中考培优竞赛专题经典讲义 第32讲 几何三大变换之旋转

第32讲 几何三大变换之旋转

旋转的性质

【例题讲解】

例题1．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则　　度．

【解答】解：由图，

，

则度．

故答案为：35．

例题2．如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转角得到，设交于，连接，当旋转角度数为　　，是等腰三角形．

【解答】解：绕点按逆时针方向旋转角得到，

，，

，

是等腰三角形，，

①，则，

当，则，这不合题意舍去，

②当，

，

，

解得；

③当，

，

，

解得．

故答案为或．

【旋转60°】得等边

例题3. 如图，在直角坐标系中，点A在y轴上，△AOE是等边三角形，点P为x轴正半轴上任意一点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针60°得到线段AQ，连接QE并延长交x轴于点F.

（1）问∠QFP角度是否发生变化，若不变，请说明理由；

（2）若AO=，OP=x，请表示出点Q的坐标（用含x的代数式表示）

【解答】（1）不变（2）

【旋转90°】构造全等

例题4．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，且．连结，并以点为旋转中心把逆时针转后得线段．若点、恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于多少？

【解答】解：过作轴，过作，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，，

则；

与都在反比例图象上，得到，

整理得：，即，

△，

，

点为第一象限内一点，

，，

则．

故答案为．

【旋转180°】由中心对称得平行四边形

例题5．如图所示，抛物线与轴于点、（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．

（1）四边形是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；

（2）若四边形为矩形，请求出，应满足的关系式．

【解答】解：（1）当，时，抛物线的解析式为：．

令，得：．

．

令，得：．

，，

与关于点中心对称，

抛物线的解析式为：；

四边形是平行四边形．

理由：连接，，，

与、与都关于点中心对称，

，，

四边形是平行四边形．

（2）令，得：．

．

令，得：，

，

，

．

要使平行四边形是矩形，必须满足，

，

，

．

，应满足关系式．

例题6．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，与轴交于另一点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图2，过点作轴于点，将绕平面内某点旋转后得（点，，分别与点，，对应），使点，在抛物线上，求点，的坐标．

【解答】解：（1）抛物线过、，

，．

解得，，

抛物线解析式．

（2）如图2，由题意知，

绕平面内某点旋转后得，

设绕点旋转，联结，，，，

，，

四边形为平行四边形，

且．

、，

设，则

、在抛物线上，

，，

解得，．

，．

【旋转过后落点问题】

例题7．如图，中，已知，，点在边上，，把绕点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么　　．

【解答】解：当旋转后点的对应点落在边上，如图1，

绕点逆时针旋转度得到△，

，，

，

，即；

当点的对应点落在边上，如图2，

绕点逆时针旋转度得到△，

，，

，

，

，

，

，

，即，

综上所述，的值为或．

故答案为或．

例题8．如图，在中，，点在上，且，，若将绕点顺时针旋转得到△，且落在的延长线上，连接交的延长线于点，则　　．

【解答】解：过作于点，

，

，

在中，，

，

在中：，

，

，

，

△是由旋转得到，

，，，

，，

，

在和中，，

，

，

又（对顶角相等），

，

．

故答案为：14．

例题9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为，抛物线与轴交于点，直线交轴于，且与这两个三角形的面积之比为．

（1）求点的坐标；

（2）将绕点顺时针旋转一定角度后，点与重合，此时点的对应点恰好也在轴上，求抛物线的解析式．

【解答】解：（1）如图1，

抛物线

对称轴，

当时，

，

过点作轴于，

易知，，

，

，，

，

，；

（2），

，

，

，

如图2，

作于，于，则四边形是矩形，

，，，

由旋转知，，

在中，，

根据勾股定理得，，

【旋转+“恰好”问题】

例题10．如图，在直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点、分别在轴、轴上，且，，将绕原点顺时针转动一周，当与直线平行时点的坐标　     ．

【另外再可思考，当“AB所在直线与MN垂直时点A的坐标”】

【解答】解：①，，

，，

，

直线的解析式为，

，

，

，

，

，

，

点的坐标为，；

②图②中的点与图①中的点关于原点对称，

点的坐标为：，，

故答案为：，、，．

例题11．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，，以点为旋转中心，把顺时针旋转，得．记旋转角为．为．

