广东省汕头市2023届高考数学专项突破模拟题库（一模）含解析

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广东省汕头市2023届高考数学专项突破模拟题库（一模）
【原卷 1 题】知识点 补集的概念及运算,几何意义解绝对值不等式

【正确答案】
C
【试题解析】


1-1（基础） 已知全集，集合，则等于（ ）
A. B.
C.或 D.或
【正确答案】 C

1-2（基础） 已知全集,集合，则集合
A.{1, 2, 3, 4} B.{2, 3, 4} C.{1,5} D.{5}
【正确答案】 C

1-3（巩固） 已知集合，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

1-4（巩固） 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 C

1-5（提升） 已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，则A∩（∁RB）=（　　）
A.（﹣2，﹣1） B.（﹣2，﹣1] C.（﹣1，0） D.[﹣1，0）
【正确答案】 C

1-6（提升） 设集合，，且，则集合（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

【原卷 2 题】 知识点 复数代数形式的乘法运算,复数的相等

【正确答案】
D
【试题解析】


2-1（基础） 已知，（为虚数单位），则（ ）
A. B.1 C. D.3
【正确答案】 A

2-2（基础） 已知复数，且，，则（ ）
A.1 B. C.0 D.
【正确答案】 C

2-3（巩固） 在复平面内，虚部为-1的复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

2-4（巩固） 若复数，则（ ）
A.1 B. C. D.3
【正确答案】 D

2-5（提升） 若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

2-6（提升） 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

【原卷 3 题】 知识点 求等差数列前n项和,数与式中的归纳推理

【正确答案】
C
【试题解析】


3-1（基础） 观察下列数表，数表中的每一行从左到右，每一列从上到下均为等差数列.

若第行与第列的交叉点上的数记为，则（ ）
A.210 B.399 C.400 D.420
【正确答案】 C

3-2（基础） 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在杨辉三角中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前46项和为（ ）

A.4080 B.2060 C.2048 D.2037
【正确答案】 D

3-3（巩固） 如图所示的数阵称为杨辉三角.斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：记这个数列的前n项和为，则等于.

A.128 B.144 C.155 D.164
【正确答案】 D

3-4（巩固） 观察下图：则第（ ）行之和为

A.2010 B.2009 C.1006 D.1005
【正确答案】 C

3-5（提升） 已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 D

3-6（提升） 已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则；21的因数有1，3，7，21，则，那么的值为（ ）
A.2488 B.2495 C.2498 D.2500
【正确答案】 D

【原卷 4 题】 知识点 向量模的坐标表示,向量夹角的坐标表示,利用数量积求参数

【正确答案】
B
【试题解析】


4-1（基础） 已知，且与的夹角为120°，则k等于（ ）
A. B.－2
C. D.1
【正确答案】 C

4-2（基础） 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

4-3（巩固） 平面向量，，（），且与的夹角与与的夹角互补，则（ ）
A. B. C.1 D.2
【正确答案】 A

4-4（巩固） 已知平面向量 ，其中，且与和与的夹角相等，则=（ ）
A. B.1 C. D.2
【正确答案】 B

4-5（提升） 设平面向量，，若，则平面向量可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

4-6（提升） 与向量和夹角均相等，且模为2的向量的坐标是（ ）
A. B.
C.或 D.
【正确答案】 C

【原卷 5 题】 知识点 相邻问题的排列问题,分步乘法计数原理及简单应用,不相邻排列问题

【正确答案】
A
【试题解析】


5-1（基础） 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A.40 B.24 C.20 D.12
【正确答案】 B

5-2（基础） 过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ）
A.24种 B.36种 C.48种 D.60种
【正确答案】 B

5-3（巩固） 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育“乐”主要指美育“射”和“御”就是体育和劳动“书”指各种历史文化知识“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）种
A. B. C. D.
【正确答案】 A

5-4（巩固） 开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（ ）种．
A.12 B.16 C.20 D.24
【正确答案】 C

5-5（提升） 3个男生与4个女生站在一排照相，要求站在甲乙2个男生之间的女生恰好有2个，并且甲丙两个男生不能相邻，则不同的排法数为（ ）
A.576 B.720 C.864 D.1008
【正确答案】 B

5-6（提升） 已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）.
A.432 B.576 C.696 D.960
【正确答案】 B

【原卷 6 题】 知识点 椭圆中焦点三角形的面积问题,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形

【正确答案】
D
【试题解析】


6-1（基础） 在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

6-2（基础） 已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

6-3（巩固） 已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【正确答案】 A

6-4（巩固） 已知点分别是椭圆的左､右焦点，已知椭圆上的点到焦点的距离最大值为9，最小值为1.若点在此椭圆上，，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

6-5（提升） 设为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A.2 B. C.17 D.
【正确答案】 D

6-6（提升） 已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

【原卷 7 题】 知识点 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切,求正切型三角函数的单调性,商数关系,二倍角公式

【正确答案】
A
【试题解析】


7-1（基础） 已知角，满足，，则（ ）．
A. B. C.1 D.2
【正确答案】 B

7-2（基础） 若，则（ ）
A.3 B. C. D.
【正确答案】 D

7-3（巩固） 设，，且，则（ ）
A.1 B.﹣1 C. D.
【正确答案】 B

7-4（巩固） 已知角，，且，则
A. B. C. D.
【正确答案】 C

7-5（提升） 已知 ，，则
A. B. C. D.
【正确答案】 D

7-6（提升） 设，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 8 题】 知识点 求函数值,判断证明抽象函数的周期性,简单复合函数的导数,函数基本性质的综合应用

【正确答案】
C
【试题解析】


8-1（基础） 已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 ABD

8-2（基础） 定义在上的偶函数满足，且在处的导数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

8-3（巩固） 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若的图象关于点中心对称，为偶函数，且，则（ ）
A.670 B.672 C.674 D.676
【正确答案】 D

8-4（巩固） 已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 ABD

8-5（提升） 已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则（ ）
A.13 B.16 C.25 D.51
【正确答案】 C

8-6（提升） 已知函数，，的定义域均为，为的导函数.若为偶函数，且，.则以下四个命题：①；②的图象关于直线对称；③；④中一定成立的是（ ）
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④
【正确答案】 D

【原卷 9 题】 知识点 求正切型三角函数的单调性,求正切（型）函数的对称中心,由图象确定正切（型）函数解析式,求图象变化前（后）的解析式

【正确答案】
B C
【试题解析】


9-1（基础） 已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.的图象关于点对称
C.在区间单调递增
D.图象上各点的横坐标变为原来的两倍后，再向左平移长度单位后，可得到的图象
【正确答案】 ABD

9-2（基础） 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（ ）．
A.函数的图象关于点成中心对称
B.函数的最小正周期为2
C.函数的单调增区间为，
D.函数的图象没有对称轴
【正确答案】 ABD

9-3（巩固） 若函数的图象与直线的相邻交点的距离为，则以下说法错误的是（ ）
A. B.点是图象的一个对称中心
C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增
【正确答案】 ACD

9-4（巩固） 若函数f（x）＝tan2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，那么下列说法正确的是（ ）
A.函数g（x）的定义域为{，k∈Z}
B.函数g（x）在单调递增
C.函数g（x）图象的对称中心为，k∈Z
D.函数g（x）≤1的一个充分条件是
【正确答案】 BD

9-5（提升） 已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A.若的最小正周期是，则
B.当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为
C.当时，
D.若在区间上单调递增，则
【正确答案】 BCD

9-6（提升） 已知奇函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法中正确的有（ ）
A.函数的图象关于直线对称
B.当时，函数的最小值是
C.函数在区间上单调递增
D.当若函数有且仅有2个零点，则所有零点之和为
【正确答案】 ABD

【原卷 10 题】 知识点 求点到直线的距离,求点关于直线的对称点,由标准方程确定圆心和半径,由直线与圆的位置关系求参数

【正确答案】
A C D
【试题解析】


10-1（基础） 已知圆，则（ ）
A.圆关于直线对称
B.圆关于直线对称的圆为
C.直线过点且与圆相切，则直线的方程为
D.若点在圆上，则的最小值为3
【正确答案】 ABD

10-2（基础） 已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ）
A.直线l与⊙M相离
B.点P到直线l距离的最小值为
C.与⊙M关于直线l对称的圆的方程为
D.平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和
【正确答案】 AC

10-3（巩固） 设一组圆 ，下列说法正确的是（ ）
A.这组圆的半径均为1 B.直线平分所有的圆
C.直线被圆截得的弦长为相等 D.不存在一个圆与轴和轴均相切
【正确答案】 AC

10-4（巩固） 已知直线：和圆，则下列结论正确的是（ ）
A.始终过定点 B.直线与圆恒有两个公共点
C.圆心到直线的最大距离是 D.当时，圆心关于直线的对称点为
【正确答案】 BCD

10-5（提升） 从点发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆上，则下列结论正确的是（ ）
A.若反射光光线与圆C相切，则切线方程为
B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为
C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是
D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是
【正确答案】 BD

