安徽省十校联盟2023届高三下学期开学考试数学试题

这是一份安徽省十校联盟2023届高三下学期开学考试数学试题，共15页。试卷主要包含了02，5C．80D．75等内容，欢迎下载使用。
安徽省十校联盟2023届高三开学考试数学试题2023.02 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（    ）．A． B． C． D．2．疫情期间，部分小区实行封控管理，志愿者的服务态度成为了影响居民生活质量的重要因素之一，因此对志愿者的管理也成为疫情期间必不可少的环节之一．为了解志愿者服务的相关情况，调研人员现要求A小区居民对志愿者的服务态度进行打分，所得分数统计如下图所示，据此可以估计，A小区志愿者服务态度的平均分为（    ）．A．85 B．82.5 C．80 D．753．已知向量，，，若，则实数（    ）．A．1或 B．或4 C．0或8 D．0或4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．A． B． C． D．5．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（    ）．A． B． C． D．6．若直线是曲线在某点处的切线，则实数（    ）．A． B．1 C．2 D．37．已知是定义在R上的函数，且为奇函数．若函数与函数图象有5个交点，其横坐标从左到右依次为，，，，，则（    ）．A．0 B．5 C．6 D．108．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是E右支上一点，，O是坐标原点，，则E的离心率为（    ）．A．  B．C．  D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．若复数，，则下列说法正确的是（    ）．A．B．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限C．的实部为13D．的虚部为10．若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（    ）．A． B． C． D．11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）．A．函数的最小正周期为B．为函数图象的一条对称轴C．函数在上单调递减D．函数在上有3个零点12．已知正方体的棱长为2，过棱，的中点E，F作正方体的截面，下列说法正确的是（    ）．A．该正方体外接球的表面积是B．若截面是正六边形，则直线与截面垂直C．若截面是正六边形，则直线与截面所成角的正弦值为D．若截面过点，则截面周长为第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线与圆相切，则实数__________．14．若的展开式中的系数为9，则实数__________．15．数字中暗藏着一些潜在的规律，古希腊毕达哥拉斯学派通过石子的排列发现了三角形数、正方形数等；有时将数字进行拆分后也能够发现新的规律，现将一组数据拆分如下：，，，，，，，，，，……观察可知，这组数据中的第8个数为，则是该组数据的第__________个数．16．若不等式对恒成立，则正数的取值范围为__________．四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求C；（2）若，求．18．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）若，求数列的前n项和．19．（本小题满分12分）某大型国有企业计划在某双一流大学进行招聘面试，面试共分两轮，且第一轮通过后才能进入第二轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，已知这4人面试第一轮通过的概率分别为，，，，面试笫二轮通过的概率分别为，，，，且4人的面试结果相互独立．（1）求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；（2）记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，为正三角形，，，O为的中点．（1）求证；平面；（2）求二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．（1）求E的方程；．（2）设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）若a，b为两个不相等的实数，且满足，求证：．  数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号12345678答案BCDADCBA1．B由题意得，，，∴．故选B．2．C由题意得，所求平均分为．故选C．3．D由题意得，，∴，解得或．故选D．4．A由题意得，，，∴．故选A．5．D记圆锥的底面半径为r，则，解得，∴圆锥的高，∴该圆锥的体积为．故选D．6．C设切点为，由，得，则①，又，联立①可得，．故选C．7．B∵为奇函数，∴，∴的图象关于点对称，对于函数，有，∴函数为奇函数，其图象关于原点对称，∴函数的图象关于点对称，∴，，，∴．故选B．8．A∵，，∽，∴，∴．在中，由余弦定理得，即，解得，又，∴，解得，即E的离心率为．故选A．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，）题号9101112答案ABCBDBCBD9．ABC由题意得，，故A正确；在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限，故B正确；∵，∴的实部为13，虚部为11，故C正确，D错误．故选ABC．10．BD由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得，∴其准线为，故选BD．11．BC由题意得，，∴的最小正周期，故A错误；，故B正确；∵，∴，∴函数在上单调递减，故C正确；作出两数在上的大致图象如图所示，观察可知，有2个零点，故D错误．故选BC．12．BD对于A，外接球的半径为，故外接球的表面积为，故A错误；对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设的中点为G，则，，，，，∴，，，∴，，则，，即，，又，，正六边形截面，∴正六边形截面，故B正确；对于C，如图1，易得，为正六边形截面的一个法向量，设直线与截面所成的角为，则，故C错误；对于D，如图2，延长，与的延长线交于点K，与的延长线交于点L，连接交于点M，连接交于点N，则截面为平面．因此有，M为的三等分点，N为的三等分点，于是．∵，，，故截面的周长为，故D正确．故选BD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．由题意得，圆心坐标为，半径为，则，解得．14．1展开式的通项公式为，令或，则展开式中的系数为，解得．15．4953由题意得，前99行共有个数，故是该组数据的第4953个数．16．不等式可化为对恒成立，∴有，令，则原不等式可化为，易得函数在上单调递增，∴，即，令，则，由，得；由，得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴，∴．四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）（1）由，得，（2分）则，即．（4分）∵，∴，又，∴．（5分）（2）在中，，由余弦定理得，（6分）∵，∴，（8分）∴．（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：∵，∴，∴，（3分）∴，即，（5分）又，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（6分）（2）由（1）知，则，∴，（8分）则，∴，两式相减，可得，（11分）故．（12分）19．（本小题满分12分）（1）由题意得，甲被录用的概率为，乙被录用的概率为，丙被录用的概率为，丁被录用的概率为．（2分）设甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用为事件M，则．（4分）（2）由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，∴，，，，，∴X的分布列为X01234P∴．（12分）20．（本小题满分12分）（1）取的中点E，连接，，则，．∵，，∴且，∴四边形为平行四边形，∴．∵，∴，∴，∵，∴，又，∴平面．（5分）（2）连接，∵为正三角形，∴，∵平面，平面，∴平面平面，又平面平面，∴平面．又，∴，，两两垂直，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，∴，，，，∴，，．设平面的法向量为，则，令，得．（9分）设平面的法向量为，则，令，得，（10分）则，（11分）由图可知，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．（12分）21．（本小题满分12分）（1）∵，∴，∴，又，，∴，，（4分）∴椭圆E的方程为．（5分）（2）∵直线与的倾斜角互补，且交于点，∴直线与关于x轴对称，∴A与D，B与C分别关于x轴对称．设，，则，，∴直线的方程为，直线的方程为，联立解得，，∴直线与交于点．（8分）设直线的方程为，与椭圆E的方程联立得，由题意得，，解得，又，，（10分）∴，∴直线与交于定点．（12分）22．（本小题满分12分）（1）由题意知的定义城为R，，（1分）∴当时，；当时，，（3分）∴的单调递增区间是，单调递减区间是．（4分）（2）将两边同时除以，得，即，∴．（6分）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，．设，则，（7分）令，则，由，得，∴，∴，∴在上单调递增．（9分）又，∴，当时，，即，即，
又，∴．（11分）又，，在上单调递减，∴，即．（12分）以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分．