新高考数学一轮复习讲义 第4章 §4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式

这是一份新高考数学一轮复习讲义 第4章 §4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式，共20页。试卷主要包含了揣摩例题，精练习题，加强审题的规范性，重视错题等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( × )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( × )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(4)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(1,3)，则cs α＝－eq \f(1,3).( √ )
教材改编题
1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，则cs α的值为 ．
答案 －eq \f(2\r(5),5)
解析 ∵sin α＝eq \f(\r(5),5)，α是第二象限角，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5).
2．已知eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝－5，那么tan α的值为 ．
答案 －eq \f(23,16)
解析 由eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝－5，知cs α≠0，等式左边分子、分母同时除以cs α，
可得eq \f(tan α－2,3tan α＋5)＝－5，解得tan α＝－eq \f(23,16).
3．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cs(2π－α)的结果为 ．
答案 －sin2α
解析 原式＝eq \f(sin α,cs α)·(－sin α)·cs α
＝－sin2α.
题型一 同角三角函数基本关系
例1 (1)已知cs α＝－eq \f(5,13)，则13sin α＋5tan α＝ .
答案 0
解析 ∵cs α＝－eq \f(5,13)0，cs θ0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，
故tan α＝eq \f(3,2)，则
eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)
＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin α)
＝eq \f(－sin αcs α＋2sin αcs α,－sin αsin α)
＝－eq \f(cs α,sin α)
＝－eq \f(1,tan α)＝－eq \f(2,3).
2．若sin x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，则cs x·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))等于( )
A.eq \f(3,10) B．－eq \f(3,10)
C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
答案 A
解析 易知sin x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－3cs x，
所以tan x＝－3，
所以cs xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))
＝－sin xcs x＝eq \f(－sin xcs x,sin2x＋cs2x)
＝eq \f(－tan x,tan2x＋1)＝eq \f(3,10).
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数eq \(――――――→,\s\up7(利用诱导公式),\s\d5(三或一))任意正角的三角函数eq \(――――――→,\s\up7(利用诱导公式一))0～2π内的角的三角函数eq \(――――――→,\s\up7(利用诱导公式二),\s\d5(或四或五或六))锐角三角函数．
跟踪训练2 (1)已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，求cs(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .
答案 0
解析 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，
所以cs(105°－α)＝cs[180°－(75°＋α)]
＝－cs(75°＋α)＝－eq \f(1,3)，
sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]
＝cs(75°＋α)＝eq \f(1,3).
所以cs(105°－α)＋sin(15°－α)＝－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝0.
(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则eq \f(sin－3π＋α＋csα－π,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))＝ .
答案 3
解析 由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，
eq \f(sin－3π＋α＋csα－π,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))
＝eq \f(sinπ＋α＋csπ－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))
＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)
＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)
＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 已知f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－π－αsin－π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值；
(3)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(π,2)))＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－π－αsin－π－α)
＝eq \f(－sin α×cs α×－cs α,－cs α×sin α)
＝－cs α.
(2)若α＝－eq \f(31π,3)，
则f(α)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
(3)由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(π,2)))＝eq \f(1,5)，
可得sin α＝－eq \f(1,5)，
因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以cs α＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
教师备选
设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcsπ－α－csπ＋α,1＋sin2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sin α≠0)．
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－eq \f(23π,6)，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝eq \f(－2sin α·－cs α－－cs α,1＋sin2α＋sin α－cs2α)
＝eq \f(2sin αcs α＋cs α,2sin2α＋sin α)
＝eq \f(cs α2sin α＋1,sin α2sin α＋1)
＝eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,tan α).
(2)当α＝－eq \f(23π,6)时，
f(α)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6))))
＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,6))))
＝eq \f(1,tan \f(π,6))
＝eq \f(1,\f(\r(3),3))＝eq \r(3).
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练3 (1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0.))
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1，
化简得sin2α＝eq \f(9,10)，则sin α＝eq \f(3\r(10),10)(α为锐角)．
(2)已知－π