2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第一次质量检测数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第一次质量检测数学（理）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第一次质量检测数学（理）试题 一、单选题1．已知全集 ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为  A． B．或 C． D．【答案】D【详解】 ,所以阴影部分所表示的集合为 ,选D.2．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，故选：A3．下列函数f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是（    ）A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)【答案】C【分析】由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以逐个分析判断即可【详解】由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数.故选：C【点睛】此题考查函数的单调性的判断，解题的关键是掌握基本函数的单调性，属于基础题4．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减【答案】A【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（    ）A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里【答案】B【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B．6．如图，在四面体ABCD中，已知那么D在面ABC内的射影H必在 A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．内部【答案】A【详解】由可得，即平面内的射影必在平面与平面的交线上，故选A7．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.【详解】解：命题，使成立，故命题为真命题；当，时，成立，但不成立，故命题为假命题；故命题，，均为假命题，命题为真命题．故选：B．8．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】B【解析】对于①；②都是奇函数，而椭圆图像关于原点成中心对称，①②满足要求；对于③是偶函数，图像关于轴对称，若要满足条件，当时函数的图像要把椭圆在轴右侧部分平分，分析其图像不满足要求，即可得出结论.【详解】∵①为奇函数，作出其图象，由图可知能等分该椭圆面积；同理，②为奇函数，能等分该椭圆面积；③为偶函数，其图象关于轴对称，在轴右侧时，，时，故不能等分该椭圆面积.故选：B【点睛】关键点点睛：根据椭圆的对称性，函数图象的对称性，结合数形结合的思想，判定能否平分椭圆的面积，考查了函数的奇偶性，属于中档题.9．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果.【详解】由等比数列的性质可得：，，，成等比数列，则，即，解得：，，，解得：.故选：D.10．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.11．若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为A．-3 B．1 C． D．3【答案】B【详解】如图，，由于不等式组,表示的平面区域为，且其面积等于，再注意到直线与直线互相垂直，所以是直角三角形，易知，,;从而=，化简得：，解得,或，检验知当时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以;故选B.【解析】线性规划与三角形的面积. 12．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．13．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得： ，设A、B ，则所求三角形的面积为= ，故选D. 【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 14．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D         二、填空题15．已知，，则的最小值为______．【答案】3【分析】由得到，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】解：因为，由得，则，即；所以，；当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为：3．故答案为：316．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽     米.【答案】2米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（2，-2）代入，得m=-2，∴，代入B得，故水面宽为米，故答案为米．【解析】抛物线的应用 17．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．【答案】36π【详解】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得 ，解得r=3.球O的表面积为： .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.18．已知，，则______．【答案】5.【解析】直接利用两角和与差的正弦函数，展开已知表达式，求出，；然后得到结果.【详解】∵，∴．①∵，∴．②①+②，得．③①-②，得．④③÷④,得．故答案为：5【点睛】本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．属于基础题.19．数列满足，则数列的第2022项为___________.【答案】##0.2【分析】根据递推关系可通过计算前面，发现数列是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解.【详解】由，得，，，，，，故数列是周期为4的周期数列，故，故答案为：20．椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________.【答案】【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得：，再结合，整理可得离心率．【详解】已知，设，则，，，故①，∵，即②，②代入①整理得：，．故答案为：． 三、解答题21．已知在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】(1);(2) .【详解】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得．详解：(1)由题意及正、余弦定理得， 整理得，∴（2）由题意得，∴，∵， ∴，∴.           由余弦定理得，∴， ，当且仅当时等号成立． ∴．∴面积的最大值为．点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．22．已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立．（1）求数列的通项公式；（2）设，，当为何值时，数列的前项和最大？【答案】（1）若a1 =0, 若a1；（2）数列{lg}的前6项的和最大.【详解】(1)取n=1,得若a1=0,则s1="0," 当n若a1, 当n上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列综上，若a1 = 0, 若a1 （2）当a1>0,且所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）则 b1>b2>b3>…>b6=当n≥7时，bn≤b7=故数列{lg}的前6项的和最大【点睛】本小题主要考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力.23．已知过点且斜率为k的直线与圆：交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)，其中O为坐标原点，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求过点与圆的切线斜率，由题意，可得答案；（2）将直线方程与圆的方程联立，整理一元二次方程，写出韦达定理，利用数量积的值，建立方程，解得斜率，可得答案.【详解】（1）根据题意设方程为，即.∵圆的半径，∴圆心到切线的距离为，解得.即k的取值范围为.（2）将直线的方程代入圆的方程，得.设，，则，.∴.∴，解得或（舍去）.∴直线的方程为.故圆心在直线上，∴.24．设，分别是椭圆：的左右焦点.(1)设椭圆上的点到，两点距离之和等于，写出椭圆的方程；(2)设点P是（1）中椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及直线有关，并证明你的结论.【答案】(1)(2)的值与点P的位置无关，同时与直线无关，证明见解析 【分析】（1）根据椭圆定义可得，又点在椭圆上，代入椭圆方程联立即可得解；（2）根据椭圆的对称性可得两点M，N关于坐标原点对称，故，，，利用斜率公式同时结合椭圆方程，即可得解.【详解】（1）由于点在椭圆上，所以解得，故椭圆C的方程为（2）过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，设，，，由，，在椭圆上，可得，两式相减得又∵，，∴故：的值与点P的位置无关，同时与直线无关.