2022-2023学年浙江省金华市永康三中教育集团九年级（下）第一次独立作业数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市永康三中教育集团九年级（下）第一次独立作业数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  肥皂泡的泡壁厚度大约是米，数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是(    )

A. 点数是奇数 B. 点数是的倍数 C. 点数大于 D. 点数小于

5.  若的半径为，圆心的坐标为，则平面直角坐标系的原点与的位置关系是(    )

A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定

6.  如图是一只茶壶，从不同方向看这只茶壶，你认为是俯视效果图的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知点与点关于轴对称，则代数式值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图，若，则该“风车”的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若根式有意义，则实数的取值范围是______．

12.  已知，，则______．

13.  已知一个圆锥的侧面积为，母线长为，则它的底面半径为        ．

14.  如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，平移的距离为        ．

15.  如图，在平行四边形中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，则的长为        ．

16.  随着“科学运动、健康生活”的理念深入人心，跑步机已成为家居新宠，某品牌跑步机如图的跑道可以旋转如图，图为跑道绕点旋转到位置时的侧面图，其中为显示屏，为扶手，点，，在同一直线上，为可伸缩液压支撑杆，、的位置不变，的长度可变化．
已知，，，则        ；
在的条件下，若，，，且、、恰好在同一直线上，则        ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
化简：．

19.  本小题分
如图，有一段斜坡长为米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为．

求坡高；
求斜坡新起点与原起点的距离精确到米．
参考数据：，，

20.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点、、、均在格点上在图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
如图， ______ ．
如图，在上找一点，使．
如图，在上找一点，连结、，使∽．
 

21.  本小题分
我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为，，，四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
扇形统计图中，______，等级对应的圆心角为______度；
小明是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选取人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．

22.  本小题分
如图，已知内接于，平分交于点，过点作的平行线分别交、的延长线于点、，连接．
求证：是的切线；
连接，若，圆的半径为，求的长．

23.  本小题分
如图，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线的绳子．解答下列问题：

两根等长立柱，的高度是______米；并求出绳子最低点离地面的距离．
因实际需要，在离为米的位置处用一根立柱撑起绳子如图，使左边抛物线的最低点距为米，离地面米，求的长．
将立柱的长度提升为米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为米，抛物线的顶点离地面距离为米，当时，求的取值范围．

24.  本小题分
如图，菱形中，，，点是射线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转到，连接、．
求证：；
如图，连接，，当与相似时，求的长；
当点关于直线的对称点落在菱形的边上时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
乘积是的两数互为倒数．，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查用科学记数法表示较小的数一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，等于原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数，据此解答。
【解答】
解：数字用科学记数法表示为，
故选：。  

3.【答案】 

【解析】解：、原式不能合并，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：奇数有，，共个，点数是奇数的概率为；
B.的倍数的数有，，点数是的倍数的概率为；
C.点数大于的数有共个，点数大于的概率为；
D.点数小于的数有，，，共个，点数小于的概率为；
，
发生可能性最大的是点数小于．
故选：．
分别计算各自概率后判断即可．
此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

5.【答案】 

【解析】解：圆心的坐标为 ，
，
，
原点在上．
故选B．
根据点坐标和勾股定理可计算出的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断它们的关系．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

6.【答案】 

【解析】解：由立体图形可得其俯视图为：．
故选：．
结合俯视图即从物体的上方观察进而得出其视图．
此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握三视图的观察角度是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
．
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

由题意得：
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
故选：．
过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象如图所示：
它与轴的交点坐标为，，
关于的一元二次方程的解为，，可以看作是直线与二次函数交点的横坐标，
由图象可知，；
，
故选：．
可以将关于的方程的解为，看作直线与二次函数交点的横坐标，而与轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求出与的取值范围，进而做出判断．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，根的判别式以及根与系数的关系，理清一元二次方程与二次函数的关系，将的方程的解为，的问题转化为二次函数与轴交点的横坐标，借助图象得出答案．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接．

由题意，四边形是正方形．
，
正方形的面积，
四边形的面积，
垂直平分，
，
，，
，
：，
，
：：，
，
，
“风车”的面积．
故选：．
“风车”的面积为面积的倍，求出的面积即可．
本题考查了全等三角形的性质定理，等腰直角三角形的性质等知识点，能熟记全等三角形的性质定理是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
本题考查二次根式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
根据平方差公式即可求出答案．
【解答】

