2022-2023学年黑龙江省大庆市肇源县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省大庆市肇源县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A. 戴口罩讲卫生 B. 勤洗手勤通风
C. 有症状早就医 D. 少出门少聚集

3.  当时，下列分式没有意义的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

5.  如果，，那么下列不等式成立的是．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，直线经过点，则不等式的解集为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  若能用完全平方公式因式分解，则的值是(    )

A.  B. 或 C.  D. 无法确定

8.  如图，▱的对角线与相交于点，点为的中点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在▱中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点作射线交于点则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，▱的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：；；；，其中成立的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  与的公因式是______．

12.  若关于的分式方程有增根，则的值为          ．

13.  如图，是的平分线，，垂足为，，则点到的距离是______．

14.  如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、若是等边三角形，则          
 

15.  不等式组的最小整数解是          ．

16.  由甲地到乙地的一条铁路全程为千米，火车全程运行时间为小时；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路的倍，汽车全程运行时间为小时，那么火车速度是汽车速度的______ 倍

17.  如图，第一象限内有两点，，将线段平移使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______．

18.  如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点点不与点重合，点，分别为，的中点，则长度的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
将下列各式因式分解
；
．

20.  本小题分
解不等式组：．

21.  本小题分
解方程：

．

22.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

23.  本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．
画出将向左平移个单位长度得到的；
画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
求线段在旋转过程中扫过的面积．

24.  本小题分
为加强校园阳光体育活动，某中学计划购进一批篮球和排球，经过调查得知每个篮球的价格比每个排球的价格贵元，买个篮球和个排球共用元．
求每个篮球和排球的价格分别是多少？
某学校需购进篮球和排球共个，总费用不超过元，但不低于元，问有几种购买方案？最低费用是多少？

25.  本小题分
黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多元，已知学校用元购买的科普类图书的本数与用元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？

26.  本小题分
如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数．

27.  本小题分
已知，如图，在平行四边形中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交，于点，，连接，．
求证：≌；
求证：四边形是平行四边形．

28.  本小题分
如图，等边的边长是，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和．
求证：；
求的长；
求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：等式左边不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.按照完全平方公式因式分解，符合因式分解定义，故此选项符合题意；
C.是整式乘法，故此选项不符合题意；
D.没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义判断求解．
本题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．

直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．寻找轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；寻找中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：、，当时，分式有意义不合题意；
B、，当时，，分式无意义符合题意；
C、，当时，分式有意义不合题意；
D、，当时，分式有意义不合题意；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：当的边长为腰时，三角形的三边长为：、、，满足三角形的三边关系，其周长为，
当的边长为腰时，三角形的三边长为：、、，满足三角形的三边关系，其周长为，
故选：．
分长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：：，，故此选项正确；
：，
，
，
故此选项错误；
：，，
，
故此选项错误；
：，，
，
故此选项错误；
故选：．
根据不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案．
此题主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱，准确把握不等式的性质是做题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：观察图象知：当时，，
故选：．
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：能用完全平方公式因式分解，，
，
解得：或，
故选：．
根据完全平方公式的结构特点即可得出答案．
本题考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特点是解本题的关键，即．
 

8.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
点是的中点，
是三角形的中位线，

故选：．
根据平行四边形的对角线互相平分可得，然后判断出是三角形的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
由题意可得，
，，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，基本作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，，
，，，
，，
平分，
，
且，
为等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，故错误；
，故正确；
，，
是的中点，
：：，
：：，
：：，
：：，
，故正确．
故选：．
结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由可判定，证明，可判定；由平行四边形的面积公式可判定；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定．
本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
与的公因式是，
故答案为：
根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，
故的值是，
故答案为
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：作于点，
是的平分线，，，
，
，
，
点到的距离是，
故答案为：．
作于点，由是的平分线，，，得，于是得到问题的答案．
此题重点考查角平分线的性质、点到直线的距离等知识，根据角平分线上的点到角两边的距离相等证明是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质得到．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，进而利用三角形外角的性质求出．
【解答】
解：垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．
【解答】
解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
则最小的整数解为，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：甲地到乙地的一条铁路全程为千米，火车全程运行时间为小时，
火车速度为，
甲地到乙地的公路全程为这条铁路的倍，汽车全程运行时间为小时，
汽车速度为，
火车速度是汽车速度的倍数为倍．
故答案为：．
根据路程除以时间等于速度分别表示出火车与汽车的速度，再用火车速度除以汽车的速度，即可得出答案．
此题考查了列代数式，用到的知识点是分式的乘除法和速度，读懂题意，列出代数式是解本题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：设平移后点、的对应点分别是、．
分两种情况：
在轴上，在轴上，
则横坐标为，纵坐标为，
，
，
点平移后的对应点的坐标是；
在轴上，在轴上，
则纵坐标为，横坐标为，
，
，
点平移后的对应点的坐标是；
综上可知，点平移后的对应点的坐标是或．
故答案为或．
设平移后点、的对应点分别是、分两种情况进行讨论：在轴上，在轴上；在轴上，在轴上．
此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接、，
在中，，，，，
，
点，分别为，的中点，
，
由题意得，当点与点重合时最大，最大值为，
长度的最大值为，
故答案为：．
连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，结合图形解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
由不等式得：，
由不等式得：，
不等式组的解集为． 

【解析】先分别求得每个不等式的解集，再求它们的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：两边乘，得到

，
经检验：是分式方程的解．
两边乘得到：
，
，
经检验：是分式方程的解． 

【解析】两边乘化为整式方程即可解决问题．
两边乘化为整式方程即可；
本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
 

22.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求，；

由勾股定理得，
线段在旋转过程中扫过的面积为． 

【解析】根据平移的性质即可画出图形；
根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点的坐标；
由勾股定理得，再代入扇形面积公式即可．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设每个篮球的价格为元，每个排球的价格为元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个篮球的价格为元，每个排球的价格为元．
设购进个篮球，则购进个排球，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
，，，
共有种购买方案，方案：购进个篮球，个排球；方案：购进个篮球，个排球；方案：购进个篮球，个排球．
方案所需费用元；
方案所需费用元；
方案所需费用元．
，
最低费用是元． 

【解析】设每个篮球的价格为元，每个排球的价格为元，根据“每个篮球的价格比每个排球的价格贵元，买个篮球和个排球共用元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进个篮球，则购进个排球，根据总价单价数量结合总费用不超过元但不低于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案，再利用总价单价数量求出各方案所需费用，比较后即可得出最低费用．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

25.【答案】解：设文学类图书平均每本的价格为元，则科普类图书平均每本的价格为元．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则科普类图书平均每本的价格为元，
答：文学类图书平均每本的价格为元，科普类图书平均每本的价格为元． 

【解析】首先设文学类图书平均每本的价格为元，则科普类图书平均每本的价格为元，根据题意可得等量关系：用元购进的科普类图书的本数用元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．
 

26.【答案】解：平分，，，
，
又平分，
，
． 

【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得；再根据角平分线的定义求出，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．
 

27.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
等角的补角相等，
又，
．
在与中，
，
≌；

四边形是平行四边形，
，
又由得，
，，
四边形是平行四边形． 

【解析】先根据平行四边形的性质可得出，，再根据平行线的性质及补角的性质得出，，从而利用可作出证明；
根据平行四边形的性质及的结论可得，，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

28.【答案】解：在中，
、分别为、的中点，
为的中位线，
，
，
．

，，
，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．

过点作于．

，，
，
，
． 

【解析】利用三角形中位线定理即可解决问题．
先求出，再证明四边形是平行四边形即可．
过点作于，求出、即可解决问题．
本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．