2023年河南省郑州市第十九中学中考数学三模试卷(含答案）

这是一份2023年河南省郑州市第十九中学中考数学三模试卷(含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空共15分，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省郑州十九中中考数学三模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．﹣的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．2022年2月23日，北京冬奥会主火炬熄灭，被竞技点燃的消费热情却并未退去，当天奥林匹克官方旗舰店由于冰墩墩效应，销售额近1.8亿．1.8亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A．18×108 B．1.8×108 C．1.8×107 D．1.8×109
3．下面的平面展开图与图下方的立体图形名称不相符的是（　　）
A．三棱锥 B．长方体 C．正方体 D．圆柱体
4．下列运算正确的是（　　）
A．5x+2x＝7x2 B．﹣2x2•x3＝2x5
C．（y+2x）（2x﹣y）＝y2﹣4x2 D．（﹣x2y）3＝﹣x6y3
5．如图，直线AB∥CD，射线EF分别交直线AB、CD于点G和点H，过点E作EM⊥AB于点M，若∠E＝43°，则∠EHD的度数为（　　）

A．137° B．133° C．127° D．103°
6．如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
7．定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※2＝42﹣2×4×2+1＝1．则方程x※2＝﹣4的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线CG交AB于点D，过点D作DH∥BC交AC于点H．若CH＝4，BC＝9，则AH的长为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点B′的坐标为（　　）

A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，）
10．如图，在Rt△ABC中，∠C是直角，DE是中位线，点P从点D出发，沿D→C→B的方向以1.5cm/s的速度运动到点B，图2是点P运动时，△DEP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a的值为（　　）

A．3 B． C． D．4.5
二、填空共15分
11．请写出一个图象经过点（1，2）的函数的关系式 　 　．
12．不等式组的整数解有 　 　个．
13．现有四张分别标有数字1，﹣1，2，3的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为奇数的概率是 　 　．
14．如图，△ABC中，AB＝BC＝4，且∠C＝120°，以点B为圆心，BC长为半径画弧AC；再以点C为圆心，BC长为半径画弧交弧AC于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　．

15．如图矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为　 　．

三、解答题
16．计算题：
（1）；
（2）．
17．校园安全始终是社会各界关注的焦点问题，《甘肃省中小学校安全条例》于2021年3月1日起正式施行，为今后开展学校安全工作以及保障师生和学校合法权益提供了法律依据．某校为进一步加强校园安全工作，开展了校园安全知识竞赛，现从七、八两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：89，95，85，92，85，86，97，80，85，100，85，89，91，83，85，90，94，69，93，87．
八年级：100，91，97，92，82，91，100，93，87，93，90，91，84，91，72，87，92，90，80，57．
整理数据：

50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
8
八年级
1
0
1
5
13
分析数据：

平均数
众数
中位数
七年级
88
85
b
八年级
88
c
91
应用数据：
（1）由上表填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）若该校七、八年级学生各有650人，估计本次竞赛中七八年级学生成绩在95分及以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对校园安全知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，则①∠E＝　 　．②线段EC的长为 　 　．

19．如图，斜坡OA上有一竖直的电线杆ED，已知∠O＝30°，为保证电线杆不倾斜，现从电线杆上不同的M，N两处分别向地面引两条钢丝引线MF，NG（引线与电线杆位于同一平面内），其中MF与斜坡OA垂直，∠NGF＝70°，现测得DF＝FG＝4米，试求M，N两点间的距离．（结果精确到0.1，≈1.732，tan40°≈0.840，tan70°≈2.750）

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

21．为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村民种植草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，这两家果园的采摘方案不同．
甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠；
乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠．
设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲、y乙元，其函数图象如图所示．
（1）请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（2）请求出图中点A的坐标并说明点A表示的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算．

22．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（﹣1，0），顶点为P．
（1）当b＝2时，求抛物线顶点P的坐标；
（2）当抛物线与x轴的另一个交点为B（2，0）时，求抛物线的解析式；
（3）若点C（b，1+b）和点D（b+1，0）在对称轴的同一侧，且当自变量x满足b≤x≤b+1时，其对应的自变量y的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求b的值．
23．如图，在矩形ABCD中，点M、N分别为AD、BC上的点，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的点E处（不与点C，D重合），连接BE，过点M作MH⊥BC于点H．
（1）如图①，若BC＝AB，求证：△EBC≌△NMH；
（2）如图②，当BC＝2AB时，
①求证：△EBC∽△NMH；
②若点E为CD的三等分点，请直接写出的值．


