中考培优竞赛专题经典讲义 第25讲 轨迹问题之其他轨迹

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第25讲 轨迹问题之其它轨迹【例题讲解】例题1.如图,点A在反比例函数y=(x<0)的图象上,点B在反比例函数y=(k>0)的图象上，且∠AOB=90°,∠A=30°,则k的值为            .【分析】当点A在反比例函数上运动时，本题直接给出了点B也在反比例函数上运动，遇见直角顶点在一条线上，自然想到一线三等角构造相似.【解析】过点A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D,易证△ACO∽△ODB.∵∠A=30°, ∴∴△ACO与△ODB的相似比为：1.       ∴△ACO与△ODB的面积比为3：1∵S△ACO＝×6＝3∴S△ODB＝1,k=2例题2.如图,已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边△ABC,点C在第四象限.随着点A的运动,点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=(k<0)上运动，则k的值是           . 【分析】这题也直接说明了点C在反比例函数上运动,由于反比例函数关于原点中心对称， 所以OA=OB，所以当我们把OC连起来后，就会发现，和例题1基本是一样的【解析】解：“双曲线y=关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称.∴OA=OB.连接OC，如图所示.∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB.∠BAC=60°.∴tan∠OAC＝.∴OC=OA.过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA.∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=60°－∠FOC=∠OCF.∴△AEO∽△OFC.且相似比为1：∴△AEO与△OFC的面积比为1：3∵S△AEO＝×2＝1∴S△OFC＝3,且反比例在二、四象限∴k=－6例题3.如图,⊙P在第一象限,半径为3.动点A沿着OP运动一周,在点A运动的同时,作点A关于原点O的对称点B,再以AB为边作等边三角形△ABC,点C在第二象限,点C随点A运动所形成的图形的面积为(       ) A.        B.       C.         D. 【分析】根据前面几题的铺垫,我们可知主动点(A)形成的图形与从动点(C)形成的图形是相似的,所以点C形成的图形也是一个圆。【解析】解:如图所示，点C随A运动所形成的图形为圆，可得OC=OA，OC=OA'，∴CC'=OC'－OC=(OA'－OA)= AA'=6，∴点C随点A运动所形成的圆的面积为×(3)2＝，故选B.  
【巩固训练】1.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数y1=的图象经过点A,反比例函数y2=的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是(     )A.m=－3n        B.m=n      C.m=n        D.m=n 2.如图,△ABC在第一象限,其面积为16.点P从点A出发,沿△ABC的边从A—B—C—A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边三角形PQM,点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为            .
参考答案答案：A答案：48