10-6（提升） 已知圆过点，且与圆相切于原点，直线则下列结论中，正确的有（ ）
A.圆的方程为 B.直线过定点
C.直线被圆所截得的弦长的最小值为 D.直线被圆截得的弦长有最大值时，则
【正确答案】 AC

【原卷 11 题】 知识点 柱体体积的有关计算,空间向量数量积的应用,空间位置关系的向量证明

【正确答案】
A B D
【试题解析】


11-1（基础） 在平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ）
A.线段的长度为
B.异面直线夹角的余弦值为
C.对角面的面积为
D.平行六面体的体积为
【正确答案】 AD

11-2（基础） 如图，在三棱柱中，，，设，，，且向量与的夹角为45°，则（ ）

A.
B.与AC所成的角为60°
C.
D.当时，三棱锥的体积为定值
【正确答案】 BD

11-3（巩固） 如图，在平行六面体中，，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ）

A.
B.向量共面
C.
D.若，则该平行六面体的高为
【正确答案】 ACD

11-4（巩固） 如图，在棱长为2的平行六面体中，，点 分别是的中点，对角线与平面交于点，下列说法正确的是（ ）

A.
B.
C.直线和直线所成角的余弦值等于
D.三棱锥的体积是平行四六面体的体积的
【正确答案】 AB

11-5（提升） 在平行六面体中，，，点在线段上，则（ ）
A.
B.到和的距离相等
C.与所成角的余弦值最小为
D.与平面所成角的正弦值最大为
【正确答案】 BCD

11-6（提升） 平行六面体 中，各棱长均为2，设，则下列结论中正确的有（ ）

A.当时，
B.和BD总垂直
C.θ的取值范围为
D.θ=60°时，三棱锥的外接球的体积是
【正确答案】 ABC

【原卷 12 题】 知识点 利用函数单调性求最值或值域,对数的运算,对数的运算性质的应用,由已知条件判断所给不等式是否正确

【正确答案】
A B C
【试题解析】


12-1（基础） 已知，且，则下列式子正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 BC

12-2（基础） 已知，则满足（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 AD

12-3（巩固） 若，，则下列不等关系正确的有（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 BCD

12-4（巩固） 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 ABD

12-5（提升） 已知正实数x，y，z满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 BCD

12-6（提升） 已知实数满足，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 BD

【原卷 13 题】 知识点 三项展开式的系数问题

【正确答案】
-720
【试题解析】


13-1（基础） 的展开式含的系数是________（用常数表示）．
【正确答案】

13-2（基础） 已知的展开式中项的系数为_______________；
【正确答案】 540

13-3（巩固） 在的展开式中含和含的项的系数之和为______
【正确答案】

13-4（巩固） 的展开式中，的系数为___________.
【正确答案】

13-5（提升） 的展开式中的常数项为__________．
【正确答案】

13-6（提升） 已知的展开式中的系数为，则实数______．
【正确答案】

【原卷 14 题】 知识点 由奇偶性求函数解析式,求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

【正确答案】


【试题解析】


14-1（基础） 已知函数是奇函数，且当时，，则的图象在点处的切线的方程是_______
【正确答案】

14-2（基础） 已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___．
【正确答案】

14-3（基础） 已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.
【正确答案】

14-4（巩固） 已知是定义在上的奇函数，当时，(a为常数)，则曲线在点处的切线方程为______.
【正确答案】

14-5（提升） 已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在处的切线方程为__________.
【正确答案】

14-6（提升） 已知函数的图像关于直线对称，当时，，则曲线在点处的切线方程是________．
【正确答案】

【原卷 15 题】 知识点 多面体与球体内切外接问题,正棱台及其有关计算,球的表面积的有关计算

【正确答案】

【试题解析】


15-1（基础） 已知圆台的内切球与圆台侧切的切点位于圆台高的处，若圆台的上底面半径为，则球的体积为______.
【正确答案】

15-2（基础） 如图，正四棱台的上､下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为___________.

【正确答案】

15-3（巩固） 在正四棱台中，，，则当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为______．
【正确答案】

15-4（巩固） 如图，在三棱台中，，平面平面，则该三棱台外接球的表面积为___________.

【正确答案】

15-5（提升） 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为，记能将该三角垛完全放入的四面体的体积为，则的最大值为___________．

【正确答案】

15-6（提升） 如图，在正四棱台中，，且存在一个半径为的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R，则__________．

【正确答案】

【原卷 16 题】 知识点 求双曲线的离心率或离心率的取值范围

【正确答案】

【试题解析】


16-1（基础） 已知，分别是双曲线：的左、右焦点.若双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【正确答案】

16-2（基础） 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【正确答案】

16-3（巩固） 已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
【正确答案】

16-4（巩固） 已知双曲线C：上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率分别为，，且，则离心率e的取值范围是____________．
【正确答案】

16-5（提升） 已知双曲线C：，直线与曲线C交于A，B两点（点A在点B的上方），，点E在轴上，且轴，若的内心到轴的距离不小于，则双曲线C离心率的取值范围为___________．
【正确答案】

16-6（提升） 设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【正确答案】

【原卷 17 题】 知识点 三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形,正弦定理解三角形

【正确答案】

【试题解析】


17-1（基础） 如图，在中，D为边BC上一点，，，，.

1、求的大小；
2、求的面积.
【正确答案】 1、
2、

17-2（基础） 在中，角所对的边分别为，，平分，交于点，已知，.求的面积.
【正确答案】

17-3（巩固） 如图，中，点为边上一点，且满足．

1、证明：；
2、若，求的面积．
【正确答案】 1、证明见解析； 2、

17-4（巩固） 在中，为上的中点，满足.
1、证明：为等腰三角形或直角三角形；
2、若角为锐角，为边上一点，，求的面积.
【正确答案】 1、证明见解析； 2、

17-5（提升） 中，，是边上的点，，且.
1、若，求面积的取值范围；
2、若，，平面内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由.
【正确答案】 1、；
2、

17-6（提升） 已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
1、证明：；
2、若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

【原卷 18 题】 知识点 卡方的计算,独立性检验解决实际问题,计算古典概型问题的概率

【正确答案】

【试题解析】


18-1（基础） 2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学 生作业负担和校外培训负担的意见》（下称“双减”）为了扎实推进“双减”工作，某地小学拟制定“免考”、“弹性作业”等一系列制度，继续深化减负政策. 现在当地随机抽取了名家长，调查他们对“免考”制度的态度，统计如下表.

不支持
支持
合计
乡村家长（人）



城镇家长（人）



合计




1、补充完善上述表格，并分别求乡村家长、城镇家长中支持“免考”制度的频率；
2、是否有超过的把握认为支持“免考”制度与家长类别有关系.
附：









【正确答案】 1、表格见解析，乡村家长、城镇家长中支持“免考”制度的频率分别为，
2、有超过的把握认为支持“免考”制度与家长类别有关系

18-2（基础） 针对偏远地区因交通不便､消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入（单位：万元）及当年人均可支配年收入（单位：万元）的贫困地区数目的数据如下表：
人均可支配年收入（万元）
电商扶贫年度总投入（万元）




5
3
2

3
21
6

2
34
24

1、估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率；
2、根据所给数据完成下面的列联表；

人均可支配年收入不超过1万元
人均可支配年收入超过1万元
总计
电商扶贫年度总投入不超过1000万元



电商扶贫年度总投入超过1000万元



总计




3、根据（2）中的列联表，判断能否有的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过1千万有关.
附：，其中.

0.050
0.01
0.005

3.841
6.635
7.879

【正确答案】 1、0.9； 2、详见解析；
3、有，详见解析.

18-3（巩固） 为研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所将所研制的某型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到如下统计数据：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40
p
x
注射疫苗
60
q
y
总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．求：
1、求p，q，x，y；
2、能否有99%的把握认为注射此疫苗有效？
附：下面的临界值表仅供参考．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：．
【正确答案】 1、；
2、有99%的把握认为注射此疫苗有效

18-4（巩固） 随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多．伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多，为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比见图：

已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在19～35岁年龄段的游客概率为．
1、请将下列2×2列联表补充完整．

预订旅游
不预订旅游
合计
19-35岁



18岁以下及36岁以上



合计



能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关？请说明理由．
2、将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率．
附：，其中．

0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【正确答案】 1、表格见解析，能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关
2、

18-5（提升） 某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的．调查结果显示，男生中有的人喜欢课外阅读，女生中有的人喜欢课外阅读．
1、以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；
2、若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？
附：

0.050
0.010

3.841
6.635
，．
【正确答案】 1、；
2、12.

