2023年广东省东莞市海德实验中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省东莞市海德实验中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，若，，则是(    )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

3.  如图，线段是的直径，弦，，则等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，四边形是菱形，，，于，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，，，若，则等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

9.  如图，中，，，的垂直平分线分别交，于，两点，连接，则        ．

10.  如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数为______．

11.  如图，在矩形中，、相交于点，若，，则矩形的面积        ．

12.  如图，测量河宽假设河的两岸平行，在点测得，点测得，又，则河宽为______结果保留根号．

13.  如图，是的外接圆，，，则的直径为          ．
 

14.  在中，，，那么以为圆心，        为半径的与相切．

15.  如图，在中，，，，点是上的一个动点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为          ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，虎门外语学校九班身高的班长，站在距路灯杆的点处，测得她在灯光下的影长为，求路灯的高度．

17.  本小题分
已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且求证：四边形是平行四边形．

18.  本小题分
如图，是的弦，是的中点，交于点，若，，求的半径．

19.  本小题分
如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．
求证：∽；
如果，，求的值．
 

20.  本小题分
如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
求证：≌；
若，，求的长．

21.  本小题分
虎门外语学校教师宿舍后面有一座山城，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得山坡坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，数学周老师从楼房顶测得点的俯角为．
求：
山城坡角；
教师宿舍的高度．

22.  本小题分
如图，是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且平分．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为平方单位，点的运动时间为．
当点与点重合时，        ；
当为何值时，≌；
求与的函数关系式；
以线段为边，在右侧作等边，当时，请直接写出点运动路径的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据边形的内角和为解答．设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．
【解答】
解：设这个多边形的边数为，则
，
解得，
故这个多边形为六边形．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：，，
，，
是等边三角形，
故选：．
根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．
利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案．
【解答】
解：线段是的直径，弦，
，
，
，
．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：连接，
则，，，
，，，
，
．
故选：．
连接，即可证明是直角三角形，利用正切函数的定义即可求解．
本题主要考查了正切函数的定义，正确证明是直角三角形是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出是解此题的关键．
根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解：四边形是菱形，

，，，
，，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
故选A．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了：、两直线平行，内错角相等；、三角形的外角与内角的关系；、全等三角形的判定和性质．根据平行线的性质可得，过点作交于于点，则≌，可得，在中，求出的度数，根据勾股定理解答．
【解答】
解：，
，
，
，
过点作交于于点，则≌，

，
，
．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：于点．
．
，．
．
．
，．
∽．
，即：．
．
．
．
故选：．
根据垂径定理求出可得的长度，利用∽，求出，即可求解．
本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出等于点到的距离是解题的关键．连接，设点到的距离为，然后根据求出，再根据正方形的性质求出即可．
【解答】
解：如图，连接，设点到的距离为，
则，
即，
，
，
正方形的边长为，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：中，
，，
．
垂直平分，
，．
．
故答案为：．
运用等腰三角形的性质求解．
此题考查了等腰三角形的性质，解答此题要两次运用等腰三角形两底角相等的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
故答案为：．
由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，，即可求解．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出的值，根据矩形的面积公式求出即可．
本题考查了矩形的性质，掌握等边三角形的判定、勾股定理等知识点的应用是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
在中，
．
故答案为：．
先根据三角形外角的性质求出的度数，判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出的值．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了圆周角定理的运用以及等腰直角三角形的性质．
连接，，利用圆周角定理得出是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为．
【解答】
解：如图，连接，，

，
，
是等腰直角三角形，
又，
，
的直径为，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：设点到的距离为，
，，，
，
，
，
解得，
当的半径为时，与相切，
故答案为：．
设点到的距离为，由，，，根据勾股定理求得，则，所以，则当的半径为时，与相切，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理、切线的判定、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求出斜边上的高是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
连接，取的中点，作直径为的，连接，，证明，说明点始终在上，再由在整个变化过程中，，当、、三点共线时，最最小值，求出此时的值即可．
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定取最小值时，、、的位置．
【解答】
解：连接，取的中点，作直径为的，连接，，
，
，
，，
，
是的直径，
，
点在上，
在的运动过程中，，且、、三点共线时等号成立，
当、、三点共线时，取最小值为．

故答案为：．  

16.【答案】解：如图：

由题意得：，，
，
，
∽，
，
，
解得：，
路灯的高度为． 

【解析】根据题意得：，，从而根据垂直定义可得，然后证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

17.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由，，利用，可判定≌，则可证得，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是关键．
 

18.【答案】解：如图，连接，

是的中点，
是弦的中点，
，，
，
在中，
，即，
．
即的半径为． 

【解析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．
本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的运用，做此类型题目通常需要结合圆心角、弦和三角形的相关知识来进行解答．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形．
，，
沿 折叠为．
，
，
又，
，
∽．
解：由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理求得，
，
∽，
，
即，
解得：，
． 

【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
由矩形的性质推知然后根据折叠的性质，等角的余角相等推知，易证得∽；
由勾股定理求得，得出，由∽，求得，由三角函数定义即可得出结果．
 

20.【答案】证明：
四边形，是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
四边形是正方形，，
，，
，，
，
，
，
． 

【解析】由正方形，正方形可得，，，后利用即可证明结论；
由则可得，后在中，利用勾股定理可得的长，进而求得的长．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

21.【答案】解：过点于点，
由坡度：，可知：，
．
答：山城坡角．
过点作于点，
由题意可知：，
米，米，
，
米，
由勾股定理可知：．
，
，
米，
米．
答：教师宿舍的高度米． 

【解析】由坡度即可求出．
过点作于点，由题知，，然后可求出、、等长度后即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理，含度或度的直角三角形的性质，本题属于中等题型．
 

22.【答案】证明：连接，如图：

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
证明：连接，如图：

是的直径，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即；
解：中，，，
，
，
由知，
中，，，
，
，
，
为的中点，
，，
中，，，
，
，
． 

【解析】连接，由平分，，可得，，从而可证是的切线；
连接，由是的直径，得，又，，可得，结合，即可得；
求出，，即可得，由为的中点，可得，，中，求出，再用勾股定理即得答案，．
本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线、圆周角定理、解直角三角形及勾股定理等知识，解题的关键是熟练应用圆的性质，转化相关角及线段．
 

23.【答案】 

【解析】解：与重合时，如图，

，
，
，
；
当时，
，
，
≌，
，
，
；
当时，
，
，
≌，
，
，
；
综上所述，的值为或；
时，如图，

在中，，
，
；
当时，如图，

，，
，
；
；
连接，如图，

为等边三角形，
，
在中，，
为定值，
点的运动轨迹为直线，
，
，
当时，，
当时，，
点运动路径长为．
由直角三角形的性质可得出答案；
分两种情况：当时，当时，由全等三角形的性质得出关于的方程，解方程可得出答案；
分两种情况：当时，当时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案；
连接，由直角三角形的性质得出为定值，则点的运动轨迹为直线，求出的长，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确进行分类讨论是解题的关键．