1x+c1−k=0的解相同，
∴a1x2+b1x+c1+k=a1x2+b1x+c1−k，
∴k=0，故②正确；
③pA+qB=p(a1x2+b1x+c1)+q(a2x2+b2x+c2)
=p(a1x2+b1x+c1)−q(a1x2+b1x+c1)
=(p−q)(a1x2+b1x+c1)，
∵pA+qB的最小值为p−q，
当p−q>0，
∴a1x2+b1x+c1的最小值为1，
∴A有最小值，且最小值为1，
当p−q<0，A有最大值，且最大值为1．
故③不正确．
故选：C．
根据新定义，得出m，n的值代入计算即可判断①；
根据方程的解的定义以及新定义得出得出a1x2+b1x+c1+k=a1x2+b1x+c1−k，即可判断②；
根据题意得出pA+qB=(p−q)(a1x2+b1x+c1)，即可判断③．
本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，掌握新定义是解题的关键．
13.【答案】−14
【解析】解：cos230°−(2−π)0
=(32)2−1
=34−1
=−14．
故答案为：−14．
根据特殊角的三角函数值与零次幂进行计算即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值与零次幂，掌握特殊角的三角函数值与零次幂是解题的关键．
14.【答案】16
【解析】解：列表如下：
0
−1
2
−3
0
(−1,0)
(2,0)
(−3,0)
−1
(0,−1)
(2,−1)
(−3,−1)
2
(0,2)
(−1,2)
(−3,2)
−3
(0,−3)
(−1,−3)
(2,−3)
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中点A(m,n)在第四象限内的结果数有2种，
∴点A(m,n)在第四象限内的概率为212=16，
故答案为：16．
先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到点A(m,n)在第四象限内的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
15.【答案】13π
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，
由作图方法可知AB=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠EBO=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴O是线段AC的中点，
∴S△ABO=S△BOC，
∴S阴影=S扇形ABO−S△ABO+S△BOC−S扇形BOE=S扇形ABO−S扇形BOE=60×π×22360−30×π×22360=13π．
故答案为：13π．
先证明△AOB是等边三角形，得到∠ABO=60°，则∠EBO=30°，再证明S△ABO=S△BOC，则S阴影=S扇形ABO−S△ABO+S△BOC−S扇形BOE=S扇形ABO−S扇形BOE，由此求解即可．
本题主要考查了矩形的性质，扇形面积，等边三角形的性质与判定，证明△AOB是等边三角形，得到∠ABO=60°，∠EBO=30°是解题的关键．
16.【答案】9
【解析】解：设M=1000a+100b+10c+d，则N=1000b+100a+10d+c，
∴F(M)=M−N9=1000a+100b+10c+d−1000b−100a−10d−c9
=900a−900b+9c−9d9
=100a−100b+c−d，
又∵b+c+d=12，
∴c=12−b−d，b+d=12−c，且a=b−d，
∴F(M)=100(b−d)−100b+12−b−d−d=100b−100d−100b+12−b−d−d=12−b−102d，
要使F(M)最大，必使d=0，且F(M)9=12−b9为整数，则b=3，
∴F(M)最大为9，
故答案为：9．
设M=1000a+100b+10c+d，则N=1000b+100a+10d+c，再利用F(M)能被9整除得到d与b的值，即可求解．
本题以新定义为背景，考查了整式的运算、因式分解，解题的关键是熟练应用“永恒数”的定义计算F(M)．
17.【答案】解：(1)原式=a2+4ab+4b2−4ab−4b2
=a2；
(2)原式=[x(x−2)(x−2)2+12−x]⋅(x+2)(x−2)x−1
=[x(x−2)(x−2)2−x−2(x−2)2]⋅(x+2)(x−2)x−1
=(x−1)(x−2)(x−2)2⋅(x+2)(x−2)x−1
=x+2．
【解析】(1)根据完全平方公式、单项式乘以多项式法则展开合并即可；
(2)先将括号内式子合并，然后因式分解化简即可．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18.【答案】(1)解：如图，BE即为所求；
；
(2)证明：∵AB//CD．
∴∠ABE=∠BEC．
∵∠C=70°．
∴∠ABC=180°−∠C=110°．
∵BE平分∠ABC．
∴∠ABE=12∠ABC=55°．
∵AB//CD．
∴∠BEC=∠ABE=55°．
∵∠D=55°
∴∠D=∠BEC=55°．
∴AD//BE．
∵AB//CD．
∴四边形ABED是平行四边形．
故答案为：①∠ABE=∠BEC；②∠ABE；③∠BEC；④AD//BE．
【解析】(1)根据角平分线的作法即可作出图形；
(2)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可．
本题考查作图−基本作图，平行线的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】84 86 20
【解析】解：(1)根据扇形统计图可得：抽取的七年级学生的成绩在A组有2人，C组5人，D组1人，B组所占百分比1−50%−20%−10%=20%，
∴B组有10−5−2−1=2人，n=20，
∴七年级的中位数是C组的从小到大的第1人和第2人的平均分，
∵在C组的数据按照从小到大排列是：82，86，87，87，87，
∴七年级中位数a=82+862=84；
在抽取的10名八年级学生的成绩64，74，95，86，67，76，86，98，86，88，
中86是出现次数最多的，故众数是b=86．
故答案为：84，86，20．
(2)∵七年级知识测试成绩在85分及以上的学生所占百分比510=50%，