18-6（提升） 2021年4月，全国职业教育大会在京召开，他对职业教育工作作出重要指示强调，各级党委和政府要加大制度创新、政策供给、投入力度，弘扬工匠精神，提高技术技能人才社会地位，为全面建设社会主义现代化国家、实现中华民族伟大复兴的中国梦提供有力人才和技能支撑.某核心技术工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

1、从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率.
2、规定日平均生产件数不少于80件者为“生产技术能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”.
附：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

【正确答案】 1、
2、列联表见解析，没有90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”

【原卷 19 题】 知识点 构造法求数列通项,求等比数列前n项和,数列新定义,放缩法

【正确答案】

【试题解析】


19-1（基础） 已知数列的首项，且满足.
1、求证：数列为等比数列：
2、若，求满足条件的最大整数.
【正确答案】 1、证明见解析 2、50

19-2（基础） 已知为正项数列的前n项的乘积，且．
1、求的通项公式；
2、若，求证：．
【正确答案】 1、；
2、证明见解析

19-3（巩固） 已知为数列的前项和，，，记．
1、求数列的通项公式；
2、已知，记数列的前项和为，求证：．
【正确答案】 1、
2、证明见解析

19-4（巩固） 已知数列{}的前n项和为且满足=-n.
1、求{}的通项公式；
2、证明：
【正确答案】 1、
2、证明见解析

19-5（提升） 已知正项数列满足，.数列满足各项均不为0，，其前n项的乘积.
1、求数列通项公式；
2、设，求数列的通项公式；
3、记数列的前项的和，求使得不等式成立的正整数m的最小值.
【正确答案】 1、
2、
3、16

19-6（提升） 已知数列的前项和为,且对任意,都有.
(1)求证: ；
(2)若数列是单调递减数列,求实数的取值范围；
(3)若,求证: .
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【原卷 20 题】 知识点 空间位置关系的向量证明,锥体体积的有关计算,已知线面角求其他量,求组合体的体积

【正确答案】

【试题解析】



20-1（基础） 已知在直三棱柱中，E，F分别为棱和的中点，若，，．

1、证明：平面平面；
2、若直线与平面所成角的正弦值为且，求直三棱柱的体积．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

20-2（基础） 如图，且，，平面平面，四边形为矩形，且．

（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；
（2）若与平面所成角的正切值为2，求直线到平面的距离．
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）.

20-3（巩固） 如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，点D，E，F，G分别为棱，，，的中点.

1、求证：GE平面；
2、若二面角的余弦值为，且，求多面体的体积.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

20-4（巩固） 如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．

1、若，证明直线AG在平面AEF内；
2、若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，试确定的值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、或

20-5（提升） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点

1、若平面截四棱锥得两个几何体，求上、下两部分几何体的体积比；
2、若，求与平面所成角的正弦值.
【正确答案】 1、
2、

20-6（提升） 在如图所示的多面体中，四边形为正方形，A，，，四点共面，且和均为等腰直角三角形，.平面平面，.

1、求多面体体积；
2、若点在直线上，求与平面所成角的最大值.
【正确答案】 1、4 2、

【原卷 21 题】 知识点 直线与二次曲线方程及性质,抛物线中的三角形或四边形面积问题,抛物线中的直线过定点问题

【正确答案】

【试题解析】


21-1（基础） 已知双曲线：的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为．已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若，证明：直线过定点．
【正确答案】 （Ⅰ）；（Ⅱ）直线MN过定点

21-2（基础） 如图，已知点E(m,0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．

(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；
(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
【正确答案】 （1）4；（2）见解析.

21-3（巩固） 已知抛物线：的准线与轴交于点，过点作圆：的两条切线，切点为，，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）．
①求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；
②过点作的垂线与抛物线交于，两点，求四边形面积的最小值．
【正确答案】 （1）；（2）①证明见解析；定点；②88．

21-4（巩固） 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
1、求抛物线的标准方程；
2、点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点．
【正确答案】 1、；
2、证明见解析.

21-5（提升） 如图，过点作抛物线的两条切线，，切点分别是，，动点为抛物线上在，之间部分上的任意一点，抛物线在点处的切线分别交，于点，.

1、若，证明：直线经过点；
2、若分别记，的面积为，，求的值.
【正确答案】 1、证明见解析； 2、

21-6（提升） 已知抛物线上有一动点，过点作抛物线的切线交轴于点．
1、判断线段的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
2、过点作的垂线交抛物线于另一点，求的面积的最小值．
【正确答案】 1、存在，过定点
2、

【原卷 22 题】 知识点 利用导数求函数的单调区间（不含参）,利用导数研究函数的零点,根据极值点求参数

【正确答案】

【试题解析】


22-1（基础） 已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
1、求函数的解析式；
2、求函数的单调区间；
3、若函数有三个零点，求的取值范围．
【正确答案】 1、；
2、单调递减区间是；单调递增区间是，；
3、

22-2（基础） 已知x = 4是函数的一个极值点，（，b∈R）.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数有3个不同的零点，求的取值范围.
【正确答案】 （Ⅰ）.（Ⅱ）所以的单调增区间是；的单调减区间是；（Ⅲ）.

22-3（巩固）
已知是函数的极值点．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
【正确答案】 （1）在和上单调递增，在上单调递减．
（2）见解析

22-4（巩固） 已知函数．
1、若在处取得极值，求实数的值．
2、求函数的单调区间．
3、若在上没有零点，求实数的取值范围．
【正确答案】 1、；
2、单调增区间为，单调减区间为；
3、

22-5（提升） 已知函数．
1、若在处取得极值，求的单调区间；
2、若函数有1个零点，求a的取值范围．
【正确答案】 1、单调减区间为，单调增区间为
2、或

22-6（提升） 已知函数.
1、若，求函数的单调区间与极值，并讨论零点的个数；
2、若函数大于零的极值点有且只有一个，求实数的取值范围.
【正确答案】 1、见解析 2、


答案解析
1-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
解绝对值不等式求出集合，再利用集合的补运算即可求解.
详解:
因为集合，全集，
所以或，
故选：C.
1-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 详解:
试题分析：，．
考点：集合的交集、补集运算．
1-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用集合的补集和交集运算求解.
详解:
因为集合，且，
所以，又，
所以，
故选：B
1-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
利用集合的补集和交集运算求解.
详解:
因为或，
所以，
又因为
所以，
故选：C
1-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
先解绝对值不等式和指数不等式化简集合A,B,再求∁RB和A∩(∁RB).
详解:
|x+1|＜1，所以-1＜x+1＜1，所以-2＜x＜0，所以A=(-2,0),
，
∁RB所以A∩（∁RB）=（﹣1，0）.
故答案为C
点睛:
（1）本题主要考查不等式的解法，考查集合的化简和补集交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.
1-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先解出集合A、B，再求集合C.
详解:
，
.
因为且，
所以.
故选：B
2-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据复数的乘法运算求出等式的左边，结合相等复数的概念即可得出结果.
详解:
由题意知，
，
则.
故选：A.
2-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据复数的乘法运算及复数相等即可得解.
详解:
，，
，，
解得，，
故选：C
2-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
设，根据，利用复数相等求解.
详解:
设，由题意可得，
即，
所以，
解得，
∴
故选：A．
2-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据复数的乘法运算进行化简，结合复数相等求出，可得答案.
详解:
因为，所以，
所以，解得，所以.
故选：D.
2-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
设复数，依据复数相等列出关于的方程组，解之即可求得z的虚部b.
详解:
设复数，由复数z满足
可得，即
则，解之得，即z的虚部为
故选：D
2-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
设，根据复数的运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出复数的虚部.
详解:
设，则，
所以，，所以，，
解得或，因此，复数的虚部为.
故选：B.
3-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
观察对角线上各数的规律，推理出其通项，在进行求和.
详解:
由题意以推导出第行与第列交叉点上的数应该是，然后由等差数列的求和公式求和即可
根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，
第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，
由此可以推导出第行与第列交叉点上的数应该是，
所以
.
故选：C
3-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据规律得出杨辉三角中每一行的和，每一行的数的个数，这样可确定题中数列前46项，正好包含杨辉三角中前11行，加上第12行的第2个数11，由此可得结论．
详解:
杨辉三角的第n行的和为，故前n行的和为，
每一行的个数为1，2，3，…，可看成以1为首项，以1为公差的等差数列，则，
当时，，去除两端的1可得，
则此数列的前46项的和为：．
故选：D
3-3【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由图中锯齿形数列，发现规律：奇数项的第n项可表示成正整数的前n项和的形式，偶数项构成以2为首项，公差是1的等差数列，由此结合等差数列的通项与求和公式，即可求出.
详解:
由图中锯齿形数列，发现：
，
而，
所以
，
故选D.
点睛:
本题主要考查了数列的前n项和，等差数列的通项与求和公式，归纳推理，属于中档题.
3-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据图形中数据，归纳可得第行各数之和，从而可得结果.
详解:
由图形知，第一行有1个数，其和为；
第二行有3个数，其和为；
第三行有5个数，其和为；
第四行有7个数，其和为，

所以第行有个数，其和为，
令，
解得.
故选：C
点睛:
方法点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.
二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
3-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.
详解:
由题意，设每一行的和为
故
因此：