参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．﹣的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由负有理数绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
解：﹣的绝对值是|﹣|＝．
故选：C．
【点评】本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．
2．2022年2月23日，北京冬奥会主火炬熄灭，被竞技点燃的消费热情却并未退去，当天奥林匹克官方旗舰店由于冰墩墩效应，销售额近1.8亿．1.8亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A．18×108 B．1.8×108 C．1.8×107 D．1.8×109
【分析】利用科学记数法把大数表示成a×10n的形式（1≤a＜10，n为整数）．
解：1.8亿＝180000000＝1.8×108，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的书写形式．
3．下面的平面展开图与图下方的立体图形名称不相符的是（　　）
A．三棱锥 B．长方体 C．正方体 D．圆柱体
【分析】根据折叠所形成的几何体进行判断即可．
解：选项A中的图形，折叠后形成的几何体是三棱柱，不是三棱锥，因此选项A符合题意；
选项B的图形折叠后成为长方体，因此选项B不符合题意；
选项C的图形折叠后成为正方体，因此选项C不符合题意；
选项D的图形折叠后成为圆柱体，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查展开与折叠，掌握各种几何体展开图的形状是正确判断的前提．
4．下列运算正确的是（　　）
A．5x+2x＝7x2 B．﹣2x2•x3＝2x5
C．（y+2x）（2x﹣y）＝y2﹣4x2 D．（﹣x2y）3＝﹣x6y3
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
解：5x+2x＝7x，故选项A错误，不符合题意；
﹣2x2•x3＝﹣2x5，故选项B错误，不符合题意；
（y+2x）（2x﹣y）＝4x2﹣y2，故选项C错误，不符合题意；
（﹣x2y）3＝﹣x6y3，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．如图，直线AB∥CD，射线EF分别交直线AB、CD于点G和点H，过点E作EM⊥AB于点M，若∠E＝43°，则∠EHD的度数为（　　）

A．137° B．133° C．127° D．103°
【分析】根据三角形外角的性质得∠MGH＝∠E+∠EMG＝133°，根据平行线的性质即可求解．
解：∵EM⊥AB，
∴∠EMG＝90°，
∵∠E＝43°，
∴∠MGH＝∠E+∠EMG＝133°，
∵AB∥CD，
∴∠EHD＝∠MGH＝133°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】根据统计图中的数据和题意，可以得到a的值，本题得以解决．
解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
∴当a＝9时，中位数是8.5，众数是9，故选项A不合题意；
当a＝8时，中位数是8，众数是8，故选项B符合题意；
当a＝7时，中位数是7.5，没有众数，故选项C不符合题意；
当a＝6时，中位数是7，众数是6，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※2＝42﹣2×4×2+1＝1．则方程x※2＝﹣4的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】利用新定义得到x2﹣4x+5＝0，然后Δ＜0可根据判断方程根的情况．
解：由新定义得x2﹣2×2x+1＝﹣4，
即x2﹣4x+5＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
8．如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线CG交AB于点D，过点D作DH∥BC交AC于点H．若CH＝4，BC＝9，则AH的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先利用作法得到CD平分∠ACB，再证明∠ACD＝∠HDC得到DH＝CH＝4，然后证明△ADH∽△ABC，则利用相似比可计算出AH的长．
解：由作法得CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DH∥BC，
∴∠HDC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠HDC，
∴DH＝CH＝4，
∵DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得AH＝．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质和相似三角形的判定与性质．
9．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点B′的坐标为（　　）

A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，）
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0＝∠B′FO＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′＝75°，OB′＝OB＝2，
∴∠B′OF＝45°，
在Rt△B′OF中，
OF＝OB′•cos45°＝2×＝，
∴B′F＝，
∴点B′的坐标为：（，﹣）．
故选：D．

【点评】此题考查了平行四边形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C是直角，DE是中位线，点P从点D出发，沿D→C→B的方向以1.5cm/s的速度运动到点B，图2是点P运动时，△DEP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a的值为（　　）