∴七年级知识测试成绩在85分及以上的学生数为1600×50%=800人；
∵八年级知识测试成绩在85及以上的学生所占百分比610=60%，
∴八年级知识测试成绩在85分及以上的学生数为1680×60%=1008人；
(3)∵中位数84<86；
∴八年级年级的学生消防安全知识的掌握情况更好．
(1)用1减去其它组的百分数即可求出n，根据中位数和众数的方法求b和a的值；
(2)利用样本估计总体，估计安全知识测试成绩在85分及以上的学生所占百分比即可；
(3)根据中位数可判断八年级年级的学生消防安全知识的掌握情况更好．
本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
20.【答案】解：(1)猜想，∠A+∠EHG=180°，理由如下，
∵点F是DE的中点，点H是BE的中点，
∴FH//BD，
∴∠FHE=∠ABE，
∵点G是BC的中点，点H是BE的中点，
∴GH//CE，
∴∠HGB=∠C，
∵∠EHG=∠EBG+∠HGB=∠EBG+∠C，
∴∠FHG=∠FHE+∠EHG=∠ABE+∠EBG+∠C=∠ABC+∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+∠EHG=180°；
(2)∵点G是BC的中点，点H是BE的中点，
∴GH=12CE，即CE=2GH，
∵∠A=90°，∠A+∠EHG=180°，
∴∠EHG=90°，
∵FH//BD，
∴∠2=∠1+∠HFG，
∵∠2=∠1+60°，
∴∠HFG=60°，
∴∠HGF=30°，
∴FG=2FH，HG=FG2+FH2=3FH，
∴ECFG=2HGFG=23HF2HF=3．
【解析】(1)直接利用三角形的中位线定理得出FH//BD，GH//CE，再借助三角形的外角的性质即可得出∠A+∠EHG=180°，即可得出结论；
(2)利用三角形的中位线定理得出GH=12CE，由(1)的结论结合已知求得∠HFG=60°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
此题主要考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，求得∠HFG=60°是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价为y元，则由题意可得：
3x=2yx+2y=80，
解得：x=20y=30．
答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价为30元．
(2)设甲种模型数量为m，则乙种模型数量为(800−m)，由题意可得：
20m+30(800−m)≤19322800−m≥23m，
解得：m≥468m≤480，
∴468≤m≤480，
∵m为整数，
∴一共有13种选购方案，
设总费用为W元，
W=20m+24000−30m=24000−10m，
∴当m越大，总费用越少，
当m=480套时，
乙种为：800−480=320(套)．
答：乙种模型选购320套时，总费用最少．
【解析】(1)根据题意列出二元一次方程组求解即可；
(2)根据题意，列出一元一次不等式组即可求出选购方案，再根据总费用计算方式求出乙种模型数量即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是根据题意找到题目中的数量关系．
22.【答案】解：(1)如图，过点C作AE的垂线，交点为F，
由题意得：AB=15×2=30(海里)，
设CF=x，在Rt△CBF中，
∵∠CBF=45°，
∴BF=CF=x，
∴AF=x+30，
在Rt△CAF中，
∵∠CAF=30°，
∴CFAF=tan30°，
即：xx+30=33，
解得：x=153+15，
∴BC=2CF=2(153+15)=156+152≈57.9(海里)．
(2)如图，
∵点D位于点C的正南方向，
∴C，D，F三点共线，
∴DF⊥BF，
由(1)得：BF=CF=153+15，
∵点D位于点B的北偏东54°方向，
∴∠DBF=36°，
在Rt△DBF中，DFBF=tan36°，
即：DF153+15=0.7，
解得：DF=28.665≈28.7，
∴CD=12.285≈12.3，DB=DFsin36∘=28.70.6≈47.8，
∴轮船从B到D的时间为：47.815≈3.2小时，
∵2个小时后维修船向点D处行驶，
∴维修船时间为1.2小时，
∴维修船路程为1.2×30=36(海里)，
∵36>12.3，
∴维修船能在轮船到达岛屿之前到达点D处．
【解析】(1)过点C作AE的垂线，交点为F，构造直角三角形，设CF=x，分别表示其他线段，然后在Rt△CAF中，列式计算即可．
(2)求出轮船从B到D的时间，和维修船到达点D处的时间，比较即可．
本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，从题目中提取数学模型是解题关键．
23.【答案】(1)由题意可得，
y1=BC⋅CQ2=4×6x2=12x，
当0
(3)y2=3x2(0
当12x=3x2时，得x=22；当12x=−2x+14时，x=6；
则由图象可得，当y1
解：(1)见答案
(2)∵y1=12x(0
故答案为：12，6，4，3，2，
在x的取值范围内画出y1的函数图象见答案
(3)见答案
【分析】
(1)根据题意可以分别求得y1，y2与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
(2)根据(1)中的函数解析式，可以将表格补充完整，并画出相应的函数图象；
(3)根据(1)中y2的函数解析式，可以画出y2的函数图象，然后结合图象可以得到当y1
24.【答案】解：(1)把点A(−1,0)，点C(0,−2)代入y=23x2+bx+c得，23−b+c=0c=−2，
解得，b=−43c=−2，
∴抛物线解析式为y=23x2−43x−2．
(2)作PH//CF，交FE延长线于H，
，
∵EF//AB，
∴PH⊥FH，
∴∠AOC=∠EHP=90°，
∵AC//PE，EF//AB，
∴∠ACB=∠CEP，∠ABC=∠HEB，
∵∠ACB+∠CAO+∠ABC=180°，∠CEP+∠PEH+∠HEB=180°，
∴∠OAC=∠HEP，
∴△AOC∽△EHP，
∴HPEH=OCOA=2，
当0=23x2−43x−2时，
解得，x1=−1，x2=3，
