2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高三上学期9月月度质量检测数学试题含答案

★秘密·2022年9月28日16：00前

重庆市2022-2023学年（上）9月月度质量检测

高三数学

【命题单位：重庆缙云教育联盟】

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（    ）

A．     B． C．   D．

2．已知为偶函数，则实数（    ）

A．1 B．-1 C．0 D．

3．已知函数，则（    ）

A．的最小值为2 B．的图像关于y轴对称

C．的图像关于直线对称 D．的最小正周期为

4．西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建都．图为唐长安（西安古称）城示意图，城中南北向共有9条街道，东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐的街道把唐长安城划分成了108坊，各坊有坊墙包围．下列说法错误的是（    ）

A．从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条．

B．甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若二人选择互不影响，则二人从同一城门进城的概率为．

C．用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色（街道忽略），要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有60种不同的染色方法．

D．若将街道看成直线，则图中矩形区域中共有不同矩形150个．

5．已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为，则（    ）

A．2 B． C． D．

7．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．若x，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9．类比三角函数的定义，把角的终边与双曲线交点的纵坐标和横坐标分别叫做的双曲正弦函数、双曲余弦函数．已知，下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．若直线（c为常数）与曲线共有三个交点，横坐标分别为，则

10．已知函数则（    ）

A．是的切线 B．是的切线

C．是的切线 D．是的切线

11．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（    ）

A．

B．存在时，使得

C．给定正整数，若，，且，则

D．设方程的三个实数根为，，，并且，则

12．已知点P为正方体内及表面一点，若，则（    ）

A．若平面时，则点P位于正方体的表面

B．若点P位于正方体的表面，则三棱锥的体积不变

C．存在点P，使得平面

D．，的夹角

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.

14．设函数，若函数存在最小值，则的一个取值为的最大值为___________.

15．写出一个与向量的夹角为75°的向量___________.（答案不唯一，写出一个即可）

16．已知矩形中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为，点P在边上，点A关于的对称点为，若点到直线的距离为4，则点的坐标可能为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知函数.

(1)求的周期；

(2)将函数的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.

18．从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照，，，，分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；

(2)若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，求的分布列并求数学期望；

(3)用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在的数据组成新样本组A，其方差记为，把时间段在的数据组成新样本组B，其方差记为，原来600个样本数据的方差记为，试比较，，的大小（结论不要求证明）.

19．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．

(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；

(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．

20．在直角坐标系中，椭圆与直线交于M，N两点，P为MN的中点．

(1)若，且N在x轴下方，求的最大值；

(2)设A，B为椭圆的左、右顶点，证明：直线AN，BM的交点D恒在一条定直线上．

21．如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．

(1)证明；平面；

(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值．

22．已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．

★秘密·2022年9月28日16：00前

重庆市2022-2023学年（上）9月月度质量检测

高三数学答案及评分标准

【命题单位：重庆缙云教育联盟】

1．B  2．B  3．C  4．C  5．A

6．C

【详解】因为与互为反函数，故图像关于对称，

设一条切线与两个函数图像分别切于两点，且两条切线交点为，

如图，

设，则，即，解得或-3（舍去），

故，易求得曲线的斜率为2的切线方程为，

故曲线的斜率为2的切线方程为，

的斜率为2的切线方程为，故曲线的斜率为2的切线方程为，

所以，则，则.故A，B，D错误.

故选：C.

7．A

【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.

故选：A.

8．C

【详解】设，则（不恒为零），

故在上为增函数，故，所以，故在上恒成立，

所以，但为上为增函数，故即，

所以C成立，D错误.取，考虑的解，

若，则，矛盾，故即，此时，故B错误.

取，考虑，若，则，矛盾，

故，此时，此时，故A错误，

故选：C.

9．BCD   10．ABD

11．ACD

【详解】

，A对

令，则，，则，B错；令，其中，

，即∴

由可得

，即，∴∴，C对；

令，，，，即，即

∵，∴或或，令，，，，

∴的根都在，∴，，

，D对

故选：ACD.

