中考培优竞赛专题经典讲义 第11讲 最值问题之构造与转化

第11讲  最值问题之构造与转化

转化是数学解题中的常用方法，一般可分为两类，一类是具体的转化，即通过定理或者性质将条件转化和结论转化；另一类是思维转化，这类一般对学生思维要求较高！

【例题讲解】

例题1、求的最小值为______________.

【解析】      将代数问题转化为几何问题

如图1，线段AB=4，ACAB，BDAB，AC=2，BD=1

转化为求CP+PD的最小值

当C、P、D共线时最小，即为线段CD的长度

例题2、如图，在边长为8的正方形CDEF中，A、B分别在边EF和CF上，点A为EF的中点，FB=3，连接AB，点P为AB上一动点，过点P分别作ED和DC的垂线，垂足分别为M、N，求四边形PMDN面积的最大值.

【解析】   将几何问题转化为代数问题

思考用一个未知数来表示出PM和PN的长度

可以选择设PG=x，则FH=x，PN=8-x，BH=3-x

利用△BHP∽△BFA，易得PH==4-x

所以PM=4+x，所以=（8-x）（4+x）=（0≤x≤3），

所以当x=时，四边形PMDN面积取得最大值为.

例题3、如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心、OA长为半径作⊙O，点M在⊙0上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围是__________________.

【解析】

基本方法为：利用构造双子型将CA转化

以AB为边向下作等腰Rt△ABD，连接DM

△MBC与△DBA均为等腰直角三角形

MB=BC，BD=AB，∠MBC=∠DBA=90°

∠MBC+∠ABM=∠DBA+∠ABM

∠MBD=∠CBA

△ABC≌△MBD

AC=MD

点M在圆上运动，

DM的最小值为OD-r；DM的最大值为OD+r

在Rt△OBD中，可计算出OD=5

所以DM的最小值为4，DM的最大值为6

4≤AC≤6

例题4、如图，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，点P为AB边上一动点，连接CP，过点P作PMCP，交BC于点M，则BM的最大值为____________.

【分析】要求BM的最大值，发现点M随着点P的运动而运动，反过来思考，一个点P对应一个点M，那么也可以由点M来确定点P，所以本题的问题就转化为“在BC边上找一点P，使得∠MPC=90°，接下去利用圆的知识解决，只需考虑临界情况，即以MC为直径的圆恰好与AB相切时，CM最小，即BM最大。

【解析】

如图，设PO=OC=r，BO=5-r

在Rt△BOP中，sin∠PBO=sin∠ABC=

  ，解得r=

  MC= 2r =，BM=

例题5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（-4，0）、B（0，4），⊙0的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________.

【提示】P、Q两点均为动点，连接OP、OQ，根据勾股定理的转化，PQ的最小值转化为OP的最小值。

例题6、如图，⊙O的直径为4，C为⊙0上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为________________.

【提示】利用三角函数用CP来表示CD的长，于是问题转化为求CP的取值范围.

例题7、问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值.

尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD≌△BCP，，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD.

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为            .

自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为           .

拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值.

答案：(1)如图1，连结AD，∵AP+BP=AP+PD,要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，∴AD=，AP+BP的最小值为,故答案为；

(2)如图2，连接CP,在CA上取点D,使CD=，∴CD：CP=CP：CA=1：3，∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PD：AP=1：3，∴PD=AP，∴AP+BP=BP+PD，∴同(1)的方法得出AP+BP的最小值为BD=.故答案为：；

(3)如图3，延长OA到点E，使CE=6，∴OE=OC+CE=12，连接PE、OP，∵OA=3，∴OA：OP=OP：OE=1：2，∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴AP：EP=1：2，∴EP=2PA，∴2PA+PB=EP+PB，∴当E. P、B三点共线时,取得最小值为：BE=.

例题8、如图，己知y=x2+x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点，现一直线经过B、C两点，点P为BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，求PQ的最大值.

【解析】

问题为求点P到线段BC距离最大值，连接PC、PB，即为求△PBC内BC边上的高的最大值，B、C两点为定点，所以线段BC长度不变，所以只需使得△PBA面积最大即可！

【巩固练习】

1、如图，⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为                 。

2、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为         。

3、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），若直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为        。

4、如图，在直角坐标系中，己知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为           。

5、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），OA的半径为2，点P是⊙A上一动点，以OP为边作等腰Rt△OPQ（Q点在第二象限），则AQ的最小值为         。

6、如图1，抛物线y=ax2+(a+3)x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0<m<4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M.

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；

（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为（0°<<90°），连接E'A、E'B，求E'A+E'B的最小值.

1. 答案：
2. 答案：
3. 答案：24
4. 答案：7.2
5. 答案：
6. 解答：(1)令y=0,则ax2+(a+3)x+3=0，∴(x+1)(ax+3)=0，∴x=−1或，∵抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0)，∴−3a=4，∴a=.∵A(4,0),B(0,3)，

设直线AB解析式为y=kx+b,则b=3，4k+b=0，解得k=，b=3，∴直线AB解析式为y=x+3.

 (2)如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴PN：AN=6：5， ∵NE∥OB，∴AN：AB=AE：OA，∴AN=(4−m)，∵抛物线解析式为y=x2+x+3，∴PN=m2+m+3−(m+3)= m2+3m，∴m=2.

 (3)如图2中,在y轴上取一点M使得OM=，∵OE′=2,OM⋅OB=×3=4，∴OE′2=OM⋅OB，∴OE′：OM=OB：OE′,∵∠BOE′=∠MOE′，∴△MOE′∽△E′OB，∴ME′：BE′=OE′：OB=2：3，∴ME′=BE′，∴AE′+BE′=AE′+E′M=AM′，此时AE′+BE′最小,最小值=AM=.