∴点B坐标为(3,0)，
由点C(0,−2)得BC解析式为y=23x−2，
设点E坐标为(m,23m−2)，点P坐标为(n,23n2−43n−2)，
则HP=23m−23n2+43n，HE=n−m，
∴23m−23n2+43n=2(n−m)，
整理得，m=14n2+14n，
∴HE=n−(14n2+14n)=−14n2+34n．
∵HP=2HE，
∴EP=5HE=5(−14n2+34n)，
∴955PE=955×5(−14n2+34n)=−94n2+274n，
∴955PE+EF=−94n2+274n+14n2+14n=−2(n−74)2+498，
∴955PE+EF的最大值为498．
(3)解：由点B坐标为(3,0)，点C(0,−2)可知，BC=32+22=13，
设点C平移到点T，作TU⊥OC于U，
∴△CTU～△CBO，
∴UTOB=CTCB，即UT3=213313，
∴UT=2，即抛物线向右平移两个单位，抛物线y=23x2−43x−2的对称轴为x=−−432×23=1，平移后抛物线的对称轴为x=3，则N点坐标为(3,3)，
，
如图所示，将线段OD绕点D逆时针旋转90°得到线段KD，由旋转可知，△DAO≅△DMK，
∴DK=DO，KM=OA=1，∠K=∠DOA=90°，
设D点坐标为(0,f)，则M点坐标为(f,f−1)，
∵A(−1,0)，N(3,3)，
∴AN2=25，AM2=(f+1)2+(f−1)2，NM2=(f−3)2+(f−4)2，
当AN=AM时，25=(f+1)2+(f−1)2，解得f1=462，f2=−462，
则点M坐标为：(462,462−1)或(−462,−462−1)；
当AN=NM时，25=(f−3)2+(f−4)2，解得f3=0，f4=7，
则点M坐标为：(0,−1)或(7,6)(此点和A、N在同一直线上，舍去)；
当AM=NM时，(f+1)2+(f−1)2=(f−3)2+(f−4)2，解得f5=2314，
则点M坐标为：(2314,914)；
综上，点M的坐标为(2314,914)或(462,462−1)或(−462,−462−1)或(0,−1)．
【解析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)作PH//CF，交FE延长线于H，证明△AOC∽△EHP，设点的坐标，列出关于955PE+EF函数关系式，利用二次函数性质求最值即可；
(3)由题意得出抛物线向右平移两个单位，得出N点坐标，再设点D坐标，求出点M坐标，利用点的坐标，根据邻边相等列方程求解即可．
本题考查了二次函数的综合，解题关键是求出二次函数解析式，设出点的坐标，利用相似三角形性质和二次函数性质求解．
25.【答案】解：(1)如图所示，在CB上截取CE=CA，
∵CD为Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ECD=45°，
又∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴∠A=∠CED，AD=DE，
∵AD+AC=BC，CE+BE=BC，
∴BE=AD，
∴DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∵∠CED=∠B+∠EDB=2∠B=∠A，
又∵∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°+45°=75°；
(2)如图所示，连接DE交CB于点G，
∵CD为Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=45°，
∵BD=BE，∠DBE=90°，
∴∠GDB=∠GEB=45°=∠2，
∵∠CGD=∠EGB，
∴△CGD∽△EGB，
∴CGEG=DGBG，即CGDG=EGBG，
又∵∠CGE=∠DGB，
∴△CGE∽△DGB，
∴∠5=∠GDB=45°，
∴∠5=∠1，
∵∠CEF=∠CBE，即∠3=∠4，
∵∠ECF=∠BCE，
∴△CEF∽△CBE，
∴CECB=CFCE，
∴CE2=CB⋅CF，
又∵将线段BD绕点B顺时针旋转90°得线段BE，CF=CD，
∴BD=BF，∠4+∠ABC=90°，
∴CE2=CD⋅CB，
又∵∠ACB=90°，则∠A+∠ABC=90°，
∴∠4=∠A，
又∵∠3=∠4，
∴∠3=∠A，
又∵∠5=∠1=45°，CD=CF，
∴△ACD≌△ECF(ASA)，
∴AC=CE，
∴AC2=CD⋅CB；
(3)∵AC=BC=42，∠ACB=90°，
∴DB=12AB=12×42×2=4，
∵F是BC的中点，
∴CF=12BC=22，
∴A′F=AF=AC2+CF2=210，
∵FA′−FN′最大时即FN取得最小值时，
当FN⊥CD时，FN最小，如图所示，设NN′与BC交于点Q，
依题意，FN=FN′，且∠NFN′=90°，
则NN′=2NF=22，FQ=22×2=2，
∴△A′NN′的面积最大时，为NN′边上的高取得最大值，
∴当FA′+FQ最大时，即FA′与BC重合时，取的最大值，
此时QA′=QF+A′F=QF+AF=2+210，
∴△A′NN′的面积的最大值为12×NN′×QA′=12×22×(2+210)=2+45．
【解析】(1)在CB上截取CE=CA，证明△ACD≌△ECD，得出∠A=∠CED，AD=DE，由已知得出BE=AD，进而得出2∠B=∠A，即可求解；
(2)连接DE交CB于点G，证明∠5=∠1，然后证明△CEF∽△CBE，得出CE2=CB⋅CF，等量代换得出CE2=CD⋅CB，证明△ACD≌△ECF(ASA)，得出AC=CE，即可得出AC2=CD⋅CB；
(3)勾股定理得出A′F=AF=AC2+CF2=210，FA′−FN′最大时即FN取得最小值时，当FN⊥CD时，FN最小，如图所示，设NN′与BC交于点Q，依题意，FN=FN′，且∠NFN′=90°，则NN′=2NF=22，FQ=22×2=2，当FA′+FQ最大时，即FA′与BC重合时，取得最大值，此时QA′=QF+A′F=QF+AF=2+210，进而根据三角形面积公式即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
2022-2023学年重庆八中九年级（下）月考数学试卷（2月份）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面几何体中，是圆锥的为( )