12．AD

【详解】解：在正方体中，，平面，平面，

所以，又，平面，所以平面，

又，所以点在平面上（包括边界），

又，平面，平面，所以平面，

同理可得平面，，平面，所以平面平面，

因为平面，平面，所以平面，

又平面平面，所以，即位于正方体的表面，故A正确；

对于B，设到平面的距离为，则

显然当和（不包括点）时不一样，则三棱锥的体积不一样，故B错误；

如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，

所以，，，所以，，即，，，平面，所以平面，

若平面，则，显然在平面上（包括边界）不存在点，使得，故C错误；因为设，，，所以，即，

又，所以，，，

设所以，的夹角为，则，

当时，，当时，因为，所以，

所以，所以，因为，所以，综上可得，故D正确；

13． 63   14．4

15． （答案不唯一）

【详解】解：，

设，所以，令，解得，故答案为：

16． ，，

【详解】依题意，点，直线：，而点P在边上，则直线的斜率或OP在y轴上，设点，由点到直线的距离为4，得，即或，

又点A关于的对称点为，则，即，

当时，或，若，有，点与A的中点在直线上，此时直线斜率，符合题意，则，

若，有，点与A的中点在直线上，此时直线斜率，不符合题意， 当时，或，若，有，点与A的中点在直线上，此时直线斜率，符合题意，则，若，有，点与A的中点在直线上，此时直线斜率，符合题意，则，所以点的坐标可能为，，.故答案为：，，

17．

（1）解：

，……4分

所以的周期；…………………………………………………………………………5分

（2）解：将函数的图象向右平移个单位，可得，

再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，

所以，…………………………………………………………………………8分

因为，所以，

所以，所以，所以，

所以在上的值域为.………………………………………………………………10分

18．

(1)

平均数等于，………………………………………………1分

前3组频率和，加上第4组得，

所以75百分位数：；………………………………………………………………3分

(2)

由题可知“预期合格”的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，则服从二项分布，

的分布列为：

………………………………………………………………………………………………………………6分

.……………………………………………………………………………………9分

(3)由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以，而这两组数据相比整体数据都要集中一些，所以.………………………………………………………………12分

19．

（1）

如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线．……………………4分

（2）

如图，设抛物线C的焦点为F，则，…………………………………………………………6分

∵城镇P位于点O的北偏东30°处，，∴，……………………………………8分

根据抛物线的定义知，公路总长．………………10分

当与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为．…………12分

20．

(1)设，．

（1）记l的倾斜角为，OP的倾斜角为，则．

由得，则……………………………………3分

所以，于是．故．……………………4分

所以，

当且仅当，即时，取到“=” ．

所以的最大值为．……………………………………………………………………6分

(2)易知，．由题意知，，

所以直线AN的方程为，……………………………………………………8分

直线BM的方程为．…………………………………………………………9分

令，

解之得…………………………………………10分

…………………………12分

所以点D恒在定直线上．

21．

（1）

连接，C为圆O的直径AB所对弧的中点，……………………………………………2分

所以△为等腰直角三角形，即，

又在圆上，故△为等腰直角三角形，

所以且，又是母线且，则，

故且，则为平行四边形，…………………………………………4分

所以，而面，面，

故平面.…………………………………………………………………………………6分

（2）由题设及（1）知：、、两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，

过作，则为的中点，再过作，连接，

由圆，即圆，圆，则，又，则，

故二面角的平面角为，而，

所以.……………………………………………………………………8分

……………………………………………………9分

则，，，，

所以，，，……………………………………10分

若为面的一个法向量，则，令，则，

，故与平面所成角的正弦值.……………………12分

22．

（1）解：当时，，

，…………………………………………………………2分

当时，，，所以，即在上单调递增，………………4分

当时，，，所以，即在上单调递减，………………5分

则的单调递增区间为，单调递减区间为.…………………………………………6分

（2）解：因为，

则，………………………………………………7分

①当时，即时，因为，，，

所以，因此函数在区间上单调递增，

所以，不等式在区间上无解；……………………9分

②当时，即时，当时，，，

因此，所以函数在区间上单调递减，

，不等式在区间上有解．……………………11分

综上，实数的取值范围是．…………………………………………………………………12分