（Ⅰ）如图①，当旋转后点恰好落在边上时，求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，当旋转后满足轴时，求与之间的数量关系：

（Ⅲ）当旋转后满足时，求直线的解析式（直接写出结果即可）．

【解答】解：（1）点，，得，，

在中，由勾股定理，得，

根据题意，有．

如图①，过点作轴于点，

则，

．有，

得，

，

，

点的坐标为，．

（2）如图②，由已知，得，，

，

在中，

，

轴，得，

，

；

（3）若顺时针旋转，如图，过点作于，过点作于，

，

，

设，，

则，

在中，，

，

，

，，

直线的解析式为：，

直线与直线垂直，且过点，

设，把，代入得，，

解得，

互相垂直的两条直线的斜率的积等于，

直线的解析式为．

同理可得直线的另一个解析式为．

【巩固练习】

1．如图，在等边中，是边上一点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，，则的周长是　　．

2.如图一段抛物线：，记为，它与轴交于点和；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第10段抛物线上，则的值为       .

3．如图，中，，，，绕点顺时针旋转得△，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是　　．

4．如图，中，，，，绕点逆时针旋转到△处，此时线段与的交点为的中点，求线段的值       ．

5．如图，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到．求的函数表达式．

6．如图，四边形是平行四边形，，，点在轴的负半轴上，将绕点逆时针旋转得到，经过点，点恰好落在轴的正半轴上，若点在反比例函数的图象上，则的值为　　．

7. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点、．在四边形旋转过程中，若使？则点的坐标为             ．

8．如图， 在中，，，点的坐标为，，将旋转到的位置， 点在上， 则旋转中心的坐标为　　   ．

9．已知正方形的边长为5，在边上运动，的中点，绕顺时针旋转得，问　　时，、、在一条直线上．

10．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点在线段上，点的横坐标为，点在线段上，且，将绕点旋转后得到△．

（1）若点恰好落在轴上，试求的值；

（2）当时，若△被轴分得两部分图形的面积比为，求该一次函数的解析式．

11．在中，，，将绕点顺时针旋转，得到△．

（1）如图①，当点在线段延长线上时．①求证：；②求△的面积；

（2）如图②，点是边的中点，点为线段上的动点，在绕点顺时针旋转过程中，点的对应点是，求线段长度的最大值与最小值的差．

12．如图（1），在中，，，，动点在线段上以的速度从点运动到点，过点作于点，将绕的中点旋转得到△，设点的运动时间为．

（1）当点落在边上时，求的值；

（2）在动点从点运动到点过程中，当为何值时，△是以为腰的等腰三角形；

（3）如图（2），另有一动点与点同时出发，在线段上以的速度从点运动到点，过点作于点，将绕的中点旋转得到△，连结，当直线与的一边垂直时，求线段的长．

13．如图，，，点为线段的中点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点．

（1）若该抛物线经过原点，且，求该抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，点在抛物线上，且锐角，满足，求的取值范围．

14．如图1，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，将沿轴对折得到，再将绕平面内某点旋转后得△，，分别与点，，对应）使点、在抛物线上，求点、的坐标；

15．点为图①中抛物线为常数，上任一点，将抛物线绕顶点逆时针旋转后得到的新图象与轴交于、两点（点在点的上方），点为点旋转后的对应点．

（1）若点的坐标为，求该抛物线的函数关系式；

（2）如图②，若原抛物线恰好也经过点，点在第一象限内，是否存在这样的点使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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日期：2019/9/11 22:57:03；用户：临城