故
故选：D
点睛:
本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
3-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由题意可得，且为奇数时，，其中，，然后逐个求解相加即可.
详解:
因为表示正整数的所有因数中最大的奇数，
所以，且为奇数时，，其中，
，
所以
=51+13+53+27+55+7+57+29+59+15+61+31+63+1+65+33+67
+17+69+35+71+9+73+37+75+19+77+39+79+5+81+41+83+21
+85+43+87+11+89+45+91+23+93+47+95+3+97+49+99+25
=1+3+5+7+9+11+…+99
=
=2500．
故选：D
4-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由题意可得，的坐标，进而可得，，代入向量求夹角公式，可得关于k的一元二次方程，即可求得答案.
详解:
由题意，，．
所以，
又，且与的夹角为120°，
所以，
化简并整理得：k2＋2k－2＝0，解得k＝.
故选：C
4-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
设，根据条件列方程求得向量的坐标值，从而求出的坐标，利用向量夹角坐标公式求解即可．
详解:
设，则由，，得
解得或，所以或，
当时，，，
所以，向量与的夹角为
当时，，，
所以，向量与的夹角为
综上，向量与的夹角为．
故选：B
4-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由与的夹角与与的夹角的余弦值相加为0求解．
详解:
由已知，
，
，
∵与的夹角与与的夹角互补，
∴，解得．
故选：A．
点睛:
本题考查平面向量的夹角，考查平面向量的数量积定义，属于基础题．
4-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
求出向量，根据题意与和与的夹角相等列出等式，化简可得答案.
详解:
由题意，
得，
由于与和与的夹角相等，故，
即，即，
故选：B.
4-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
设，分析可知，可得出关于、的等式，求出这两个参数的等量关系，即可得出结果.
详解:
设，由已知可得，，，
所以，，
，
，，
因为，则，即，可得，
故选：C.
4-6【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据题意可得，，故所求向量与共线，再根据共线向量的性质求解即可
详解:
设所求向量为，因为，故，又与向量和夹角均相等，根据平行四边形法则可得与共线，设，则，故，即，故或
故选：C
5-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
详解:
由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有种，
故选：．
5-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.
详解:
①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，
此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；
②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法，
此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；
③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法；
故选拔测试的安排方案有种.
故选：B.
5-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据题意“礼”的次序一定，因此分类考虑“射”的次序排法，再考虑“数”以及“御”的次序牌法，根据分类加法计算原理可求得答案.
详解:
由题意，“礼”排第一，当“射”排第二或六时，“数”只有一种次序，其余全排列，有种次序，
当“射”排第三、四、五时，“数”有两种次序可选，“御”也有两种次序可选，其余全排列，
此时有种次序，
故“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种，
故选：A．
5-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
甲乙丙是三个特殊元素，分类讨论甲与丙之间为乙与甲与丙之间不是乙的两种情况，利用捆绑法即可求得所求排法总数.
详解:
若甲与丙之间为乙，即乙在甲、丙中间且三人相邻，共有种情况，将三人看成一个整体，与丁戊两人全排列，共有种情况，则此时有种排法；
若甲与丙之间不是乙，先从丁、戊中选取1人，安排在甲、丙之间，有种选法，此时乙在甲的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法，
所以总共有种情况符合题意.
故选：C．
5-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
分三种情况讨论，分别将女甲女女乙、甲女丙女乙、甲女女丙乙看成一个整体，分别求出不同的排法个数，再求和即可.
详解:
3个男生与4个女生站在一排照相，要求站在甲乙2个男生之间的女生恰好有2个，并且甲丙两个男生不能相邻,不同的情况有：
将“甲女女乙”（甲乙可以互换）看成一个整体：有种排法；
将“甲女丙女乙”（甲乙可以互换）看成一个整体：有种排法；
将“甲女女丙乙”（甲乙可以互换，丙一直与乙相邻）看成一个整体：
有种排法，
共有种排法，
故选：B.
点睛:
本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
5-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻.
详解:
首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有种不同排列方式，甲、丁排在一起共有种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；
根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为种.
故选：B.
点睛:
本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.
6-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据椭圆中焦点三角形的几何性质，结合椭圆的定义与余弦定理即可求得各边长，再利用面积公式即可求得的面积.
详解:
由题可知，焦距，则，又椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，
即，所以，
在中，，
由余弦定理得：，
整理得，所以，则，故的面积.
故选：D.
6-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由条件根据向量夹角公式求，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
详解:
设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
则，，
即.
设，所以由椭圆的定义可得：①.
因为，所以由数量积的公式可得：
，所以.
在中，
所以由余弦定理可得：②，
由①②可得：，所以.
故选：A.
6-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.
详解:
由题意，，，即，，
整理可得，，则，解得.
故选：A.
6-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
首先根据题干中的几何条件求出与的值，然后根据余弦定理求出，最后利用面积公式进行求解即可.
详解:
因为椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为.
所以，解得.
则
由余弦定理可知，
代入化简可得，
则.
故选：B.
6-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
结合题意可知，由此结合椭圆的定义及解三角形的知识即可求得的面积.
详解:
因为椭圆，所以，则，即，如图，
因为为椭圆上一点且在第一象限，为等腰三角形，所以，
不妨设，则有，解得，
所以，
又，故，
所以.
故选：D.
.
6-6【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得.
详解:
由椭圆的方程可得，，，则，
所以
，
当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大，
此时，.
故选：C.
7-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据和角公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.
详解:
由得，进而，
所以，
故选：B
7-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.
详解:
，
，
故选：D
7-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
弦化切得到，结合角的范围和的单调性得到，从而得到，.
详解:
由题得，
因为，，所以，，
又函数在区间内单调递增，所以，即，
所以．
故选：B．
7-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
将的左边分子中的1看成，可将左边利用两角和的正切公式化成， 进而可得，根据角的范围和正切函数的性质可得，化简可得结果．
详解:
因为，所以 ，
因为，所以，
所以 ，所以．
故选C．
点睛:
本题考查两角和正切公式的逆用、正切函数的性质等知识．三角函数关系式化简时，注意1的运用，如：． 两个角的同名三角函数值相等，可利用两角的范围及三角函数的单调性判断两角的关系．
7-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
解法一：考虑特殊值，通过排除法得到结果；
解法二：将等式交叉相乘并化简，根据的单调性得到与的关系，从而得到结果；
解法三：对等式两边分别化简，然后根据的单调性得到与的关系，从而得到结果.
详解:
解法一：（排除法）当时，，可排除B，C；
当时，，可排除A，可知D正确；
解法二：由已知得

又
函数在上为增函数，
所以.即；
解法三：

所以
又，
在上增函数
所以，即.
故选D.
点睛:
本题考查利用三角函数单调性对等式进行化简，难度较难.
（1）在化简过程中注意诱导公式、二倍角公式、三角恒等变换中的公式的灵活运用.
（2）函数值相等时，利用函数单调性，可得到对应自变量之间的关系.
7-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据诱导公式以及二倍角余弦公式化简，再根据正切函数单调性确定结果.
详解:



因为，，所以，，
因此由得

故选：D
点睛:
本题考查诱导公式、二倍角余弦公式、正切函数性质，考查综合分析化简能力，属中档题.
8-1【基础】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
本题首先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为4的函数，再通过合理赋值可一一核对各选项的对错.
详解:
因为为偶函数，则，两边求导得，所以为奇函数，
因为，
，所以，
故，所以，即的周期且，
在，中，
令，可得，所以，故A正确；
令，可得，而为奇函数，则，
所以，则，故B正确；
令得，
，则
，无法求得，
同理令得，
，因此，
相加得，只有在时，
有，但不一定为0，因此C错误；
在中，
令得，，
在中，
令得，，
两式相加得，即，故D正确.
故选：ABD.
点睛:
抽象函数的周期性和奇偶性结合的问题难度较大，需要通过合理赋值才能得到相应的结果.
8-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据给定条件探求出函数的性质，由此求出，再借助复合函数求导问题求出即可得解.
详解:
上的偶函数满足，则当时，，
，于是得，即f(x)是周期函数，周期为4，则有，
对两边求导得，即，于是当时，，
曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A
点睛:
结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为.
8-3【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由的图象关于点中心对称，可得，即函数的图象关于直线对称.由为偶函数，可得的图象关于直线对称，进而得到的周期为，从而求解.
详解:
因为的图象关于点中心对称，
所以，则，
所以，即，
所以，
所以函数的图象关于直线对称.
又为偶函数，所以，
则，
所以的图象关于直线对称，
所以，
所以的周期为.
由，得.
又，所以.
故.
故选：D.
8-4【巩固】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
根据为奇函数可得，根据的图象关于y轴对称可得，两个等式两边同时取导数，可得、，对x赋值，结合选项即可求解.
详解:
因为为奇函数，定义域为R，所以，
故，
等式两边同时取导数，得，即①，
因为的图象关于y轴对称，则，故
，
等式两边同时取导数，得②.
由，令，得，解得，
由，令，得，
由②，令，得，
令，得，解得，
故选：ABD.
8-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据题意利用赋值法求出、、、的值，推出函数的周期，结合，每四个值为一个循环，即可求得答案.
详解:
由，令，得，所以．
由为奇函数，得，所以，
故①．
又②，
由①和②得，即，
所以，③
令，得，得，
令，得，得．
又④，
由③-④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，
故，
所以，
所以
，
故选：C．
点睛:
方法点睛：解决此类抽象函数的求值问题时，涉及到函数的性质，比如奇偶性和对称轴以及周期性等问题，综合性较强，有一定难度，解答时往往要采用赋值法求得某些特殊值，继而推出函数满足的性质，诸如对称性和周期性等，从而解决问题.
8-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由为偶函数可得为奇函数，继而得到是以4为周期的周期函数，即可判断①③④，由可得，继而得到，即可判断②
详解:
对②：由，可得，则（与为常数），
令，则，所以，则，
故的图象关于直线对称，②正确；
对①：∵为偶函数，则，
∴，则为奇函数，
故，即，则是以4为周期的周期函数，
由，令，则，可得，故，①正确；
由，令，则，即，
令，则，即，
故，则，
对③：由，即，则，
由于无法得出的值，③错误；
对④：，④正确.
故选：D.
点睛:
方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
9-1【基础】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
A.利用正切函数的周期性求解判断； B：由求解判断C.由正切函数的单调性求解判断；D：利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解判断.
详解:
A.的最小正周期为，故错误；
B：由，得，故错误；
C：由，得单调递增为，故正确；
D：图象的图像上各点的横坐标变为原来的两倍后，得到的图象，再向左平移个单位长度后得到，故错误.
故选：ABD
9-2【基础】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
根据图象的平移变换可得，根据正切函数的对称中心可求A，根据周期公式可求B，利用正切函数的单调性可求C，根据正切函数不是轴对称图形可求D.
详解:
将函数的图象向左平移个单位长度可得函数，
然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，
令解得，当时，
所以函数的图象关于点成中心对称，A正确；
函数的最小正周期为，B正确；
令解得，
所以函数的单调增区间为，，C错误；
正切函数不是轴对称图形，D正确，
故选:ABD.
9-3【巩固】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
求出函数的最小正周期，可求出的值，可判断A选项；利用正切型函数的对称性可判断BC选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项.
详解:
因为函数的图象与直线的相邻交点的距离为，
所以，函数的最小正周期为，则，A错；
对于B选项，，由可得，
当时，，故点是图象的一个对称中心，B对；
对于C选项，函数的图象无对称轴，C错；
对于D选项，当时，则，故函数在区间上不单调，D错.
故选：ACD.
9-4【巩固】 【正确答案】 BD
【试题解析】 分析:
根据平移可得的表达式，然后利用正切函数的性质进行判断即可.
详解:
由题可知：
令，即
所以函数定义域为，故A错
令
所以函数单调递增区间为，
当时，是函数的单调递增区间，故B正确
令，故函数对称中心为，故C错

所以，
所以在所求的范围之内，故D正确
故选：BD
9-5【提升】 【正确答案】 BCD
【试题解析】 分析:
对于A.根据正切函数最小正周期公式计算即可；对于B.整体代入正切函数的对称中心公式计算即可；对于C.写出函数解析式代入计算即可；对于D.整体代入正切函数的单调区间，求出关于的单增区间，再根据题意列出不等式计算出取值范围.
详解:
当的最小正周期是时，，则，故A选项正确；
当时，，所以令，，解得，，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项不正确；
当时， ，，故C选项不正确；
令，，解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因为，所以由，得，由，得，所以的取值范围是，故D选项不正确．
故选:BCD
9-6【提升】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
利用辅助角公式化简的解析式，根据其奇偶性和最小正周期以及即可求得的值，再根据图象平移求出的解析式，验证时是否取最值即可判断A；根据，结合的解析式利用整体代换和三角函数性质可求得其最小值，即得B正确；当，由整体代换和三角函数图象的单调性可判断C错误；分别求出函数在上的所有零点，即可得D正确.
详解:
由，
因为函数为奇函数，则，所以，
又因为，所以.
由函数的最小正周期为，可得，即；
故；
将函数的图象向右平移个单位，得到函数；
因为，所以是函数的一条对称轴，即A正确；
当，，由正弦函数性质可得，
所以当时，函数的最小值是，即B正确；
当时，，根据三角函数单调性可得，函数在区间上不单调，所以C错误；
当时，令，可得；
此时两零点之和为，即D正确.
故选：ABD
10-1【基础】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
利用圆心在直线上判断A；利用圆心关于直线对称判断B；利用直线也符合题意判断C；利用圆心到定点的距离减去半径判断D.
详解:
圆的半径为1，圆心为，在直线上，所以圆关于直线对称，A正确；
因为的半径为1，圆心为，所以的中点坐标为，在直线上，
又因为，直线的斜率为，所以，所以关于直线对称，即两圆半径相等圆心关于直线对称，所以两圆关于直线对称，B正确；
因为直线经过，且其到圆心的距离等于半径1，所以直线也与圆相切，故C错误；
表示到的距离，因，
所以的最小值为，D正确.
故选：ABD.
10-2【基础】 【正确答案】 AC
【试题解析】 分析:
利用圆心到直线l的距离与半径的关系可以判断A正确；点P到直线l距离的最小值为，判断B错误；求出圆心关于直线l对称点，进而求出圆的方程，判断C正确；利用圆心到直线的距离，求出其切线方程，判断D错误.
详解:
⊙M ：，圆心，半径，
圆心到直线l：的距离为：，
所以直线l与⊙M相离，故A正确；
点P到直线l距离的最小值为，故B错误；
设圆心关于直线l对称点为，
则，解得，
则与⊙M关于直线l对称的圆的方程为，故C正确；
设平行于l且与⊙M相切的直线方程为，
则，解得或，
平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和，故D错误.
故选：AC.
10-3【巩固】 【正确答案】 AC
【试题解析】 分析:
由题知该组圆的圆心为，半径为，再根据直线与圆的位置关系依次讨论各选项即可得答案.
详解:
解：对于A选项，由圆的标准方程得该组圆的圆心为，半径为，故A选项正确；
对于B选项，若直线平分所有的圆，则其圆心在直线上，由于不恒成立，故错误；
对于C选项，圆心到直线的距离为，故直线被圆截得的弦长均为，故正确；
对于D选项，若存在一个圆与轴和轴均相切，则圆心在上，即，故，解得或，由于圆的半径为，故当时，圆，满足题意.故存在一个圆与轴和轴均相切，故错误.
故选：AC
10-4【巩固】 【正确答案】 BCD
【试题解析】 分析:
根据直线方程含参数确定其定点即可判断A；根据直线过的定点与圆的位置关系，可确定直线与圆的位置关系，即可判断B；由直线过定点，可得圆心到直线的最大距离，即可判断C；利用点关于直线对称的几何性质求对称点坐标即可判断D.
详解:
直线：整理为，则，解得，所以始终过定点，故A不正确；
对于圆，由于，则直线过的定点在圆内，所以直线与圆恒有两个公共点，故B正确；
圆的圆心，由于直线过的定点，所以圆心到直线的最大距离为，故C正确；
当时，直线为，设圆心关于直线的对称点为，所以，解得，则圆心关于直线的对称点为，故D正确.
故选：BCD.
10-5【提升】 【正确答案】 BD
【试题解析】 分析:
首先求出点关于轴的对称点为点的坐标，再设反射光线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出，即可求出切线方程，即可判断AD；再根据与求出过圆心的直线方程，即可判断B，最后根据判断C；
详解:
解：点关于x轴的对称点为.圆即为，斜率存在时，设反射光线方程为，即.
由相切知，解得或.
∴反射光线为或即或，故A不正确.
又过的方程为，故B正确；
因，所以直线的最短路程为，故C不正确.
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为和，所以被挡住的范围，故D正确.
故选：BD
10-6【提升】 【正确答案】 AC
【试题解析】 分析:
设，根据题意列方程组解得可判断A，根据直线方程可求出直线所经过的定点判断B，再根据圆心到直线的距离的最大值可得直线被圆所截得的弦长的最小值可判断C，根据直线被圆截得的弦长最大时，直线过圆心可判断D.
详解:
设，圆的圆心，半径为，
则，解得，
所以圆的方程为，故A正确；
因为，即，
由得，所以直线过定点，故B错误；
设圆心到直线的距离为，
则，当且仅当时，等号成立，
所以弦长，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确；
直线被圆截得的弦长最大时，则直线过圆心，
所以，即，故D错误.
故选：AC.
11-1【基础】 【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
设，求得，根据，求得的值，可判定A正确；由，可判定B错误；由为正三角形，根据，得到对角面为矩形，可判定C错误；由，可判定D正确.
详解:
设，则，
对于A中，因为，
可得，
所以A正确；
对于B中，因为，
可得异面直线与夹角的余弦值为0，所以B错误；
对于C中，因为，所以为正三角形，可得，
因为，所以，
所以对角面为矩形，其面积为，所以C错误；
对于D中，设与交于点，连接，取的中点，连接，
可得，所以D正确.
故选：AD.