A. B. C. D.
2. 2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢．141260用科学记数法可表示为( )
A. 0.14126×106 B. 1.4126×106 C. 1.4126×105 D. 14.126×104
3. 已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则( )
A. a+c>b+d B. a+b>c+d C. a+c>b−d D. a+b>c−d
4. 如图，已知AB//CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE.若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
5. 下列事件中是确定事件的是( )
A. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 B. 400人中有两人的生日在同一天
C. 三条线段可以组成一个三角形 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数
6. 已知抛物线顶点坐标为(2,3)，则抛物线的解析式可能为( )
A. y=−(x+2)2−3 B. y=−(x−2)2−3
C. y=−(x+2)2+3 D. y=−(x−2)2+3
7. 一个等腰的底边为4，腰是方程x2−5x+6=0的一个根.则这个等腰三角形的周长可能是( )
A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 9
8. 下列中国结图形都是边长为“1”的正方形按照一定规律组成，第①个图形中共有7个边长为“1”的正方形，第②个图形中共有12个边长为“1”的正方形，第③个图形中共有17个边长为“1”的正方形，…，依此规律，第⑥个图形中边长为“1”的正方形的个数是( )
A. 25 B. 27 C. 30 D. 32
9. 如图，△DBC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，连接AB，若∠ACB=40°，DB=DC，则∠ABD的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 25°
D. 65°
10. 如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF.设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=2，AO=3.则正方形BCEF的面积为( )
A. 18
B. 32
C. 34
D. 50
11. 若实数a使得关于x的分式方程x+ax−2+2x2−x=1有非负整数解，并且使关于y的一元一次不等式组y+15≥y2−1y+a<11y−3有且仅有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 定义：如果代数式A=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与B=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)，满足a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，则称这两个代数式A与B互为“和谐式”，对于上述“和谐式”A、B，下列三个结论正确的个数为( )
①若A=−x2−43mx−2，B=x2−2nx+n，则(m+n)2023的值为−1；
②若k为常数，关于x的方程A=k与B=k的解相同，则k=0；
③若p，q为常数，pA+qB的最小值为p−q，则A有最小值，且最小值为1．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. cos230°−(2−π)0= ．
14. 有四张除数字外其它完全一样的卡片，正面写有数字0，−1，2，−3.把它们全部背面朝上，抽出一张记为数m作为点A的横坐标，不放回，再抽一张记为数n作为点A的纵坐标.则点A(m,n)在第四象限内的概率为 ．
15. 如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以点B为圆心线段AB的长为半径画圆弧，若圆弧与线段BC交于点E，且弧线恰好过点O，若AB的长度为2，则图形中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
16. 若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数M为“永恒数”.将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，并规定F(M)=M−N9.若一个“永恒数”M的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且F(M)9为整数，则F(M)的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)(a+2b)2−4b(a+b)
(2)(x2−2xx2−4x+4+12−x)÷x−1x2−4
18. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠C=70°，∠D=55°．
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠ABC的角平分线BE交CD于点E；(保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中，证明四边形ABED是平行四边形，完成下列填空．
证明：∵AB//CD．
∴①．
∵∠C=70°．
∴∠ABC=180°−∠C=110°．
∵BE平分∠ABC．
∴②=12∠ABC=55°．
∵AB//CD．
∴③=∠ABE=55°．
∵∠D=55°
∴∠D=∠BEC=55°．
∴④．
∵AB//CD．
∴四边形ABED是平行四边形．
19. (本小题10.0分)
11月是我国的消防安全月，学校为了了解学生对消防安全知识的掌握情况，对全体学生进行了消防安全知识测试，学校从七年级和八年级学生中各随机抽取10名学生的测试成绩进行整理、描述和分析(测试成绩用x表示，共分为4个组：A组60≤x<70，B组70≤x<80，C组80≤x<90，D组90≤x≤100)，下面给出了部分信息：
抽取的七年级学生的成绩在C组的数据是：87，82，87，86，87
抽取的10名八年级学生的成绩是：64，74，95，86，67，76，86，98，86，88
抽取的七、八年级学生测试成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
七年级
82
a
87
八年级
82
86
b
(1)根据图表信息，a= ，b= ，n= ；
(2)该校有七年级学生1600人和八年级学生1680人，请估计安全知识测试成绩在85分及以上的人数．
(3)根据以上数据，你认为哪个年级的学生消防安全知识的掌握情况更好？请说明理由；(写出一条理由即可)
20. (本小题10.0分)
在△ABC中，点D和点E分别是AB、AC上两点，连接ED，EB.点F、G、H分别是DE、BC、BE的中点，连接HG，FG，HF．
(1)猜想∠A与∠FHG的关系，并证明你的猜想．
(2)若∠A=90°，∠2=∠1+60°，求ECFG的值．
21. (本小题10.0分)