A．3 B． C． D．4.5
【分析】先根据图2求出BC的长度，再根据中位线定理求出DE的长度，然后根据三角形面积公式结合P和D重合时面积最大，求出a的值．
解：由图象知，当点P在BC上运动时，△DEP的面积的面积不变，
∴BC＝（a+4﹣a）×1.5＝6（cm），
∵DE是中位线，
∴DE＝BC＝3（cm），
当点P在线段DC上时，
S△DEP＝DE•PD＝×3×1.5x，
由图象知，当点P和点C重合时，即x＝a时，△DEP的面积＝3，
∴×3×1.5a＝3，
解得a＝．
故选：C．
【点评】本题考查了动点的函数图象问题，涉及三角形中位线定理，关键是结合图2得出BC的长度．
二、填空共15分
11．请写出一个图象经过点（1，2）的函数的关系式 　y＝2x（答案不唯一）　．
【分析】让x＝1时，函数值y＝2写出一个正比例函数即可．
解：函数y＝2x经过点（1，2）．
故答案为：y＝2x（答案不唯一）．
【点评】本题考查了函数关系式，正确掌握函数的性质是解题关键．
12．不等式组的整数解有 　2　个．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
解：解不等式x﹣1≥x得：x≤﹣4，
解不等式﹣x＜4得：x＞﹣6，
则不等式组的解集为﹣6＜x≤﹣4，
所以不等式组的整数解有﹣4、﹣5这两个，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．现有四张分别标有数字1，﹣1，2，3的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为奇数的概率是 　　．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后求得两次抽出的卡片所标数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可．
解：列表得：

1
﹣1
2
3
1

0
3
4
2
3

4
5
2
3
1

5
3
4
2
5

∵共有12种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字之和为奇数的结果有7种，
∴两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表与树状图的知识，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，△ABC中，AB＝BC＝4，且∠C＝120°，以点B为圆心，BC长为半径画弧AC；再以点C为圆心，BC长为半径画弧交弧AC于点E，则图中阴影部分的面积为 　4π﹣4　．

【分析】连接DB，DC．根据S阴＝S扇形CBD+S弓形BED﹣S扇形BCE，求解可得结论．
解：连接DB，DC．

∵DB＝BC＝CD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴S阴＝S扇形CBD+S弓形BED﹣S扇形BCE
＝+﹣×42﹣
＝4π﹣4．
故答案为：4π﹣4．
【点评】本题考查扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
15．如图矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为　或　．

【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P

∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′＝PD′，
设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，
∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，
又折叠图形可得AD＝AD′＝5，
∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，
即MD′＝3或4．
在Rt△END′中，设ED′＝a，
①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，
∴a2＝22+（4﹣a）2，
解得a＝，即DE＝，
②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，
∴a2＝12+（3﹣a）2，
解得a＝，即DE＝．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．
三、解答题
16．计算题：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据负整数指数幂、二次根式的性质和绝对值的意义计算，然后合并即可；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
解：（1）原式＝8+2+3﹣
＝13﹣；
（2）原式＝•
＝﹣•
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．也考查了实数的运算．
17．校园安全始终是社会各界关注的焦点问题，《甘肃省中小学校安全条例》于2021年3月1日起正式施行，为今后开展学校安全工作以及保障师生和学校合法权益提供了法律依据．某校为进一步加强校园安全工作，开展了校园安全知识竞赛，现从七、八两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：89，95，85，92，85，86，97，80，85，100，85，89，91，83，85，90，94，69，93，87．
八年级：100，91，97，92，82，91，100，93，87，93，90，91，84，91，72，87，92，90，80，57．
整理数据：

