2023年湖南省湘西州凤凰县中考数学诊断试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023年湖南省湘西州凤凰县中考数学诊断试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省湘西州凤凰县中考数学诊断试卷（3月份）一、选择题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  据统计数据显示，年春节，凤凰古城接待游客人次，其中用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  初中生骑电动车上学存在安全隐患，为了解某初中个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查个家长，结果有个家长持反对态度，则下列说法正确的是(    )A. 调查方式是普查 B. 该校只有个家长持反对态度
C. 样本是个家长 D. 该校约有的家长持反对态度4.  若一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是(    )A.
B.
C.
D. 6.  下列图象中，表示正比例函数图象的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  不等式组的解集在数轴，上表示正确的是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是(    )
A.  B.  C.  D. 9.  已知二次函数的图象如图所示，下列结论；；；，其中正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）10.  若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．11.  分解因式：        ．12.  已知方程，则 ______ ．13.  如图，直线，，，则______．
 14.  一个不透明口袋里装有个小球，其中黑球个、白球个，除颜色外均相同，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黑球的概率是______．15.  人数相同的甲乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，，，则成绩较为稳定的班级是        ．16.  我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积这个公式也被称为海伦秦九韶公式若，，则此三角形面积的最大值为        ．17.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为______．
 三、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
计算：．19.  本小题分
先化简再求值：，其中．20.  本小题分
初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整．
如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人．
此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．21.  本小题分
图是一台手机支架，图是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测得，，，．
在图中，过点作，垂足为填空：        ；
求点到的距离结果保留小数点后一位，参考数据：，，，
22.  本小题分
某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为：：，且其单价和为元．
请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是个副，羽毛球拍的数量是篮球数量的倍，且购买乒乓球拍的数量不超过副，请问有几种购买方案？23.  本小题分
如图，为的直径，，为上的两点，，过点做直线，交的延长线于点，连接．
求证：是的切线．
若，，求劣弧的长．
24.  本小题分
综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接若在第四象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交直线于点．
求抛物线的表达式；
试探究抛物线上是否存在点，使有最大值？若存在，求出点的坐标和的最大值；若不存在，请说明理由；
连接，试探究是否存在点，使得以，，为顶点的三角形和相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
 2.【答案】 【解析】解：原式，故A错误．
原式，故C错误．
原式，故D错误．
故选：．
根据二次根式、整式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用二次根式以及整式的运算法则，本题属于基础题型．
 3.【答案】 【解析】解：、调查方式是抽样调查，故A不合题意；
B、该校调查样本中有个家长持反对态度，故B不合题意；
C、样本是个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故C不合题意；
D、该校约有的家长持反对态度，故D符合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 4.【答案】 【解析】解：设这个多边形是边形，
根据题意得，
解得，
这个多边形是边形．
故选：．
边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是，得到方程，从而求出边数．
此题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和为是解题关键．
 5.【答案】 【解析】解：从正面看有三列，从左到右依次有、、个正方形，图形如下：

故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
 6.【答案】 【解析】解：、不是正比例函数图象，故此选项错误；
B、是正比例函数图象，故此选项正确；
C、不是正比例函数图象，故此选项错误；
D、不是正比例函数图象，故此选项错误；
故选：．
根据正比例函数的图象是经过原点的直线解答即可．
此题主要考查了正比例函数的图象，关键是掌握正比例函数的性质．
 7.【答案】 【解析】解：由得，
由得，
则不等式组的解集为．
故选：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 8.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，，
，，
，
故选：．
由菱形的性质可得，，，再由直角三角形的性质得，则，然后由直角三角形斜边上的中线性质可求解．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 9.【答案】 【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴是直线，
，即，
，
抛物线与轴交点在正半轴，
，
，
故正确；
由图象可知，抛物线与轴左侧的交点在的右侧，
抛物线的对称轴为，
抛物线与轴右侧的交点在的左侧，
当时，，
，
，
故错误；
，，
，
，
故正确；
当时，是函数的最大值，
，
，
，
故正确；
正确的有，
故选：．
根据二次函数图象与性质，先判断，，即，，即可判断正确；根据图象得出时，即可得出，通过变形可判断错误；根据结合可以判断正确；根据时，是函数的最大值，可以判断正确．
本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】【分析】
根据二次根式，可得，然后解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．  11.【答案】 【解析】解：，
故答案为：．
直接利用提取公因式法进行因式分解即可．
本题主要考查了运用提公因式法因式分解，正确确定公因式是解答本题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：，
，
，
故答案为：．
直接移项、系数化为即可．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：延长交于点，如图所示：

