2022-2023学年浙江省湖州中学高一下学期3月第一次检测数学试题含解析

这是一份2022-2023学年浙江省湖州中学高一下学期3月第一次检测数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省湖州中学高一下学期3月第一次检测数学试题 一、单选题1．已知集合为虚数单位，，则复数A． B． C． D．【答案】C【详解】因为M∩N=｛4｝，所以选C.【解析】此题主要考查集合的概念、复数的概念、集合的运算和复数的运算，考查分析问题、解决问题的能力. 2．已知向量，且，则x＝（      ）A．9 B．6C．5 D．3【答案】B【分析】由，利用公式求解.【详解】解：因为向量，且，所以，解得x＝6.故选：B3．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则 的形状是A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】B【详解】试题分析：：∵，∴，即|AB|=|AC|．△ABC的形状是等腰三角形【解析】向量运算4．（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的乘法计算后可得正确的选项.【详解】由已知得．故选：D 5．设中边上的中线为，点满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由中线向量公式得到；由，利用线型运算得到，进而利用向量的减法运算得到结论.【详解】因为中边上的中线为，所以，因为，所以，所以，所以，所以．故选：.6．已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则.设，则，故，即的取值范围是.故选：A7．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)A．a km B． a kmC． akm D．2akm【答案】B【分析】先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．【详解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.故选:B.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．8．在中，，，则A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】因为，所以，则，即，即，即；由正弦定理，得，则；故选B.点睛：本题综合考查了三角恒等变形和正弦定理，其关键是由解三角形可想到将已知的正切间的关系转化为正弦、余弦间的关系，以便下一步利用正弦定理进行求解. 二、多选题9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（    ）A．，,若,则B．单位向量，，则C．若且，则D．若点为的重心，则【答案】AC【解析】利用向量共线的坐标表示即可判断A，将展开后结合即可判断B，向量数量积不满足消去律，可判断选项C，根据向量的线性运算及三角形重心的性质可判断选项D.【详解】对于选项A：因为，则，解得：，故选项A不正确；对于选项B：，所以，故选项B正确；对于选项C：根据向量的几何意义可知若且，则不一定成立，故选项C不正确；对于选项D：若点为的重心，取的中点，则，故选项D正确，故选：AC10．若，则复数在复平面内对应的点可能在（    ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】CD【分析】分与两种情况下得到余弦和正弦值的正负，得到答案.【详解】当时，，故复数在复平面内对应的点在第三象限，当时，，故复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：CD11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则的取值可以是（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】BCD【分析】结合正弦定理、三角恒等变换以及二次函数的性质来求得正确答案.【详解】.由正弦定理得，由于，所以，,即，所以BCD选项正确，A选项错误.故选：BCD12．在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（    ）A．若，则的面积是 B．若，则的外接圆半径是C．若，则 D．的最小值是【答案】ACD【分析】A、B、C选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D选项用角表示出结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断.【详解】因为，角的平分线交于，所以，，所以，，由正弦定理得，所以，所以，故A正确；因为，所以，设的外接圆半径是，由正弦定理，，所以，故B错误；因为，由正弦定理，因为和互补，所以，所以，故C正确；设，则，因为，所以若，则，若，则，令，，，当且仅当，即或时，则或，故或（舍去），综上：当为等边三角形时，的最小值是，故D正确.故选：ACD.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 三、填空题13．若复数是纯虚数，则实数a的值为__________．【答案】【分析】根据复数的乘法运算和纯虚数的定义求解.【详解】因为为纯虚数，所以解得，故答案为：.14．若,,,的夹角为，若，则的值为________．【答案】238 ## 2.875【分析】根据，结合平面向量数量积的定义可求出结果.【详解】由题意知, ，即，解得.故答案为：.15．在中，若，则____；【答案】【详解】试题分析：因为，所以．由正弦定理，知，所以＝＝．【解析】1、同角三角函数间的基本关系；2、正弦定理．16．在中，已知，，，则______．【答案】【分析】在上取点D，使，从而在中，，利用余弦定理解出各边长，从而求得【详解】由，知，；如图在上取点D，使，则，故，即设，则，在中，由余弦定理知，，因此，解得，所以，，由余弦定理知，故答案为：【点睛】关键点点睛：找到条件给的所在的三角形，利用余弦定理求得边长，从而求得角的余弦值. 四、解答题17．已知向量，，其中，．(1)求；(2)求与的夹角的余弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）计算出，再利用数量积公式求出答案；（2）在（1）的基础上，利用向量夹角余弦公式求出答案.【详解】（1）因为，，所以，．所以；（2）设与的夹角为，则．18．已知复数．（Ⅰ）当实数取什么值时，复数是纯虚数；（Ⅱ）当时，化简．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【详解】试题分析：（Ⅰ）复数的实部为0,虚部不为0．（Ⅱ）当时，．先将整理即分母两复数做加法,分子完全平方,之后再分母实数化即分子分母同乘以分母的共轭复数．试题解析：（Ⅰ）当时，解得， 即时，复数为纯虚数．  （Ⅱ）当时，， 19．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．(1)求A；(2)若，则的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)6 【分析】（1）由正弦定理，得到，再由辅助角公式求出答案；（2）由三角形面积公式求出，由余弦定理得到，从而得到，得到周长.【详解】（1）由正弦定理得，其中，故，因为，所以，故，即，所以，因为，所以，故，解得；（2）由三角形面积公式得，故，由余弦定理得，解得，故，解得，故，周长为6.20．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的单调递增区间．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，根据周期公式可得结果；（2）根据正弦函数的单调递增区间可得结果.【详解】（1），函数的最小正周期（2）由（1）知：当，又因为在上单调递增，在上单调递减，令，得∴函数在的单调递增区间为.21．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．(1)求的长度；(2)求的余弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先得到为等边三角形，结合中位线，由三角形相似得到；（2）先由余弦定理求出，得到，由相似知识求出，在中，由余弦定理求出，从而得到答案.【详解】（1）连接，则是的中位线，故，且，在中，，又，故是等边三角形，所以，因为∽，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得，解得，则，因为，所以，在中，由勾股定理得，因为∽，所以，解得，在中，由余弦定理得，因为，所以的余弦值为.22．在中，D为边上一点，且，．(1)若为平分线，且，求边的值；(2)若D为边中点，且，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)方法一：为平分线得，结合与余弦定理求解；方法二：利用角平分线结合正弦定理可得，，再根据余弦定理求解；方法三：取中点H，则，分别在和中分析求解即可.(2)方法一：利用正弦定理和两角和的余弦公式求解；方法二：利用同角三角函数的基本关系和的余弦公式求解.【详解】（1）解法1：（1）因为为平分线，所以，令，则，又，则由余弦定理得：，解得，故边．解法2：∵为角A平分线，∴记为角．则，，可得：．设，则，．在中，．在中，解得：，则.解法3：∵为角A平分线，可推得：．又，取中点H，则．在中，，，则，，∴．在中，，解得：．∴．（2）解法1： 分别过点B、C作的垂线，垂足分别为E、F，则．在中，，则，，因此．在中，，所以．所以．解法2： 记，，则由D为边中点可得的面积与相等，进一步可得：．又由已知，可得：，，∴，∴，∴，∴．