2022-2023学年辽宁省实验中学东戴河分校高二上学期10月月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省实验中学东戴河分校高二10月月考数学试题

一、单选题

1．已知i为虚数单位，复数，则z的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出复数z，再根据定义可求其共轭复数.

【详解】，故其共轭复数为，

故选：B.

2．若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用点和圆的位置关系列出不等式即可求解.

【详解】由题意可知，解得或a＞3，

则实数a的取值范围是，

故选：C.

3．如图，三棱锥中，，分别是，的中点，设，，，用，，表示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合向量线性运算即可求得

【详解】，分别是，的中点，.

故选：D.

4．台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过直线（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得点关于的对称点坐标，由此可得直线方程，将方程与联立即可求得点坐标.

【详解】点关于对称的点为，

直线的方程为：，即，

由得：，点的坐标为.

故选：B.

5．如图所示，在正方体中，O是底面正方形的中心，M是线段的中点，N是线段的中点，则直线与直线所成的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关各点的坐标，求出向量的坐标，计算，根据其结果即可求得答案.

【详解】以D为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为2，则,

∴，∴，

即，

∴直线与直线所成的角是,

故选：D

6．已知二面角的大小为，且面，的面积为3，则的面积为（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】B

【分析】根据已知条件判断为的投影，结合题设求其面积即可.

【详解】

由面，且二面角的大小为，

所以在面上的投影为，则.

故选：B

7．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】设.由重心坐标公式得的重心为，代入欧拉线方程可得，再求出边的垂直平分线的方程与联立可求出的外心坐标，再由点，到外心的距离相等列出关于的方程，然后解方程组可求得结果

【详解】设.由重心坐标公式得的重心为，

代入欧拉线方程得，整理得①，

边的中点坐标为，，

边的垂直平分线的方程为，即.

由，得

∴的外心坐标为，则，

整理得②，联立①②，解得或.

当时，点B，C重合，舍去.

∴顶点C的坐标是.

故选：A.

8．在四棱锥中，已知底面为矩形，底面，.若分别为的中点，经过三点的平面与侧棱相交于点.若四棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设，进而根据四点共面得存在实数使得，进而得，即为棱的三等分点靠近点，再将问题转化为边长为的长方体的外接球半径即可.

【详解】解：根据题意，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，

所以，，，

设，则，

因为经过三点的平面与侧棱相交于点，

所以四点共面，

所以存在实数使得，即，

所以，解得，

所以，即为棱的三等分点靠近点，

四棱锥的顶点均在球的半径与边长为的长方体的外接球半径相同，

因为边长为的长方体的外接球半径为，

所以四棱锥的外接球的半径为

故选：B

二、多选题

9．已知复数，且为纯虚数，，则（    ）

A． B．

C． D．的共扼复数为

【答案】AD

【分析】先由为纯虚数，，求出的值，然后逐个分析判断即可

【详解】由为纯虚数，得，且，

由，

得，且，得，

所以的共轭复数为，

所以AD正确，BC错误，

故选：AD

10．下列说法正确的是（    ）

A．方程与方程表示同一条直线

B．集合.可能是一个单元素集

C．平行直线和之间的距离为

D．平面内，点，到直线的距离都等于，则直线恰有4条

【答案】BD

【分析】对于A：由两个方程的几何意义直接判断；对于B：当r=0时，求出，即可判断；对于C：直接求出两平行线间的距离，即可判断；对于D：直接求出，到直线的距离相等的4条直线，即可判断.

【详解】对于A：方程表示经过点的直线，方程表示不含点的直线，即两条射线.故A错误；

对于B：当r=0时，为单元素集.故B正确；

对于C：可化为：与直线平行，所以两平行线间的距离为.故C错误.

对于D：要使点，到直线的距离相等，则直线或经过AB的中点.

当时，由，可设.

因为到直线的距离都等于，所以，解得：或；

当经过AB的中点时，由，可得：AB的中点.

若直线l的斜率不存在时，则点，到直线的距离都等于1，不符合题意，所以直线l的斜率存在，设其为k，则直线，

所以，解得：或.

所以这样的直线存在，且有4条.故D正确.

故答案为：BD

11．（多选）在三维空间中，叫作向量与的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①，，且，，三个向量构成右手系（如图所示）；②.在正方体中，已知其表面积为S，下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．与共线

【答案】ACD

【分析】运用新定义及空间向量的基本概念对选项一一判断即可得出答案.

【详解】设正方体的棱长为a，如图.

对于A，连接，因为为等边三角形，故，

连接，因为，，为等边三角形，

所以，故A正确；

对于B，根据定义，，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，因为，而平面，所以

，则平面，又平面，所以，

又，，，所以平面，

所以，结合外积的定义可知与共线，故D正确.

故选：ACD.

12．在直三棱柱中，，，点满足，其中，，则（    ）

A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，使的点不唯一 D．当时，有且仅有一个点，使得平面

【答案】BC

【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标，对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值，对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数，对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．

【详解】易知，点在矩形内部（含边界）．

对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；

对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．

对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，

则，，，则，，，所以或．故均满足，故C正确；

对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，若平面，则，所以，由知，此时不在线段上，故D错误．

故选：BC．

三、填空题

13．已知向量都是空间向量，且，则________.