因为，，
所以，
因为，
所以，
所以．
故答案为：．
根据平行线的性质，可以得到的度数，再根据三角形的外角和内角的关系，即可得到的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，运用平行线的性质，利用数形结合的思想解答．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意可得：透明的袋子里装有将个球，其中个白色的，
任意摸出个，摸到白球的概率是．
故答案为：．
根据概率公式即可得出答案．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 15.【答案】乙 【解析】解：，，，
，
成绩较为稳定的班级是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 16.【答案】 【解析】解：，，．
．
．
由，得，代入上式，得：．
设，当取得最大值时，也取得最大值．
．
当时，取得最大值．
的最大值为．
故答案为：．
由已知可得，，把代入的表达式中得：，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得的最大值．
本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
 17.【答案】 【解析】解：如图，，
平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，．
故答案为：．
确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于矩形的面积，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的矩形是解题的关键．
 18.【答案】解：原式

． 【解析】先化简并求出特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零次幂以及特殊的三角函数值是解决本题的关键．
 19.【答案】解：


，
当时，原式． 【解析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 20.【答案】   【解析】解：抽取的学生人数为：人，
扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：，
“良好”等级的人数为人，
故答案为：，
把条形统计图补充完整如下：

人，
参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人；
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有种，
选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
由“较差”等级的人数除以所占的百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由学校初三年级共有学生人数乘以样本中“良好”等级的人数所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有种，然后利用概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 21.【答案】 【解析】解：如图：

，
，
，
，
，
，
故答案为：；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
点到的距离约为．
根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 22.【答案】解：设篮球的单价为，则羽毛球拍的单价为，乒乓球拍的单价为．
，
解得，
；；，
答：篮球的单价为元，羽毛球拍的单价为元，乒乓球拍的单价为元；

设篮球的数量为，则羽毛球拍的个数为，乒乓球拍的数量为．，
解得，
或，
答：有种购买方案，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的数量分别为：，，或，，． 【解析】设单价比中的每一份为，表示出其单价，根据单价和可求得，进而求得相应单价即可；
关系式为：乒乓球拍的数量，总价，把相关数值代入求得合适的整数解的个数即可．
考查一元一次方程及二元一次不等式组的应用；得到所需关系式是解决本题的关键．
 23.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：为的直径，
，
，，
，，
，
的长 【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，得到，于是得到结论；
根据圆周角定理和弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 24.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则，
即，
解得：，
则抛物线的表达式为：；

存在，理由：
设的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
，故有最大值，
当时，的最大值为，此时，点；

存在，理由：
，，，为顶点的三角形和相似，
则
当为直角时，
则点、关于抛物线对称轴对称，
而抛物线的对称轴为，
则点；
当时，如下图：

过点作轴于点，
，
，
，
，
，
故直线的表达式为：，
联立抛物线表达式和上式得：，
解得：舍去或，
即点；
综上，点的坐标为：或． 【解析】用待定系数法即可求解；
求出直线的表达式为：，则设点，则点，得到，即可求解；
，，，为顶点的三角形和相似，则，再利用函数的对称性和一次函数的知识，分别求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，三角形相似和解直角三角形等知识，其中，要注意分类求解，避免遗漏．