2022-2023学年福建省龙岩第一中学高二下学期第一次月考数学试题含答案

  龙岩一中2024届高二下学期第一次月考

数学试题

（考试时间：120分钟   满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知函数在处的导数为，则（    ）

A．1      B．2 C．        D．6

2．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）

A．                 B． 

C．                  D．

3．已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（    ）

A．米/秒 B．米/秒   C．米/秒 D．米秒

4．函数的图象大致为（    ）

A．B．C．D．

5．若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（    ）

A． B．  C．1 D．

6．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集

为（    ）

A．         B． C．        D．

7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知,则（    ）

A．     B．          C．            D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列函数的求导正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．已知，下列说法正确的是（    ）

A．在处的切线方程为     B．若方程有两个不相等的实数根，则

C．的极大值为                    D．的极小值点为

11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（    ）

A．-3 B．-2 C．-1 D．0

12．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（    ）．

A．函数在区间上单递减

B．和之间存在“隔离直线”，且k的最小值为

C．和之间存在“隔离直线”，且b的取值范围是

D．和之间存在“隔离直线”，且“隔离直线”不唯一

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．函数在点处的切线方程为____________．

14．函数，则________．

15．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________．

16．若函数在区间D上有定义，且均可作为一个三角形的三边长，则称在区间D上为“M函数”．已知函数在区间为“M函数”，则实数k的取值范围为_________________．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）

已知函数，，且．求：

(1)a的值及曲线在点处的切线方程；

(2)函数在区间上的最大值．

18. （12分）

已知函数在及处取得极值．

(1)求a，b的值；

(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．

19．（12分）

已知函数．

(1)当时，求函数的单调增区间．

(2)讨论函数的单调性．

20.（12分）

2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，

(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式；

(2)求出的最大值．

21．（12分）

已知函数为的导数.

(1)当时，求的最小值；

(2)当时，恒成立，求的取值范围.

22．（12分）

已知函数.

(1)若在有两个零点，求实数的取值范围；

(2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且.

龙岩一中2024届高二下学期第一次月考

数学试题参考答案

13．    14． 1    15．    16．

17．解:（1），解得：

故，

曲线在点处的斜率为，切线方程即 ...........5分 

（2）由（1）可知：，令，解得

故当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增；

区间内，当时取最大值，最大值为  ...........10分

18．解:（1）由题意得，函数在及处取得极值，

得，解得 .     

此时，.

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增.

所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. ...........6分

（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三个不同的实根，

由图象知，解得，所以实数c的取值范围是．...........12分

19．解:（1）函数的定义域为，

当时，，所以.

故当时， ，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增；

所以函数的单调递增区间有和；...........4分

（2）由可得：.

①当时， ，在上单调递增；...........6分

②当时，时，时，在上单调递增；

时，时，在上单调递减；

时， ，在上单调递增；............8分

③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增；...........9分

④当时，时，时，在上单调递增；

时，时，在上单调递减；

时， ，在上单调递增；............11分

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；...........12分

20．解（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交元，

所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：．...........5分

（2）∵，∴，

令，解得：或，而，则，...........7分

①当，即时，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，∴当时，取最大值；...........9分

②当，即时，当时，，单调递增，

∴当时，取最大值，...........11分

综上，   ...........12分

21．（1）由题意，，令，则，

当时，，，所以，从而在上单调递增，

则的最小值为，故的最小值1；...........4分

（2）由已知得当时，恒成立，令，，...........5分

①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数，

∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，

若，令 则，令，则，

令，则，∵在在内大于零恒成立，

∴函数在区间为单调递增，又∵，，，

∴上存在唯一的使得，∴当时，，此时为减函数，

当时，，此时为增函数，又∵，，

∴存在，使得，∴当时，，为增函数，

当时，，为减函数，又∵，，

∴时，，则为增函数，∴，∴恒成立，..........9分

②当时，在上恒成立，则在上为增函数，

∵，，

∴存在唯一的使，

∴当时，，从而在上单调递减，∴，

∴，与矛盾，...........11分

综上所述，实数的取值范围为. ...........12分

22．(1)解：令，，则，

23．因为在有两个零点，所以函数与的图象有两个不同的交点，

令，则，

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增，所以，

又当时，，当时，，所以；...........4分

(2)  证明：，故，

令，，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，...........6分

设为且，从而有两个零点和，

当或时，，当时，，

所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增，

从而存在唯一的极大值点，由，得， ...........8分

，

当且仅当，即时，取等号，

若，则，与题意矛盾，

故，所以取等不成立，所以得证，...........10分

又，在单调递增，

所以得证，...........11分

所以............12分