为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元．
(1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？
(2)现计划用19322元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共800套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的23，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？
22. (本小题10.0分)
已知轮船在点A处测得灯塔点C位于北偏东60°方向，若轮船以15海里/小时的速度向正东方向行驶2个小时到达点B处，此时测得灯塔在轮船的北偏东45°方向.(参考数据：sin36°≈0.6，cos36°≈0.8，tan36°≈0.7，2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
(1)求轮船点B与灯塔点C的距离(结果精确到0.1m)；
(2)轮船在点B处发生故障，向位于C点的维修船发出信号，双方约定在岛屿点D处维修，点D位于点B的北偏东54°方向，点D位于点C的正南方向.发出信号后轮船即刻调转航线以原速向点D处航行，若2个小时后维修船以30海里/小时的速度向点D处行驶，请问维修船能否在轮船到达岛屿之前到达点D处？
23. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=4，AC=3.点P从点B出发，沿折线B−C−A运动，当它到达点A时停止，设点P运动的路程为x.点Q是射线CA上一点，CQ=6x，连接BQ.设y1=S△CBQ，y2=S△ABP．
(1)求出y1，y2与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
(2)补全表格中y1的值；
x
1
2
3
4
6
y1
______
______
______
______
______
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出y1的函数图象：
(3)在直角坐标系内直接画出y2函数图象，结合y1和y2的函数图象，求出当y1
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和B，与y轴交于点C(0,−2)．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点P为直线BC下方抛物线上一动点，过点P作AC的平行线交BC于点E，过点E作x轴的平行线交y轴于点F，求955PE+EF最大值．
(3)已知点D为y轴上一点，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转90°得到线段MD，将抛物线y=23x2+bx+c沿射线CB方向平移2313个单位长度，N为平移后抛物线对称轴上的一点，且N的纵坐标为3，Q为平面内任意一点，若以A、M、N、Q为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出其中一种情况的过程．
25. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为Rt△ABC的角平分线．
(1)如图1，若AD+AC=BC，求出∠ADC的度数；
(2)如图2，当AC≠BC时，将线段BD绕点B顺时针旋转90°得线段BE.点F是线段BC上一点，且CF=CD，连接EF，当∠CEF=∠CBE，请判断AC，CD与BC的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当AC=BC=42时，N为线段CD上一动点，F为BC的中点，连接NF，将线段NF绕点F顺时针旋转90°得线段FN′.H为直线AB上一动点，连接FH，将△AHF沿FH翻折至△ABC所在平面内，得到△A′FH，连接A′N，A′N′，NN′.当FA′−FN′最大时，直接写出△A′NN′的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A是圆柱；
B是圆锥；
C是三棱锥，也叫四面体；
D是球体，简称球；
故选：B．
简单几何体的识别．
本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】
解：141260=1.4126×105．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：A选项，∵a>b，c=d，
∴a+c>b+d，故该选项符合题意；
B选项，当a=2，b=1，c=d=3时，a+b
根据不等式的性质判断A选项；根据特殊值法判断B，C，D选项．
本题考查了实数大小比较，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个整式(或相等的整式)，不等号的方向不变是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C=20°，∠AEC=50°，
∴∠AEC=∠C+∠D，即50°=20°+∠D，
∴∠D=30°，
∵AB//CD，
∴∠A=∠D=30°．
故选：C．
由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠A的度数．
此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，故A错误；
B、400人中有两人的生日在同一天是必然事件，故B正确；
C、三条线段可以组成一个三角形是随机事件，故C错误；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，故D错误；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】D
【解析】解：A.y=−(x+2)2−3，顶点坐标为(−2,−3)，
故不符合题意；
B.y=−(x−2)2−3；顶点坐标为(2,−3)，
故不符合题意；
C.y=−(x+2)2+3，顶点坐标为(−2,3)，
故不符合题意；
D.y=−(x−2)2+3，顶点坐标为(2,3)，
故符合题意；
故选D．
根据顶点式y=a(x−h)2+k的定点坐标为(h,k)，逐一判断即可．
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标，熟悉顶点式的特征是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵x2−5x+6=0，
∴(x−2)(x−3)=0，
∴x−2=0或x−3=0，
∴x1=2，x2=3，
当三边是2，2，4时，
∵2+2=4，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是3，3，4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是3+3+4=10．
故选：B．
求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．
本题考查了三角形三边关系定理，解一元二次方程，等腰三角形性质的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．
8.【答案】D
【解析】解：第①个图形边长为1的小正方形有7个，
第②个图形边长为1的小正方形有7+5=12个，