50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
8
八年级
1
0
1
5
13
分析数据：

平均数
众数
中位数
七年级
88
85
b
八年级
88
c
91
应用数据：
（1）由上表填空：a＝　11　，b＝　88　，c＝　91　．
（2）若该校七、八年级学生各有650人，估计本次竞赛中七八年级学生成绩在95分及以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对校园安全知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
【分析】（1）根据总人数为20人可求出a的值，根据中位数和众数的概念可得b、c的值；
（2）用总人数乘以两个年级成绩在95分及以上人数占被调查人数的比例即可；
（3）在平均成绩相等的情况下，可从众数或中位数等角度分析求解．
解：（1）七年级80≤x≤89的人数a＝20﹣1﹣8＝11，
将七年级成绩重新排列为69，80，83，85，85，85，85，85，86，87，89，89，90，91，92，93，94，95，97，100，
∴七年级成绩的中位数b＝＝88，
八年级20名学生的竞赛成绩：100，91，97，92，82，91，100，93，87，93，90，91，84，91，72，87，92，90，80，57
由上可知，91出现了四次，次数最多，所以八年级众数c＝91，
故答案为：11，88，91；

（2）估计本次竞赛中七八年级学生成绩在95分及以上的共有（650+650）×＝195（人）；

（3）八年级的学生对校园安全知识掌握的总体水平较好，理由如下：
∵七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，
∴八年级的学生对校园安全知识掌握的总体水平较好．
【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．也考查了利用样本估计总体．
18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，则①∠E＝　30°　．②线段EC的长为 　12+4　．

【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝8，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝4，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴AD∥EC．
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴sin∠ADB＝，
∴AD＝＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝4，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵tan∠EAF＝，
∴∠EAF＝60°，EF＝AF＝12，
∴∠E＝30°，CE＝CF+EF＝12+4．
故答案为：30°，12+4．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正方形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
19．如图，斜坡OA上有一竖直的电线杆ED，已知∠O＝30°，为保证电线杆不倾斜，现从电线杆上不同的M，N两处分别向地面引两条钢丝引线MF，NG（引线与电线杆位于同一平面内），其中MF与斜坡OA垂直，∠NGF＝70°，现测得DF＝FG＝4米，试求M，N两点间的距离．（结果精确到0.1，≈1.732，tan40°≈0.840，tan70°≈2.750）

【分析】过点G作GH⊥ED于H，根据直角三角形的性质求出HN的长度，进而解答即可．
解：过点G作GH⊥ED于H，
∵ED为竖直的电线杆，
∴HG∥OB，∠MDF＝60°，
∵GH∥OB，∠O＝30°，∠NGF＝70°，
∴∠HGO＝30°，
∴∠NGH＝40°，
∵DF＝FG＝4米，
∴DG＝8米，
在Rt△DHG中，∠HGO＝30°，
∴DH＝4米，
由勾股定理得，GH＝4米，
在Rt△NHG中，∠NGH＝40°，
∴tan∠NGH＝，
∴NH≈HG×0.840≈5.82（米），
在Rt△DMF中，∠MDF＝60°，DF＝4米，
∴DM＝8米，
∴MN＝DH+NH﹣DM＝4+5.82﹣8＝1.82≈1.8（米），
∴M，N两点之间的距离约为1.8米．
【点评】本题是解直角三角形的实际应用，是各地中考的热点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

【分析】（1）联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．
解：（1）由得，
∴A（﹣2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的表达式是y＝﹣；
（2）解得或，
∴B（﹣8，1），
由直线AB的解析式为y＝x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），
∴S△AOB＝×10×4﹣×10×1＝15．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键．
21．为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村民种植草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，这两家果园的采摘方案不同．
甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠；
乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠．
设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲、y乙元，其函数图象如图所示．
（1）请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（2）请求出图中点A的坐标并说明点A表示的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算．