参考答案

1.【解答】解：是等边三角形，

，

由逆时针旋旋转得出，

，，，

，

，，

是等边三角形，

，

的周长．

故答案为：19．

2.【解答】解：令，则，

解得，，

，

由图可知，抛物线在轴下方，

相当于抛物线向右平移个单位，再沿轴翻折得到，

抛物线的解析式为，

在第10段抛物线上，

．

3.【解答】解：，，，

，，，

，

是等边三角形，，

，

，

是等边三角形，

，，，

，

，

故答案为：．

4.【解答】解：，，，

，

绕顶点逆时针旋转到△处，

，，

点为的中点，

，

，

过点作于，

，

解得，

在中，，

，，

（等腰三角形三线合一），

．

5.【解答】解：直线与轴交于点，与轴交于点，

、，如图2，

过点做交直线于点，过点作轴，

在和中，

，

，，

，

点坐标为，

设的解析式为，将，点坐标代入，得，

解得，

的函数表达式为；

6.【解答】解：如图所示：过点作轴于点，

由题意可得：，，，

则，

故，

，

，，

，

．

故答案为：．

7.【解答】解： 存在这样的点和点，使．

理由如下：过点画于，连接，则，

，，

．

设，，

，

如图4，当点在点左侧时，

，

在中，，

解得，，（不符实际，舍去）．

，

，，

如图5，当点在点右侧时，

，．

在中，，解得，

，

，，

综上可知，存在点，，，使．

8.【解答】解： 如图，与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于．

点在上，

点到、的距离相等， 都是，即，

，

，

，

，

，

，

点的坐标是，

，

由勾股定理得，，

旋转中心的坐标为，．

故答案为：，．

9.【解答】解：过作，交延长线于点，连接，

，，，

，

，

的中点，绕顺时针旋转得，

，

，

，．

，

当时，、、在一条直线上．

则是等腰直角三角形，

，

，

．

时，、、在一条直线上．

故答案为：．

10.【解答】解：（1）由题意，得，，

如图，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，

易知：，，，，，

，；

（2）由（1）得，当时，点在轴右侧；当时，点在轴左侧．

①当时，设与轴交于点，连接，

由△被轴分得两部分图形的面积比为，△△，

，，，

；

②当时，同理可得：；

综上所述，或．

11.【解答】解：（1）①证明：，，

，，

（旋转角相等），

，

；

②过作于，过作于，如图①：

，，

，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

△的面积为：；

（2）如图2，过作于，以为圆心为半径画圆交于，有最小值，

此时在中，，

，

的最小值为；

如图，以为圆心为半径画圆交的延长线于，有最大值；

此时，

线段的最大值与最小值的差为．

12.【解答】解：（1）如图1，在中，，，，

，

当点落在边上时，由题意得，四边形为平行四边形，

，

，

，

，

，

，，

，

，

△，

，即，

解得：，

当点落在边上时，；

（2）当时，，

解得：．

，

；

当时，．

（3）Ⅰ、当时，如图6，

，，

，

，

；

Ⅱ、当时，如图7，

，，

，

，

；

Ⅲ、当时，如图8，

由（1）有，，

；

当时，，；

当时，，；

当时，，．

13.【解答】解：（1）过点作轴，垂足为．

，

．

又，

．

由旋转的性质可知．

在和中，

．

，．

．

把点和点的坐标代入得：，解得：，．

抛物线的解析式为．

（2）如图2所示：

点，，为线段的中点，

，．

、两点的纵坐标为1，

轴．

．

当时，恰好．

设点的坐标为．

当点在轴上且时，则，

即，解得：或（舍去）．

当点位于轴的下方，点处时，且时，则，

即，解得：或（舍去）．

为锐角，

．

由图形可知：当点在抛物线上与之间移动时，．

的取值范围是：且．

14.【解答】解：（1），

设，

当时，

，即

，，

抛物线经过点、

解得：

抛物线解析式为：

（2）如图1，旋转后得到△的位置如图所示

，，轴，轴

设坐标为，则

解得：

坐标为，坐标为．

15.【解答】解：（1）对于，当时，

，

，

点为点绕顶点逆时针旋转后的对应点，

，，

把，代入中，得，

，

该抛物线的函数关系式为；；

（2）存在，点在第一象限内，，

如图2中，由题意可知，

，

，

点，点的对应点，，

直线解析式为，

线段的中垂线解析式为，

由解得或，

点在第一象限，

点坐标，．