中考培优竞赛专题经典讲义 第28讲 存在性问题之平行四边形

第28讲 存在性问题之平行四边形

此类问题一般从平行四边形的性质着手

①对边平行且相等构造全等；

②对角线互相平分利用中点公式.

【例题讲解】

例题1.如图,一次函数y=x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=－x2+bx+c过A、B两地，

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.

解:(1)∵y=x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,

∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0),

将x=0,y=2代y=－x2+bx+c得c=2.

将x=4,y=0代y=－x2+bx+c得0=－16+4b+2,解得b＝.

∴抛物线解析式为:y=－x2+x+2;

(2)如答图1,设MN交x轴于点E,

则E(t,0),BE=4－t,tan∠ABO=,

ME=BE·tan∠ABO=(4－t)×==2－t

又N点在抛物线上,且xN=t,yN=－t2+t+2

MN=yN－ME=－t2+t+2－(2－t)=－t2+4t

当t=2时,MN有最大值4.

(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5)

以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形,如答图2所示：

(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a)

由AD=MN,得|a－1| =4,解得a1=6,a2=－2,

从而D为(0,6)或D(0,－2),

(i i)当D不在y轴上时,由图可知D3为D1N与D2M的交点,

易得D1N的方程为y=x+6,D2M的方程为y=x－2

由两方程联立解得D为(4,4)

故所求的D点坐标为(0,6),(0,－2)或(4,4).

【单动点】

例题2.在直角坐标系中，已知A(－2,4),B(2,2),C(1,－1),当A、B、C、D四点组成的四边形为平行四边形时,求点D的坐标.

【分析】我们知道,平行四边形的对角线互相平分,所以我们可以利用这个性质几何中点公式来解决这类问题.

中点公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点坐标为(,).

【解析】如下图,当BD与AC为对角线时,BD与AC互相平分,所以AB的中点即为BD的中点,根据A、C坐标可计算出M点的坐标为(,),再根据BD的中点也为M(,)，即可算出D1(－3,1)，同理可计算出D2(－1,7),D3(5,－3).

【总结】我们可以把过程再简单化一点,我们发现,在算D1时,利用中点公式均需要除2,所以为了方便快捷,直接省略这一步,所以就是A点、C点的横坐标相加=B点、D1点的横坐标相加(即xA+xC=xB+xD1),记住这个方法，连图都不用画了！

【双动点】

例题3.在直角坐标系中,已知有一条直线y=x+3,A(0,1),B(1,0),在直线上y=x+3找一点C,x轴上有一点D,当以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时,求点D的坐标.

【分析】本题中有两个不确定的点,点C和点D,根据上一例题,我们只需将双动点转化为单动点,这个问题就可以解决了.

【解析】设C(m,－m+3),根据上一例题讲述的中点法,即可把三个点D都用m表示出来,分别为D1(1－m,m－2），D2(m－1, m+4),D3(m+l,m+2),因为点D在x轴上，所以纵坐标为0，即可算出m.

【巩固训练】

1.如图,已知△ABC的三个顶点坐标为A(－2,3)、B(－6,0)、C(－1,0).

(1)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A'的坐标          ；

(2)请直接写出:以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标            .

2.如图,已知抛物线y=x2－4x+3与x轴交于A、B,顶点为C.

(1)对于任意实数m,点M(m,－2)是否在该抛物线上？请说明理由；

(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；

(3)已知点D在x轴上,那么抛物线上是否存在点P,使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

3.如图,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,且A点坐标为(－3,0),经过B点的直线交抛物线于点D(－2,－3).

(1)求抛物线的函数关系式和直线BD的函数关系式；

(2) 过x轴上的点E(a,0)(E点在B点的右侧)作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDEF是平行四边形？如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由。

4.如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A、B两点,且B点的坐标为(3,0),经过A点的直线交抛物线于点D(2,3).

(1)求抛物线的解析式和直线AD的解析式；

(2)过x轴上的点E(a,0)作直线EF∥AD,交抛物线于点F,是否存在实数a,使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由.

参考答案

1.解:D(－5,－3)或(－7,3)或(3,3).

2.解: (1)假设存在,则将M点的坐标代入抛物线得:－2=m2－4m+3,化简得方程:m2－4m+5=0,因为△=(－4)2－4×5=－4<0,所以该方程无解,故对于任意实数m,点M(m,－2)不在抛物线上.

(2)如图所示,过点C作CH⊥x轴,交x轴与点H,连接CA、CB.

抛物线的表达式为y=(x－2)2－1,

所以抛物线与x轴的交点的坐标为A(1,0)和B(3,0),

抛物线的顶点坐标为C(2,－1),以H点的坐标为(2,0).

因为tan∠HAC==1,tan∠HBC==1,

所以∠BAC=∠ABC=45°,AC=BC,那么∠ACB=180°－∠CAB－∠CBA=90°,

故△ACB为等腰直角三角形.

(3)存在.若BD为平行四边形的边,则BD∥CP,因为C为抛物线上的顶点,所以抛物线上不存在点P使得CP∥x轴,即BD不能作为该平行四边形的边。若BD为平行四边形的对角线,因为平行四边形对角线互相平分,所以CP被x轴平分,因为C(2,－1),所以P的纵坐标为1,代入抛物线解析式得:1=x2－4x+3,解得:x1=2+或x2=2－.

故P点的坐标为:(2+,1)或(2－,1)

3.解:(1)将点A和点O的坐标代入二次函数表达式得: ,②－①得:b=2,

将b=2代入①得:c=3,故抛物线解析式为y=x2+2x－3,故当y=0时,即(x+3)(x－1)=0,

根据题意知,xB=1,即点B的坐标为(1,0).

设直线BD的解析式为y=kx+m,将点B和点D的坐标代入得:

①－②得:3k=3,解得:k=1,将k=1代入①得:m=－1,故直线BD的解析式为y=x－1.

(2)因为EF∥BD,所以直线EF的解析式为y=x－a,因为四边形BDFE为平行四边形,

所以DF∥x,故点F的纵坐标为－3。当y=－3时,x=a－3,故点F的坐标为(a－3,－3)。

因为点F在抛物线上,所以(a－3)2+2(a－3)－3=－3,整理得:a2－4a+3=0,即(a－1)(a－3)=0,

解得:a1=1。此时点E与点B重合,舍去;a2=3,此时点E的坐标为(3.0),符合题意,

故存在a=3使四边形BDFE为平行四边形.

4.解:(1)把点B和D的坐标代入y=－x2+bx+c,得解得b=2,c=3.

∴拋物线的解析式为y=－x2+2x+3,当y=0时－x2+2x+3=0.解得x=3或x=－1.

∵B(3,0),∴A(－1,0).

设直线AD的解析式为y=kx+m(k≠0).

把A和D的坐标代入得解得k=1,m=1.

∴直线AD的解析式为y=x+1.

(2)分两种情况①当a<－1时，∵DF∥AE且DF=AE，∴F(0,3)

∵AE=－1－a=2,∴a=－3.

②当a>－1时,显然F应在x轴下方,EF∥AD且EF=AD.

设F(a－3,－3),－(a－3)2+2(a－3)+3=－3,解得a=4±

综上所述满足条件的a的值为－3或4±.