11-2【基础】 【正确答案】 BD
【试题解析】 分析:
对于A，由勾股定理可判断；
对于B，由题可知，，，，．根据空间向量的数量积以及向量的夹角运算可判断；
对于C，根据空间向量的线性运算可判断；
对于D，由已知得点P在直线上．从而得直线上的点到平面的距离相等，由此可判断．
详解:
解：对于A，∵，，∴，故A不正确；
对于B，由题可知，，，，．
∵，
∴，∴与AC所成的角为60°，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，∵，∴点P在直线上．由于平面，∴直线上的点到平面的距离相等，又的面积为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：BD．
11-3【巩固】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
选定空间的一个基底，表示出相关向量，计算数量积判断A；利用共面向量定理判断B；求出正四面体的高判断D作答.
详解:
在平行六面体中，令，不妨令，
依题意，，，
因点M，N分别是棱的中点，则，
，则有，A正确；
，若向量共面，
则存在唯一实数对使得，
即，而不共面，则有，显然不成立，B不正确；
由,则，故C正确.
连接，依题意，，即四面体是正四面体，

因此，平行六面体的高等于点到平面的距离，即正四面体的高h，
由知，
由选项A知，，
则平面，是平面的一个法向量，，
，
则，所以平行六面体的高为，D正确.
故选：ACD
11-4【巩固】 【正确答案】 AB
【试题解析】 分析:
以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断AC，利用空间向量法可得面，再求正三棱锥的高，即可判断B，利用割补法判断D；
详解:
解：依题意以，，作为空间的一组基底，则
所以


所以，故A正确；

设直线和直线所成的角为，则，故C错误；
因为，所以
，即，同理可证，，面，所以面，即面，即为正三棱锥的高，因为，所以，所以，故B正确；，其中，所以，故D错误；
故选：AB

11-5【提升】 【正确答案】 BCD
【试题解析】 分析:
由结合推出面，得出矛盾，即可判断A选项；由为线段的垂直平分线 ，且，即可判断B选项；由异面直线夹角的求法即可判断C选项；由线面角的求法即可判断D选项．
详解:

对于A，若，易得四边形为菱形，则，又，面，
可知面，则面，显然矛盾，故A错误；
对于B，其中 点在线段 上， 平分 ，且 为线段的垂直平分线 ，又，
可知 上所有点到 与 的距离相等，故 B 正确 ；
对于C，设平行六面体 的边长为 ，易得 ，其中 ，
可得 ，又，
则与所成角即为，当 点运动到 点处时，此时 最小，即 与 所成角的余弦值最小，
，故 C 正确；
易得当 点运动到 点处时，此时 与平面 所成角最大，即正弦值最大，
又
，则，又，，面，则面，
作，垂足为，则，又面且相交，则面，则即为与平面所成角，
则有 ，故正弦值最大为 ， D 正确．
故选：BCD.
11-6【提升】 【正确答案】 ABC
【试题解析】 分析:
对于A，求正方体对角线即可判断；对于B，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C，由正三棱锥
的高与斜高的关系即可计算判断；对于D，求出正四面体外接球体积判断作答.
详解:
平行六面体 中，各棱长均为2，设，
对于A，时，该平行六面体为正方体，其体对角线长，A正确；
对于B，，，因此，
，B正确；
对于C，连接，如图，依题意，为正三棱锥，取中点E，
令为正的中心，连，有平面，

正三棱锥的斜高，，则，
显然，，即，则，锐角，从而得，C正确；
对于D，当时，三棱锥为正四面体，三棱锥也是正四面体，它们全等，
由C选项知，，正四面体的外接球球心在线段AO上，设球半径为，
则有，整理得，解得，
于是得三棱锥外接球的体积，D不正确.
故选：ABC
点睛:
关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.
12-1【基础】 【正确答案】 BC
【试题解析】 分析:
结合已知利用对数的运算可判断A，B；利用基本不等式可判断C;结合已知并利用二次函数性质可判断D.
详解:
对于A, ，错误；
对于B，因为，且，则，
故，正确；
对于C，因为，且，则，
所以，正确；
对于D, ，而，
结合二次函数性质可知，故D错误，
故选：BC
12-2【基础】 【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
根据指对互化可得，，结合对数运算法则和基本不等式依次判断各个选项即可.
详解:
由得：，，
对于A，，，即，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD.
点睛:
关键点点睛：本题解题关键是能够将各选项中的式子转化为同底的对数运算的形式，结合基本不等式可确定取值范围.
12-3【巩固】 【正确答案】 BCD
【试题解析】 分析:
指对互化后求得，对A、C选项可利用不等式及变形判断结论是否正确；
对B选项可用“1”的代换判断结论是否正确；
对D选项：由换底公式得，分别计算与的范围可判断结论是否正确.
详解:
由，，得，，所以，对于A，由不等式得，，
又，，所以A不正确；
对于B，因为，，，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确；
对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以C正确；
对于D，因为，，所以，由于，且，因为，所以等号不成立，所以，
所以，所以，所以D正确，
故选：BCD.
12-4【巩固】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
根据条件可得，，进而根据即可求解A,根据基本不等式即可判断BC,根据二次函数的性质即可判断D.
详解:
由得，，由于，所以，
所以，因此且，故A正确，
，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，故，当时，，所以，故B正确，
，当且仅当时取等号，故，所以C错误，
，当且仅当取等号，又，所以或者等号成立，
故选：ABD
12-5【提升】 【正确答案】 BCD
【试题解析】 分析:
令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答.
详解:
是正实数，令，则，，
对于A，，A错误；
对于B，因为，则，B正确；
对于C，因为，则，即，
因此，即有，C正确；
对于D，，
因此，D正确.
故选：BCD
点睛:
思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
12-6【提升】 【正确答案】 BD
【试题解析】 分析:
设，可得与之间的等式关系，再用换底公式进行变形，可得分子相同，通过化简，判断正负，即可判断A；同理可判断大小，即可判断B；分别化简，即可判断C；对进行化简，用对数运算法则，展开后，再用基本不等式即可判断D.
详解:
解：取，所以有，则，
则，
因为，
因为，
所以，即，故选项A错误；
因为，
因为，
所以，即，故选项B正确；
因为，
故选项C错误；
因为

，
当且仅当时取等，显然等号不成立，
故，故选项D正确.
故选：BD
13-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
原多项式中写出含的项，然后再从中写出含的项，即可得含的系数.
详解:
由含的项中对应的指数分别为6,2，
所以，
对于中含的项为，
所以含的系数是.
故
13-2【基础】 【正确答案】 540
【试题解析】 分析:
表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案.
详解:
表示5个因式的乘积，
在这5个因式中，有2个因式选，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选，即可得到含 的项，
故含的项系数是
故答案为.
13-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先用十字相乘法分解因式，然后利用组合知识求解出指定项系数，求出和.
详解:
，则的系数为1，
的系数为，
所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．
故-674
13-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
，然后两次利用通项公式求解即可
详解:
解：因为，
设其展开式的通项公式为，
令，
得的通项公式为，
令，得，
所以的展开式中，的系数为，
故
13-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
利用组合知识可求的展开式，从而可求常数项.
详解:
的展开式中的各项为：，

而，
其中，
令，则或，
令，则或或，
故展开式中的常数项为：

.
故答案为.
13-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先确定展开式中产生的项的方式，然后求出的项的系数列方程求解.
详解:
∵表示6个因式的乘积，
故展开式中含的项为：
四个因式取，一个因式取,1个因式取；
或者：有三个因式取，其余的3个因式都取；
故展开式中含的项为
，解得
故
14-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据函数是奇函数求出时函数的解析式，然后求出切线的斜率，再得到切线方程.
详解:
因为当时，，又因为是奇函数，
所以当时， ，所以，
∴当时，，
∴在处的切线斜率，
∴在处的切线方程为，即.
故
14-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
由偶函数求时的解析式，并写出导函数，进而求、，写出切线方程即可.
详解:
若，则，由是偶函数，得，
∴时，，而此时的，即，
∴曲线在处的切线方程为，即.
故答案为.
14-3【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
由已知求得时函数的解析式，求出函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案.
详解:
解：设，则，
又为奇函数，∴，
则，∴，
又，
∴曲线在点处的切线方程是，
即切线方程是.
故答案为.
14-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
由奇函数的性质可得，求得，再求时，的解析式，注意运用，求得时，的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程.
详解:
解：由是定义在R上的奇函数，可得，
当时，，
当，即有，，
，
则导数为，，
又切点为，切线方程为，
即.
故答案为.
点睛:
本题考查根据奇偶性求解析式，考查利用导数求切线方程，属于中档题.
14-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
由结合为奇函数，可得，进而可得，对两边同时求导可得，求出，结合导数的几何意义求解即可.
详解:
由，
令，则，即，
又为奇函数，则，
故是以4为周期的周期函数，则，
对，求导得，
故是以4为周期的周期函数，则，
即切点坐标为，切线斜率，
故切线方程为，即.
故答案为.
14-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
通过判断函数为偶函数即可得到在的解析式，从而求导求出直线的斜率，再求出切线方程.
详解:
由于函数的图像关于直线对称，故为偶函数，令，则，从而，因此，，则切线斜率为，因此切线方程为.
点睛:
本题主要考查函数的对称性，奇偶性，利用奇偶性求函数解析式，导数的几何意义，综合性强；意在考查学生的转化能力及逻辑分析能力.
15-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
求得圆台的高，也即求得球的直径，进而求得球的半径，从而求得球的体积.
详解:
圆台的上底面半径为，
由于圆台的内切球与圆台侧切的切点位于圆台高的处，
根据切线长定理可知：圆台的下底面半径为，母线长为，
所以圆台的高为，
也即球的直径为，半径为，
所以球的体积为.
故
15-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
借助于正投影，由切线性质分析可得相关长度和角度关系，在比例关系求内切圆半径．
详解:
该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，如图所示：
，可得
故
故．