第③个图形边长为1的小正方形有7+5×2=17个，
…
第n个图形边长为1的小正方形有7+5×(n−1)=(5n+2)个，
所以第⑥个图形中边长为1的小正方形的个数为5×6+2=32个．
故选：D．
由第①个图形有7个边长为1的小正方形，第②个图形有7+5=12个边长为1的小正方形，第③个图形有7+5×2=17个边长为1的小正方形，…由此得出第n个图形有(5n+2)个边长为1的小正方形，由此求得答案即可．
此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°．
∵∠ACB=40°，
∴∠A=90°−40°=50°，
∴∠D=∠A=50°，
∵DB=DC，
∴∠DCB=∠DBC=12(180°−50°)=65°，
∴∠DCA=∠DCB−∠ACB=65°−40°=25°，
∴∠ABD=∠DCA=25°．
故选：C．
先根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再由直角三角形的性质得出∠A的度数，根据圆周角定理可得∠D=∠A=50°，然后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理及直角三角形的性质是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：设AC交OB于点H，作OI⊥OA交AC于点I，则∠AOI=90°，
∵四边形BCEF是正方形，且它的中心为点O，
∴点O是BE与CF的交点，
∵BE⊥CF，
∴∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠IOC=90°−∠BOI，
∵OB=OE=12BE，OC=OF=12CF，且BE=CF，
∴OB=OC，
∵∠BAC=90°，∠AHB=∠OHC，
∴∠ABO=90°−∠AHB=90°−∠OHC=∠ICO，
在△AOB和△EOC中，
∠ABO=∠ICOOB=OC∠AOB=∠IOC，
∴△AOB≌△EOC(ASA)，
∴IC=AB=2，IO=AO=3，
∴AI=AO2+IO2=32+32=32，
∵AC=AI+IC=32+2=42，
∴S正方形BCEF=BC2=AB2+AC2=(2)2+(42)2=34，
故选：C．
设AC交OB于点H，作OI⊥OA交AC于点I，可证明△AOB≌△EOC，得IC=AB=2，IO=AO=3，则AI=32，所以AC=AI+IC=42，即可根据勾股定理求得BC2=AB2+AC2=34，则正方形BCEF的面积为34，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、同角或等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：y+15≥y2−1y+a<11y−3，
解得：y≤4y>a+310，
∵仅有4个整数解，
∴0≤a+310<1，
∴−3≤a<7，x+ax−2+2x2−x=1，
解得：x=a+22，
∵方程有非负整数解，
∴a+2≥0，且是2的倍数，
∵x≠2，
∴a≠2，
∵−3≤a<7，
∴满足条件的整数a为：−2，0，4，6
∴个数为4个．
故选：D．
解不等式组，根据仅有4个整数解，求出a的范围；解分式方程，根据a的范围，确定符合条件的a值即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法、分式方程的解法等知识点，掌握解不等式组再确定参数的范围是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：①∵A=−x2−43mx−2，B=x2−2nx+n，
依题意−43m−2n=0,−2+n=0，
解得：n=2，m=−3，
∴(m+n)2023=(−3+2)2023=−1，故①正确；
②x的方程A=k与B=k的解相同，
即−a1x2−b1x−c1−k=0与a1x2+b1x+c1−k=0的解相同，
∴a1x2+b1x+c1+k=a1x2+b1x+c1−k，
∴k=0，故②正确；
③pA+qB=p(a1x2+b1x+c1)+q(a2x2+b2x+c2)
=p(a1x2+b1x+c1)−q(a1x2+b1x+c1)
=(p−q)(a1x2+b1x+c1)，
∵pA+qB的最小值为p−q，
当p−q>0，
∴a1x2+b1x+c1的最小值为1，
∴A有最小值，且最小值为1，
当p−q<0，A有最大值，且最大值为1．
故③不正确．
故选：C．
根据新定义，得出m，n的值代入计算即可判断①；
根据方程的解的定义以及新定义得出得出a1x2+b1x+c1+k=a1x2+b1x+c1−k，即可判断②；
根据题意得出pA+qB=(p−q)(a1x2+b1x+c1)，即可判断③．
本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，掌握新定义是解题的关键．
13.【答案】−14
【解析】解：cos230°−(2−π)0
=(32)2−1
=34−1
=−14．
故答案为：−14．
根据特殊角的三角函数值与零次幂进行计算即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值与零次幂，掌握特殊角的三角函数值与零次幂是解题的关键．
14.【答案】16
【解析】解：列表如下：
0
−1
2
−3
0
(−1,0)
(2,0)
(−3,0)
−1
(0,−1)
(2,−1)
(−3,−1)
2
(0,2)
(−1,2)
(−3,2)
−3
(0,−3)
(−1,−3)
(2,−3)
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中点A(m,n)在第四象限内的结果数有2种，
∴点A(m,n)在第四象限内的概率为212=16，
故答案为：16．
先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到点A(m,n)在第四象限内的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
15.【答案】13π
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，
由作图方法可知AB=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠EBO=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴O是线段AC的中点，
∴S△ABO=S△BOC，
∴S阴影=S扇形ABO−S△ABO+S△BOC−S扇形BOE=S扇形ABO−S扇形BOE=60×π×22360−30×π×22360=13π．
故答案为：13π．
先证明△AOB是等边三角形，得到∠ABO=60°，则∠EBO=30°，再证明S△ABO=S△BOC，则S阴影=S扇形ABO−S△ABO+S△BOC−S扇形BOE=S扇形ABO−S扇形BOE，由此求解即可．
本题主要考查了矩形的性质，扇形面积，等边三角形的性质与判定，证明△AOB是等边三角形，得到∠ABO=60°，∠EBO=30°是解题的关键．
16.【答案】9
【解析】解：设M=1000a+100b+10c+d，则N=1000b+100a+10d+c，
∴F(M)=M−N9=1000a+100b+10c+d−1000b−100a−10d−c9
=900a−900b+9c−9d9
=100a−100b+c−d，
又∵b+c+d=12，
∴c=12−b−d，b+d=12−c，且a=b−d，