【答案】

【分析】利用向量夹角公式、范围及已知求的大小.

【详解】由题设，

而，，

所以.

故答案为：

14．大约在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年，已知为原点，，若，则线段长的最小值为_____________

【答案】

【分析】依题意可得为以圆心，为半径的圆，求出，由计算可得；

【详解】解：依题意可得为以圆心，为半径的圆，

因为，

所以

故答案为：

【点睛】本题考查点与圆上的点的距离最值，属于基础题.

15．已知，动直线：过定点A，动直线：过定点，若直线与相交于点异于点A，，则周长的最大值为___________.

【答案】

【分析】由动直线的方程可得动点A，的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得的值，再由不等式的性质可得的最大值，进而求出周长的最大值.

【详解】解：因为动直线：过定点，

动直线：，整理可得，可得定点，

因为，

所以两条直线垂直，设交点为，则，

所以，

因为，当且仅当时取等号，

所以周长为，

故答案为：.

16．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响.在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常.某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷.将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图2），该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心.则直线与平面所成角的正弦值为______.

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量为.利用直线与平面所成角的正弦值为计算即可求出答案.

【详解】设与的交点为点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系

，，，.   

故.      

，

设平面的法向量为.

，

直线与平面的法向量的余弦值为：

则直线与平面所成角的正弦值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知空间三点、、，设，．

(1)若向量与互相垂直，求实数的值；

(2)若向量与共线，求实数的值．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可；

（2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.

【详解】(1)解：由已知可得，，

所以，，

，

由题意可知，

即，解得或.

(2)解：，

，

由题意，设，所以，，解得或.

因此，.

18．棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：

(1)求证：；

(2)求；

(3)求的长．

【答案】(1)证明见解析;

(2);

(3).

【分析】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可；

（2）求出的坐标，再根据即可求得答案；

（3）转化为求即可.

【详解】(1)解：如图，以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，

则,

因为，

所以，

所以，

故；

(2)解：因为，所以

因为，且,

所以；

(3)解：因为是的中点，所以

又因为，

所以,

.

即.

19．已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．

(1)求直线的方程；

(2)求直线：关于直线的对称直线的方程．

条件①：点关于直线的对称点的坐标为；

条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；

条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程.

（2）计算直线的交点，在直线上取一点，求其关于对称的点，根据交点和对称点得到直线方程.

【详解】(1)选择条件：

因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线．

因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为，

所以直线的方程为，即．

选择条件：

因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，

又直线过点，所以直线的方程为，即．

选择条件，

因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，

又直线过点，所以直线的方程为，即．

(2)，解得，故，的交点坐标为，

因为在直线：上，设关于对称的点为，

则，解得，

直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，

所以：关于直线的对称直线的方程为．

20．已知中，点，边所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为.

(1)求点和点的坐标；

(2)以为圆心作一个圆，使得，，三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由题意，设所求点的坐标，结合中点坐标公式，代入对应直线方程，解得答案；

（2）由题意，分别求点到的距离，比较大小，可得答案.

【详解】(1)设，，的中点，

由题意可得直线的直线方程：，则，解得，

，解得，故，.

(2)，，

，

由，则圆方程为.

21．在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足．

(1)若平面，求的值；

(2)求点到平面的距离；

(3)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值．

【答案】(1)；

(2)；

(3)或.

【分析】(1)连接ME，证明即可计算作答.

(2)以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点到平面的距离即可.

(3)由(2)中空间直角坐标系，借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.

【详解】(1)在三棱柱中，因，即点在上，连接ME，如图，

因平面面，面面，则有，

而为中点，于是得为的中点，

所以.

(2)在三棱柱中，面面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，

又为正方形，即，而平面，

以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，

依题意，，则，

，

设平面的法向量为，则，令，得，

又，则到平面的距离，

所以点到平面的距离为.

(3)因，则，，

设面的法向量为，则，令，得，

于是得，

而平面与平面所成角的正弦值为，则，即，

整理得，解得或，

所以的值是或.

【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.

22．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一．

（1）当圆弧E2F2（包括端点）上的点P与B1的最短距离为5时，证明：DB1⊥平面D2EF．

（2）若D1D2＝3．当点P在圆弧E2E2（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范围．

【答案】（1）见解析，（2）

【分析】（1）以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，可得，从而可证DB1⊥平面D2EF；

（2）设，则，所以，求出平面的法向量，而平面的一个法向量，设二面角的大小为，则先求出，从而可得，再由可得的范围.

【详解】（1）证明：作平面于，则在圆弧上，

因为，所以当取最小值时，最小，

由圆的对称性可知，的最小值为，

所以,

如图，以为原点，以的方向分别为轴，轴，

轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

,

因为，

所以,

因为平面，平面，,

所以DB1⊥平面D2EF，

（2）解：若D1D2＝3，由（1）知,

设，因为，

设

所以，

，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

取平面的一个法向量，

设二面角的大小为，显然是钝角，

则，

，

则，

所以二面角的正切值的取值范围为，

【点睛】此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.