中考数学复习中考冲刺压轴题题组训练四含答案

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(针对中考试题：选择题第10题，填空题第14题，解答题第23题)
1．★(4分)如图，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰三角形CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为( C )
A．2eq \r(3) B．4
C．6 D．8
2．★(5分)如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D.
(1)∠APB＝90°；
(2)当线段CP最短时，△BCP的面积为eq \f(12,5).
3．(14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＞0)的顶点为P，与x轴相交于点A(－1，0)和点B.
(1)若b＝－2，c＝－3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m(m是常数，1＜m＜3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
(2)若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF＋FE＋EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
解：(1)①点P的坐标为(1，－4)．
②当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，易得直线BP的解析式为y＝2x－6，
设点M(m，m2－2m－3)，则G(m，2m－6)，∴MG＝2m－6－(m2－2m－3)＝－(m－2)2＋1，
∴当m＝2时，MG取得最大值1，此时，点M的坐标为(2，－3)，点G的坐标为(2，－2)．
(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，0)，∴a－b＋c＝0，又3b＝2c，b＝－2a，c＝－3a(a＞0)，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2a－3a.∴y＝ax2－2a－3a＝a(x－1)2－4a，∴顶点P的坐标为(1，－4a)，∵直线x＝2与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为(2，－3a)，作点P关于y轴的对称点P′，作点N关于x轴的对称点N′，得点P′的坐标为(－1，－4a)，点N′的坐标为(2，3a)，当满足条件的点E，F都在直线P′N′上时，PF＋FE＋EN取得最小值，此时PF＋FE＋EN＝P′N′＝5.延长P′P与直线x＝2相交于点H，则P′H⊥N′H，如图．在Rt△P′HN′中，P′H＝3，HN′＝7a.∴P′N′2＝P′H2＋HN2＝9＋49a2＝25.解得a1＝eq \f(4,7)，a2＝－eq \f(4,7)(舍)．∴点P′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(16,7)))，点N′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(12,7))).∴直线P′N′的解析式为y＝eq \f(4,3)x－eq \f(20,21).
∴点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,7)，0))，点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(20,21))).