∴F(M)=100(b−d)−100b+12−b−d−d=100b−100d−100b+12−b−d−d=12−b−102d，
要使F(M)最大，必使d=0，且F(M)9=12−b9为整数，则b=3，
∴F(M)最大为9，
故答案为：9．
设M=1000a+100b+10c+d，则N=1000b+100a+10d+c，再利用F(M)能被9整除得到d与b的值，即可求解．
本题以新定义为背景，考查了整式的运算、因式分解，解题的关键是熟练应用“永恒数”的定义计算F(M)．
17.【答案】解：(1)原式=a2+4ab+4b2−4ab−4b2
=a2；
(2)原式=[x(x−2)(x−2)2+12−x]⋅(x+2)(x−2)x−1
=[x(x−2)(x−2)2−x−2(x−2)2]⋅(x+2)(x−2)x−1
=(x−1)(x−2)(x−2)2⋅(x+2)(x−2)x−1
=x+2．
【解析】(1)根据完全平方公式、单项式乘以多项式法则展开合并即可；
(2)先将括号内式子合并，然后因式分解化简即可．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18.【答案】(1)解：如图，BE即为所求；
；
(2)证明：∵AB//CD．
∴∠ABE=∠BEC．
∵∠C=70°．
∴∠ABC=180°−∠C=110°．
∵BE平分∠ABC．
∴∠ABE=12∠ABC=55°．
∵AB//CD．
∴∠BEC=∠ABE=55°．
∵∠D=55°
∴∠D=∠BEC=55°．
∴AD//BE．
∵AB//CD．
∴四边形ABED是平行四边形．
故答案为：①∠ABE=∠BEC；②∠ABE；③∠BEC；④AD//BE．
【解析】(1)根据角平分线的作法即可作出图形；
(2)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可．
本题考查作图−基本作图，平行线的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】84 86 20
【解析】解：(1)根据扇形统计图可得：抽取的七年级学生的成绩在A组有2人，C组5人，D组1人，B组所占百分比1−50%−20%−10%=20%，
∴B组有10−5−2−1=2人，n=20，
∴七年级的中位数是C组的从小到大的第1人和第2人的平均分，
∵在C组的数据按照从小到大排列是：82，86，87，87，87，
∴七年级中位数a=82+862=84；
在抽取的10名八年级学生的成绩64，74，95，86，67，76，86，98，86，88，
中86是出现次数最多的，故众数是b=86．
故答案为：84，86，20．
(2)∵七年级知识测试成绩在85分及以上的学生所占百分比510=50%，
∴七年级知识测试成绩在85分及以上的学生数为1600×50%=800人；
∵八年级知识测试成绩在85及以上的学生所占百分比610=60%，
∴八年级知识测试成绩在85分及以上的学生数为1680×60%=1008人；
(3)∵中位数84<86；
∴八年级年级的学生消防安全知识的掌握情况更好．
(1)用1减去其它组的百分数即可求出n，根据中位数和众数的方法求b和a的值；
(2)利用样本估计总体，估计安全知识测试成绩在85分及以上的学生所占百分比即可；
(3)根据中位数可判断八年级年级的学生消防安全知识的掌握情况更好．
本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
20.【答案】解：(1)猜想，∠A+∠EHG=180°，理由如下，
∵点F是DE的中点，点H是BE的中点，
∴FH//BD，
∴∠FHE=∠ABE，
∵点G是BC的中点，点H是BE的中点，
∴GH//CE，
∴∠HGB=∠C，
∵∠EHG=∠EBG+∠HGB=∠EBG+∠C，
∴∠FHG=∠FHE+∠EHG=∠ABE+∠EBG+∠C=∠ABC+∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+∠EHG=180°；
(2)∵点G是BC的中点，点H是BE的中点，
∴GH=12CE，即CE=2GH，
∵∠A=90°，∠A+∠EHG=180°，
∴∠EHG=90°，
∵FH//BD，
∴∠2=∠1+∠HFG，
∵∠2=∠1+60°，
∴∠HFG=60°，
∴∠HGF=30°，
∴FG=2FH，HG=FG2+FH2=3FH，
∴ECFG=2HGFG=23HF2HF=3．
【解析】(1)直接利用三角形的中位线定理得出FH//BD，GH//CE，再借助三角形的外角的性质即可得出∠A+∠EHG=180°，即可得出结论；
(2)利用三角形的中位线定理得出GH=12CE，由(1)的结论结合已知求得∠HFG=60°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
此题主要考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，求得∠HFG=60°是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价为y元，则由题意可得：
3x=2yx+2y=80，
解得：x=20y=30．
答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价为30元．
(2)设甲种模型数量为m，则乙种模型数量为(800−m)，由题意可得：
20m+30(800−m)≤19322800−m≥23m，
解得：m≥468m≤480，
∴468≤m≤480，
∵m为整数，
∴一共有13种选购方案，
设总费用为W元，
W=20m+24000−30m=24000−10m，
∴当m越大，总费用越少，
当m=480套时，
乙种为：800−480=320(套)．
答：乙种模型选购320套时，总费用最少．
【解析】(1)根据题意列出二元一次方程组求解即可；
(2)根据题意，列出一元一次不等式组即可求出选购方案，再根据总费用计算方式求出乙种模型数量即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是根据题意找到题目中的数量关系．
22.【答案】解：(1)如图，过点C作AE的垂线，交点为F，
由题意得：AB=15×2=30(海里)，
设CF=x，在Rt△CBF中，
∵∠CBF=45°，
∴BF=CF=x，
∴AF=x+30，
在Rt△CAF中，
∵∠CAF=30°，
∴CFAF=tan30°，
即：xx+30=33，
解得：x=153+15，
∴BC=2CF=2(153+15)=156+152≈57.9(海里)．
(2)如图，
∵点D位于点C的正南方向，
∴C，D，F三点共线，
∴DF⊥BF，
由(1)得：BF=CF=153+15，
∵点D位于点B的北偏东54°方向，
∴∠DBF=36°，
在Rt△DBF中，DFBF=tan36°，
即：DF153+15=0.7，
解得：DF=28.665≈28.7，
∴CD=12.285≈12.3，DB=DFsin36∘=28.70.6≈47.8，
∴轮船从B到D的时间为：47.815≈3.2小时，
∵2个小时后维修船向点D处行驶，
∴维修船时间为1.2小时，
∴维修船路程为1.2×30=36(海里)，
∵36>12.3，
∴维修船能在轮船到达岛屿之前到达点D处．
【解析】(1)过点C作AE的垂线，交点为F，构造直角三角形，设CF=x，分别表示其他线段，然后在Rt△CAF中，列式计算即可．
(2)求出轮船从B到D的时间，和维修船到达点D处的时间，比较即可．
本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，从题目中提取数学模型是解题关键．
23.【答案】(1)由题意可得，