15-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
设出正四棱台的边长和高，然后列出正四棱台体积函数，利用导数法求出最值时的边长和高，进一步求出正四棱台的上下底面外接圆半径，再根据球的性质，利用勾股定理可求出球的半径，最后求其外接球的表面积.
详解:
如图，在正四棱台中，分别取上下底面的中心、，设，
高，则，过点作，垂足为H，
在中，，即，
则该四棱台的体积，
记，
则，令得，令得，令得，
所以函数单调递增区间为，递减区间为，
故当时，函数有最大值，此时该正四棱台的体积最大，，，
设正四棱台外接球的半径为R，有，
整理得到，解得：，所以正四棱台外接球的表面积为.
故

点睛:
关键点点睛：此题考查棱台的有关计算，考查多面体的外接球问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心的位置，从而可求出球的半径，考查计算能力，属于中档题
15-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
取与中点，根据平面平面，可知平面，球心必在直线上，设球心为D，则，可求得球心恰好为点O，从而求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算.
详解:
在三棱台中，可得 都是等腰三角形，，四边形为等腰梯形即，
如图，取与中点，连接，则可得，，又平面平面，两面交线为，所以平面.
因为,,面面,
所以球心必在直线上.所以在直角梯形中可求得，
由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线上，设球的半径为R，球心为D，
则，得，所以球心恰好为点O，
所以球的半径为，所以该三棱台外接球的表面积为.
故

点睛:
方法点睛：定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助面面垂直的性质，找到线面垂直，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
15-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
要使取得最大值，则使取最小值，通过计算出球心在一面的投影点到该边的距离，可算出四面体的最小棱长
详解:
设球的半径为，
由题意可知四面体为正四面体，边长为，
所以四面体的高为，
所以，要使取得最大值，则使取最小值，由题意可知此时该三角垛与四面体相切.
等边的高为，
由余弦定理可算出正四面体任意两面二面角大小的余弦值为，
因为位于三角垛顶的球与三面都相切，
取的中点，过点作平面的垂线 ，垂足为，如图可得截面，
若设则，所以，
已知球心到面的距离为，则，
在平面里过点作的垂线，所以，

所以边上三个球的球心在该面的投影与该边和两个顶点形成等腰梯形，底角为，上底为，高为，
所以下底可计算得，所以的最小值为，
所以的最大值为.
故
点睛:
关键点睛：这道题的关键是确定最小正四面体的棱长，需要通过截面和在三角形利用几何关系进行确定，需要较强的空间想象能力
15-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
分别求出内切球与外接球的半径即可.
详解:
如图，做该正棱台的轴截面，由题意，设，而，
易得，，，，
且，
所以，即，解得，从而可知,


连接,，交于点,连接,，交于点,可知,，
从而有,
所以，即，解得，
所以.
故
16-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据双曲线中，从而可得，即可求离心率范围.
详解:

如图所示，，所以，所以，
又因为，即，即，
所以离心率，
所以双曲线的离心率的取值范围为，
故答案为: .
16-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
表达出，两点坐标，进而利用向量数量积列出不等式，求出离心率的取值范围.
详解:
当时，，解得：，
不妨设，
则，
即，
不等式两边同除以得：，
解得：
故
16-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
设，，由得，求出点坐标，代入渐近线方程得用表示的式子，求得其范围后可得离心率范围．
详解:
设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故．
16-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
利用点差法求得，由此化简求得离心率的取值范围.
详解:
设，，因为A，B关于原点对称，所以，
∴，，∴．
又因为点P，A都在双曲线上，所以，，
两式相减得：，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故
16-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据题意求出的坐标，利用面积求出的内切圆的半径，根据的内心到轴的距离不小于，列式求出，再根据离心率公式可求出结果.
详解:
当时，，，所以、，
因为，所以，
因为点E在轴上，且轴，所以，
设的内切圆的半径为，则，
所以，
所以，
依题意可得，即，
所以，化简得，
所以离心率，
又，所以双曲线C离心率的取值范围为.
故答案为.
16-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
取直线的方程为，过点作于，则有，为等腰直角三角形，所以,,,由，可得，即可得，即可得出离心率的取值范围.
详解:
解：由题可知，点，如图所示，不妨取直线的方程为，过点作于，则到直线的距离，

，且，
为等腰直角三角形，
，，
，，，
，，即，
离心率，
令，，则，即]，
．
故答案为.
17-1【基础】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）利用余弦定理，即可求得本题答案；
（2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案.
在中，，
又，所以 ；
在中，，
则 ，
因为，所以，
在中，，则 ，

，
在中，因为，所以，
则 ，
故.
17-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
在中，利用余弦定理可求得和；在中，由正弦定理可求得；由可求得，代入三角形面积公式可求得结果.
详解:

在中，，，
由余弦定理得：，，
，则；
在中，，由正弦定理得：，
又，
则，，，
.
17-3【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析； 2、
【试题解析】 分析:
（1）利用正弦定理，结合已知条件进行证明.
（2）结合第（1）问的结论，利用余弦定理、三角形的面积公式求解.
因为，所以，
在中，由正弦定理有：，
在中，由正弦定理有：，
所以，
所以，而，
所以，所以.
因为，在中，由余弦定理有：
，
因为是三角形的内角，所以，
由（1）有：，所以，
所以是的角平分线，所以，
所以，又，所以，
所以.
17-4【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析； 2、
【试题解析】 分析:
(1) 设，，由正弦定理可得，，
根据二倍角正弦公式和正弦函数性质证明或即可；
(2)由余弦定理列方程求，再求的余弦值和正弦值，再利用三角形面积公式求解.
因为，
所以，
设，，
则，，
在中，由正弦定理可得，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以或，，
又，，
所以或，
即或，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形；
因为角为锐角，由(1)可得，
所以，设，则，
因为，所以，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
又
所以，
所以，，
所以，
所以的面积.

17-5【提升】 【正确答案】 1、；
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据条件可得，建立平面直角坐标系，从而可得在一个定圆上运动变化，从而可求的边上的高的范围，故可得面积的取值范围.
（2）根据题设条件可判断该三角形为直角三角形，利用正弦定理和余弦定理可求的值.
由面积公式可得：
，
，
因为，故，
由可得即，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，则，

则，整理得到：，
故的边上的高的范围为，故其面积的取值范围为：

因为，故，故，
故为直角三角形且
如图，设，则，故，
同理，
故，而，故，
在中，由余弦定理可得：，
整理得到：
所以，
整理得到：，解得或，
但为锐角，故，故
故存在且.
17-6【提升】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）由正弦定理可将转化为，结合角度关系转化得，即可证得；
（2）由为的角平分线，，可得，根据面积公式可求得，再由三角形为锐角三角形可得的范围，由平方公式二倍角公式可得的值，根据和差公式得的值，由余弦定理求得，再根据正弦定理的的值即可.
证明：因为，由正弦定理得：
，又，
所以，整理得．
又，则，即.
因为为的平分线，且，
所以，则，
所以，可得，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，所以，
由正弦定理得.
18-1【基础】 【正确答案】 1、表格见解析，乡村家长、城镇家长中支持“免考”制度的频率分别为，
2、有超过的把握认为支持“免考”制度与家长类别有关系
【试题解析】 分析:
（1）根据题意完善列联表，进而可求频率；
（2）根据题中数据与公式求，并与临界值对比分析.
表格补充如下：



不支持
支持
合计
乡村家长(人)
60
40
100
城镇家长(人)
20
80
100
合计
80
120
200
所以乡村家长中支持“免考”制度的频率为，
城镇家长中支持“免考”制度的频率为 .
因为 ，
所以有超过 的把握认为支持“免考”制度与 家长类别有关系.
18-2【基础】 【正确答案】 1、0.9； 2、详见解析；
3、有，详见解析.
【试题解析】 分析:
（1）利用表格中的数据，求出收入不过1万的概率，根据概率和为1可得答案；
（2）把数据分类汇总可得列联表；
（3）计算卡方，根据结果与临界值的大小进行判断.
由所给数据可得，该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率的估计值为.
完成的列联表如下：