解：，，，
．
故答案为．

13.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，
由题意得，，
解得，，
故答案为：．
设圆锥的底面圆半径为，根据扇形弧长公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

14.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
四边形是正方形，
，
，
设正方形沿轴向右平移，点落在边上的点处，
点与点的纵坐标相同，
，
把代入，得，
解得，
平移的距离是，
故答案为：．
设直线的解析式为，将，代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，得到直线的解析式为，再求出当时的值，即为平移的距离．
此题重点考查一次函数的图象与性质、正方形的性质、平移的性质等知识，正确地求出直线的解析式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，，
，
由作图知，平分，
，
，
，
，
，
过作于，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，，，根据角平分线的定义得到，过作于，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，掌握角平分线的定义、矩形的性质等知识是解题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：点在直线上，
，
，
，
，
如图，作，垂足为，

，
，，
，
，
，
在直角三角形中，，
，
．
故答案为：．
作于，于，

是等腰三角形，
，
且、、三点共线，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
根据补角性质可得，作，垂足为，再根据三角函数及勾股定理可得的长；
于，于，由等腰三角形性质及相似三角形的判定与性质得的长，最后根据平行四边形的判定与性质可得答案．
此题考查的是解直角三角形，能够掌握相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解决此题关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】分别根据绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：

． 

【解析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了整式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简和计算是解此题的关键．
 

19.【答案】解：在中，，
则，
答：坡高约为米；
在中，，
则，
在中，，
则，
则，
答：斜坡新起点与原起点的距离约为米． 

【解析】根据正弦的定义列式求出；
根据余弦的定义求出，根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：；
如图，点即为所求；

如图，点即为所求．
 

【解析】

【分析】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
证明∽，根据相似三角形的性质解答；
根据相似三角形的性质画出图形，作出点；
根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答．
【解答】
解：，
∽，
，
，，
，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

21.【答案】     

【解析】解：人，
人，
补全条形统计图如图所示：

故答案为：；
，
．
故答案为：；；
设除小明以外的三个人记作、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下：

共有中可能出现的情况，其中小明被选中的有种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以等级所占的百分比即可得出等级的人数，然后补全统计图即可；
用等级的频数除以总人数即可得出的值；用度乘以等级所占的比例即可；
用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
本题目考查了条形统计图与扇形统计图综合，掌握列表法或树状图法求概率是关键．
 

22.【答案】证明：连接．
平分，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：作直径，连接．
，
，
，
是直径，
，
，
设，则，
，
，
负根已经舍去，
． 

【解析】欲证明是切线，只要证明即可；
作直径，连接证明，推出，由，设，则，利用勾股定理构建方程求出即可．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴交与点，
，
两根等长立柱，，
，
，
抛物线顶点为最低点，
，
绳子最低点离地面的距离为：米；
故答案为：；米；
由可知，对称轴为，则，
令得，
，，
由题意可得：抛物线的顶点坐标为：，
设的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
抛物线为：，
当时，，
的长度为：米；
，
根据抛物线的对称性可知抛物线的顶点在的垂直平分线上，
的横坐标为：，
抛物线的顶点坐标为：，
抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
是关于的二次函数，
又由已知，在对称轴的左侧，
随的增大而增大，
当时，，
解得：，不符合题意，舍去，
当时，，
解得：，不符合题意，舍去，
的取值范围是：．
抛物线与轴交与点，得出，两根等长立柱，，得出；直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
利用顶点式求出抛物线的解析式，进而得出时，的值，进而得出的长；
根据题意得出抛物线的解析式，得出的值，进而得出的取值范围．
此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，正确表示出函数解析式是解题关键．
 

24.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：如图，

当点在的左侧时，此时≌，
，
如图，

当点在的右侧时，∽，
，
，
设，则，，
，
，舍去，
综上所述：或；
解：如图，

当直线过点时，点的关于的对称点是本身，是等腰直角三角形，
，
或，
当点在点处时，点关于的对称点是，此时，
如图，

当点关于所在的直线的对称点在上时，连接交与，直线交于，连接，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
综上所述：或或或或． 

【解析】证明≌，进一步得出结论；
当点在的左侧时，此时≌，可得；当点在的右侧时，∽，设，则，，根据列出方程，进而求得结果；
当直线过点时，点的关于的对称点是本身，可得或；当点在点处时，点关于的对称点是，此时；当点关于所在的直线的对称点在上时，连接交与，直线交于，连接，可推出．
本题考查了菱形性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类全面．