y1=BC⋅CQ2=4×6x2=12x，
当0
(3)y2=3x2(0
当12x=3x2时，得x=22；当12x=−2x+14时，x=6；
则由图象可得，当y1
解：(1)见答案
(2)∵y1=12x(0
故答案为：12，6，4，3，2，
在x的取值范围内画出y1的函数图象见答案
(3)见答案
【分析】
(1)根据题意可以分别求得y1，y2与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
(2)根据(1)中的函数解析式，可以将表格补充完整，并画出相应的函数图象；
(3)根据(1)中y2的函数解析式，可以画出y2的函数图象，然后结合图象可以得到当y1
24.【答案】解：(1)把点A(−1,0)，点C(0,−2)代入y=23x2+bx+c得，23−b+c=0c=−2，
解得，b=−43c=−2，
∴抛物线解析式为y=23x2−43x−2．
(2)作PH//CF，交FE延长线于H，
，
∵EF//AB，
∴PH⊥FH，
∴∠AOC=∠EHP=90°，
∵AC//PE，EF//AB，
∴∠ACB=∠CEP，∠ABC=∠HEB，
∵∠ACB+∠CAO+∠ABC=180°，∠CEP+∠PEH+∠HEB=180°，
∴∠OAC=∠HEP，
∴△AOC∽△EHP，
∴HPEH=OCOA=2，
当0=23x2−43x−2时，
解得，x1=−1，x2=3，
∴点B坐标为(3,0)，
由点C(0,−2)得BC解析式为y=23x−2，
设点E坐标为(m,23m−2)，点P坐标为(n,23n2−43n−2)，
则HP=23m−23n2+43n，HE=n−m，
∴23m−23n2+43n=2(n−m)，
整理得，m=14n2+14n，
∴HE=n−(14n2+14n)=−14n2+34n．
∵HP=2HE，
∴EP=5HE=5(−14n2+34n)，
∴955PE=955×5(−14n2+34n)=−94n2+274n，
∴955PE+EF=−94n2+274n+14n2+14n=−2(n−74)2+498，
∴955PE+EF的最大值为498．
(3)解：由点B坐标为(3,0)，点C(0,−2)可知，BC=32+22=13，
设点C平移到点T，作TU⊥OC于U，
∴△CTU～△CBO，
∴UTOB=CTCB，即UT3=213313，
∴UT=2，即抛物线向右平移两个单位，抛物线y=23x2−43x−2的对称轴为x=−−432×23=1，平移后抛物线的对称轴为x=3，则N点坐标为(3,3)，
，
如图所示，将线段OD绕点D逆时针旋转90°得到线段KD，由旋转可知，△DAO≅△DMK，
∴DK=DO，KM=OA=1，∠K=∠DOA=90°，
设D点坐标为(0,f)，则M点坐标为(f,f−1)，
∵A(−1,0)，N(3,3)，
∴AN2=25，AM2=(f+1)2+(f−1)2，NM2=(f−3)2+(f−4)2，
当AN=AM时，25=(f+1)2+(f−1)2，解得f1=462，f2=−462，
则点M坐标为：(462,462−1)或(−462,−462−1)；
当AN=NM时，25=(f−3)2+(f−4)2，解得f3=0，f4=7，
则点M坐标为：(0,−1)或(7,6)(此点和A、N在同一直线上，舍去)；
当AM=NM时，(f+1)2+(f−1)2=(f−3)2+(f−4)2，解得f5=2314，
则点M坐标为：(2314,914)；
综上，点M的坐标为(2314,914)或(462,462−1)或(−462,−462−1)或(0,−1)．
【解析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)作PH//CF，交FE延长线于H，证明△AOC∽△EHP，设点的坐标，列出关于955PE+EF函数关系式，利用二次函数性质求最值即可；
(3)由题意得出抛物线向右平移两个单位，得出N点坐标，再设点D坐标，求出点M坐标，利用点的坐标，根据邻边相等列方程求解即可．
本题考查了二次函数的综合，解题关键是求出二次函数解析式，设出点的坐标，利用相似三角形性质和二次函数性质求解．
25.【答案】解：(1)如图所示，在CB上截取CE=CA，
∵CD为Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ECD=45°，
又∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴∠A=∠CED，AD=DE，
∵AD+AC=BC，CE+BE=BC，
∴BE=AD，
∴DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∵∠CED=∠B+∠EDB=2∠B=∠A，
又∵∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°+45°=75°；
(2)如图所示，连接DE交CB于点G，
∵CD为Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=45°，
∵BD=BE，∠DBE=90°，
∴∠GDB=∠GEB=45°=∠2，
∵∠CGD=∠EGB，
∴△CGD∽△EGB，
∴CGEG=DGBG，即CGDG=EGBG，
又∵∠CGE=∠DGB，
∴△CGE∽△DGB，
∴∠5=∠GDB=45°，
∴∠5=∠1，
∵∠CEF=∠CBE，即∠3=∠4，
∵∠ECF=∠BCE，
∴△CEF∽△CBE，
∴CECB=CFCE，
∴CE2=CB⋅CF，
又∵将线段BD绕点B顺时针旋转90°得线段BE，CF=CD，
∴BD=BF，∠4+∠ABC=90°，
∴CE2=CD⋅CB，
又∵∠ACB=90°，则∠A+∠ABC=90°，
∴∠4=∠A，
又∵∠3=∠4，
∴∠3=∠A，
又∵∠5=∠1=45°，CD=CF，
∴△ACD≌△ECF(ASA)，
∴AC=CE，
∴AC2=CD⋅CB；
(3)∵AC=BC=42，∠ACB=90°，
∴DB=12AB=12×42×2=4，
∵F是BC的中点，
∴CF=12BC=22，
∴A′F=AF=AC2+CF2=210，
∵FA′−FN′最大时即FN取得最小值时，
当FN⊥CD时，FN最小，如图所示，设NN′与BC交于点Q，
依题意，FN=FN′，且∠NFN′=90°，
则NN′=2NF=22，FQ=22×2=2，
∴△A′NN′的面积最大时，为NN′边上的高取得最大值，
∴当FA′+FQ最大时，即FA′与BC重合时，取的最大值，
此时QA′=QF+A′F=QF+AF=2+210，
∴△A′NN′的面积的最大值为12×NN′×QA′=12×22×(2+210)=2+45．
【解析】(1)在CB上截取CE=CA，证明△ACD≌△ECD，得出∠A=∠CED，AD=DE，由已知得出BE=AD，进而得出2∠B=∠A，即可求解；
(2)连接DE交CB于点G，证明∠5=∠1，然后证明△CEF∽△CBE，得出CE2=CB⋅CF，等量代换得出CE2=CD⋅CB，证明△ACD≌△ECF(ASA)，得出AC=CE，即可得出AC2=CD⋅CB；
(3)勾股定理得出A′F=AF=AC2+CF2=210，FA′−FN′最大时即FN取得最小值时，当FN⊥CD时，FN最小，如图所示，设NN′与BC交于点Q，依题意，FN=FN′，且∠NFN′=90°，则NN′=2NF=22，FQ=22×2=2，当FA′+FQ最大时，即FA′与BC重合时，取得最大值，此时QA′=QF+A′F=QF+AF=2+210，进而根据三角形面积公式即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
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