人均可支配年收入不超过1万元
人均可支配年收入超过1万元
总计

电商扶贫年度总投入不超过1000万元
8
32
40
电商扶贫年度总投入超过1000万元
2
58
60
总计
10
90
100
计算，有的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过1千万有关.
18-3【巩固】 【正确答案】 1、；
2、有99%的把握认为注射此疫苗有效
【试题解析】 分析:
（1）由取到“感染病毒”的小白鼠的概率为计算出，再依次计算即可；
（2）写出列联表，直接计算，和6.635比较即可判断.
由，解得，所以；
由（1）得列联表如下：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40
80
120
注射疫苗
60
20
80
总计
100
100
200
则，故有99%的把握认为注射此疫苗有效.
18-4【巩固】 【正确答案】 1、表格见解析，能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据题意完善列联表，根据表中数据求，并与临界值比较分析；
（2）根据分层抽样求每层抽取的人数，再结合古典概型运算求解.
预定旅游中，19－35岁年龄段的人数为：人，
18岁以下及36岁以上人数为人．
在所有调查对象中随机抽取1人，抽到不预订的旅游客群在19～35岁年龄段的人的概率为，
故不预订旅游客群19～35岁年龄段的人为：人，
18岁以下及36岁以上人数为人．
所以列联表中的数据为：

预订旅游
不预订旅游
合计
19～35岁
120
75
195
18岁以下及36岁以上
80
125
205
合计
200
200
400
，
则能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关．
按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，
其中在19－35岁年龄段的人数为，分别记为：A，B，C；18岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，b．
从5人中任取2人，则有：，共有10种情况
其中恰有1人是19－35岁年龄段的有：，共 6种情况，
故2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率为：．
18-5【提升】 【正确答案】 1、；
2、12.
【试题解析】 分析:
（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；
（2）设出男生人数，列出列联表，根据及均为整数即可求解.
从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件，
则.
设被调查的男生人数为,则被调查的女生人数为，则列联表为：

喜欢课外阅读
不喜欢课外阅读
合计
男生



女生



合计



若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则，
即，则，
因为均为整数，所以被调查的男生至少有12人.
18-6【提升】 【正确答案】 1、
2、列联表见解析，没有90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”
【试题解析】 分析:
（1）由题知25周岁以上的工人中日平均生产件数不足60件的工人有人，25周岁以下的工人中日平均生产件数不足60件的工人有人，进而根据古典概型列举求解即可；
（2）根据频率分布直方图完善列联表，进而根据独立性检验的思想求解即可.
解：由题知，25周岁以上的工人抽取人，其中日平均生产件数不足60件的工人有人，分别记为；
25周岁以下的工人抽取人，其中日平均生产件数不足60件的工人有人，分别记为；
所以，从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，共有共10种情况；
其中，至少抽到一名“25周岁以下组”工人的情况有，共7种，
所以，所求事件的概率为
解：由题知，25周岁以上的工人抽中日平均生产件数不少于80件的工人有人，少于80件的工人有人，
25周岁以下的工人抽中日平均生产件数不少于80件的工人有人，少于80件的工人有人，
所以，有如下列联表：

25周岁以上
25周岁以下
总计
生产技术能手
15
15
30
非生产技术能手
45
25
70
总计
60
40
100
所以，
所以，没有90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”.
19-1【基础】 【正确答案】 1、证明见解析 2、50
【试题解析】 分析:
（1）两边取倒数，再同时减2，根据等比数列的定义，即可证明.
(2)利用等比数列求和公式求和，再根据函数单调性，即可求解.
证明：由，可得，
又
故数列为等比数列.
由（1）可知，故.

令，易知随的增大而增大，，故满足的最大整数为50.
19-2【基础】 【正确答案】 1、；
2、证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）由，两式相除结合对数运算得，代入数值可得数列是常数列，即可得通项公式；
（2）不等式由裂项相消法求和放缩即可证.
，
所以，所以，
所以，即，
所以，
当时，，解得，
所以，所以数列是常数列，
所以，所以，
所以．
证明：因为，
所以

19-3【巩固】 【正确答案】 1、
2、证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）利用与的关系，整理数列的递推公式，根据构造法，可得通项，可得答案；
（2）写出数列的通项，利用裂项相消，可得，分奇偶两种情况，可得答案.
由，得．
∴，则．∴，
∴数列是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴．∵，
∴．
∵，
∴
∴

当为奇数时，．
当为偶数时，，是递增数列，∴．
综上得：．
19-4【巩固】 【正确答案】 1、
2、证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）利用得到递推公式，再构造等比数列求出通项公式；（2）等比放缩，证明不等式.
因为=-n.
所以=-n-1，
所以a1=1，an+1=3an+1，n∈N∗
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列.
所以，
所以；
即证明：23−1+232−1+⋯+23n−10)，
由已知得，，
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
.
当时，；当时，；时，.
所以的单调增区间是；的单调减区间是.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，
且当或时，.
所以的极大值为，极小值为，
又因为，
.
当且仅当，有三个零点，
所以，的取值范围为.
22-3【巩固】 【正确答案】 （1）在和上单调递增，在上单调递减．
（2）见解析
【试题解析】 分析:
（1）根据极值点的定义求，然后分析单调性
（2）分析单调性，根据的取值分类讨论
详解:
（1）时
，即，解得

当时，，当时，．又
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知， 时，单调递减，
当，单调递增，
要使函数有两个零点，则函数与直线有两个不同的交点．
①当时，或；
②当时，；
③当时，
22-4【巩固】 【正确答案】 1、；
2、单调增区间为，单调减区间为；
3、
【试题解析】 分析:
（1）求导，根据题意得，解得，再检验即可；
（2）由，令，得增区间，令得减区间；
（3）要使在上没有零点，只需在上或，又，只需在区间上，，进而转为研究函数最小值即可.
的定义域为，且．
∵在处取得极值，
∴，解得或（舍），
当时，，；
，，
∴函数在处取得极小值，
故．
．
令，解得；
令，解得，
∴函数的单调增区间为，单调减区间为．
要使在上没有零点，只需在上或，
又，只需在区间上，．
①当时，在区间上单调递减，则，
解得与矛盾．
②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
解得，
∴．
③当时，在区间上单调递增，
，满足题意，
综上所述，实数的取值范围是：．
点睛:
本题考查用由极值点求参数问题，用导数求函数的单调性，研究函数的零点问题．对函数零点问题，解题关键转化问题，要使在上没有零点，只需在上或，由于有函数值大于0，因此只要．结合（2）分类讨论确定函数的最小值，确定的范围．
22-5【提升】 【正确答案】 1、单调减区间为，单调增区间为
2、或
【试题解析】 分析:
（1）求导，因为函数再处取得极值，所以（1），解得，进而可得函数的解析式，再求导，分析函数的单调性．
（2）分类讨论，利用导数判断函数的单调性，根据函数的零点个数，确定函数的最值情况，从而求得答案.
，
，
因为函数在处取得极值，
所以，
所以，
所以，，
故当时，所以，函数单调递减，
当 时，，函数单调递增，
所以函数在处取得极小值，所以实数的值为2，
函数的单调减区间为，单调增区间为．
当 时，，而 ，此时函数无零点，不合题意；
当时，， ，
函数单调递减，
作出函数 的大致图象如图：

此时在的图象在 内有一个交点，即在有一个零点；
当时，，
当时，，函数递增，
当时，，函数递减，
故 ，
作出函数的大致图象如图

此时要使函数有1个零点，需使得，
即，解得 ，
综合上述，可知求a的取值范围为 或 .
点睛:
本题考查了利用导数求函数的单调区间以及函数零点问题，解答时要明确函数的单调性以及极值和导数之间的关系，解答的关键是分类讨论，利用导数判断函数单调性，确定函数零点有一个的处理方法.
22-6【提升】 【正确答案】 1、见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，从而可得函数的极值点，再根据函数的极值结合零点的存在性定理即可得出结论；
（2）求导，再分，和三种情况讨论，再根据极值点的定义结合题意列出不等式，从而可得出答案.
解：若，，
则，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减，
所以函数，
又，，
所以函数在上有且仅有一个零点，在上只有一个零点，在上仅有一个零点，
所以函数有3个零点；
解：，
当时，，
当时，，当时，，
所以函数的极小值点为，无极大值点，
所以符合题意；
当时，则，
若，则或，
当时，，
所以在上递增，
则函数无极值点，
所以不符合题意；
当时，，
所以在上递减，
则函数无极值点，
所以不符合题意；
当且，即或时，
令，则，
当时，则，
当或时，，
当时，，
所以函数的极小值点为，极大值点为，
因为函数大于零的极值点有且只有一个，
所以，无解，
当时，，
当或时，，
当时，，
所以函数的极大值点为，极小值点为，
因为函数大于零的极值点有且只有一个，
所以，解得，
综上所述，函数大于零的极值点有且只有一个，.
点睛:
本题考查了利用导数求函数的单调区间，极值及函数的零点，考查了根据函数的极值点问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量.