【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题；
（2）根据（1）的结论，联立方程组解答即可；
（3）根据（1）的结论列不等式或方程解答即可．
解：（1）根据题意得y甲＝30×0.6×x+20×3＝18x+60，
设y乙＝k2x，
∵点（10，30）在y乙上
根据题意得，10k2＝300，
解得k2＝30，
∴y乙＝30x；
（2）联立，解得，
∴点A的坐标为（5，150），点A的实际意义是当采摘量为5千克时，到两家果园所需总费用相同均为150元；
（3）由（2）知点A的坐标为（5，150），观察图象知：
当采摘量大于5千克时，到甲果园更划算；
当采摘量等于5千克时，两家果园所需总费用相同，所以到甲乙果园哪家都可以；
当采摘量小于5千克时，到家乙果园更划算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（﹣1，0），顶点为P．
（1）当b＝2时，求抛物线顶点P的坐标；
（2）当抛物线与x轴的另一个交点为B（2，0）时，求抛物线的解析式；
（3）若点C（b，1+b）和点D（b+1，0）在对称轴的同一侧，且当自变量x满足b≤x≤b+1时，其对应的自变量y的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求b的值．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c解答即可；
（2）将A（﹣1，0）B（2，0），代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，解答即可；
（3）根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣，分情况讨论解答即可．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（﹣1，0），
∴0＝﹣1﹣b+c，
∴c＝b+1，
当b＝2时，c＝3，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，此时抛物线的顶点P的坐标为（1，4）；
（2）∵抛物线y＝﹣x+bx+c（bc是常数）经过点A（﹣1，0）B（2，0），
将A（﹣1，0），B（2，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝，
①当点C（b，1+b）和点D（b+1，0）在对称轴的左侧时，即≥b+1，解得b≤﹣2，自变量满足b≤x≤b+1时，y随x的增大而增大，m＝0，n＝1+b，
∴m﹣n＝3，
∴0﹣b﹣1＝3，解得b＝﹣4；
②当点C（b，1+b）和点D（b+1，0）在对称轴的右侧时，即≤b，解得b≥0，自变量满足b≤x≤b+1时，y随x的增大而减小，即m＝1+b，n＝0，
∵m﹣n＝3，
∴1+b﹣0＝3，
∴b＝2综上所述，b的值为﹣4或2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，点M、N分别为AD、BC上的点，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的点E处（不与点C，D重合），连接BE，过点M作MH⊥BC于点H．
（1）如图①，若BC＝AB，求证：△EBC≌△NMH；
（2）如图②，当BC＝2AB时，
①求证：△EBC∽△NMH；
②若点E为CD的三等分点，请直接写出的值．
【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CBE＝∠HMN，再判断出四边形ABHM是矩形，得出AB＝MH，进而判断出△EBC≌△NMH；
（2）①同（1）的方法得，∠C＝∠BHM，∠CBE＝∠HMN，即可得出结论；
②设DE＝x（x＞0），Ⅰ、当CE＝2DE时，则CE＝2x，CD＝3x，BC＝6x，进而得出MH＝CD＝3x，再根据△EBC∽△NMH，得出NH＝x，设AM＝y（y＞0），表示出BH＝AM＝y，BN＝x+y，CN＝BC﹣BN＝5x﹣y，再根据勾股定理得，CN2+CE2＝EN2，建立方程得出y＝x或x＝0（舍），Ⅱ、当DE＝2CE时，同Ⅰ的方法，即可求出答案．
【解答】（1）证明：如图①，BE与MN的交点记作点O，
由折叠知，∠BON＝90°，
∴∠CBE+∠BNM＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠MHN＝90°，
∴∠HMN+∠BNM＝90°，
∴∠CBE＝∠HMN，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°＝∠BHM，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AB＝MH，
∵BC＝AB，
∴BC＝MH，
在△EBC和△NMH中，
，
∴△EBC≌△NMH（ASA）；

（2）①证明：同（1）的方法得，∠C＝∠BHM，∠CBE＝∠HMN，
∴△EBC∽△NMH；

②解：设DE＝x（x＞0），
∵点E为CD的三等分点，
Ⅰ、当CE＝2DE时，
∴CE＝2x，CD＝3x，
∵BC＝2BA，
∴BC＝6x，
同①的方法得，四边形CDMH是矩形，
∴MH＝CD＝3x，
由①知，△EBC∽△NMH，
∴，
∴，
∴NH＝x，
设AM＝y（y＞0），
同①的方法得，四边形AMHB是矩形，
∴BH＝AM＝y，
∴BN＝x+y，
∴CN＝BC﹣BN＝5x﹣y，
由折叠知，EN＝BN＝x+y，
在Rt△ECN中，根据勾股定理得，CN2+CE2＝EN2，
∴（5x﹣y）2+（2x）2＝（x+y）2，
∴y＝x或x＝0（舍），
∴AM＝x，BN＝x+y＝x，
∴＝＝，
Ⅱ、当DE＝2DE时，同Ⅰ的方法得．＝，
即＝或．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理得出y＝x是解本题的关键．