2023年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在下列条件中，能够判定▱为菱形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是的高若，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上，则常数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，正五边形内接于，点在弧上若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知抛物线，当时，的最小值为，则当时，的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  计算：        ．

10.  实数、在数轴上对应的点如图所示，则        填“”“”“”

11.  我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解周髀算经时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形若图中的直角三角形的两条直角边分别是和，则中间小正方形的面积占大正方形面积的        ．

12.  若点在反比例函数上，点关于轴的对称点在反比例函数上，则的值为        ．

13.  如图，在正方形中，，点、分别为边、上的点，且，点、分别在、上，且，则的长为        ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组．

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
如图，已知▱请用尺规作图法，在边上找一点，使得保留作图痕迹，不写作法．

18.  本小题分
如图，在矩形中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于求证：．

19.  本小题分
如图，的顶点坐标分别为，，．
在图中作出关于轴的对称图形；
若将向右平移个单位得到，则点的对应点的坐标是        ．

20.  本小题分
甲、乙两位同学玩抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的张卡片上分别标上数字、、、，将这张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀．
甲同学从这张卡片中随机抽取一张，则抽到标有数字的卡片的概率是        ；
甲、乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为的倍数，则甲胜；否则乙胜请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

21.  本小题分
小明晚上路过一个羽毛球场，场地的周围是平坦的草坪他想测量场地旁边路灯的高度，但是没有带任何测量工具他发现路灯与羽毛球网在同一平面，于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同小明测出离路灯较近的网杆在路灯下的影长为步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为步回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，同时测得步米已知，，，垂足分别为点、、求路灯的高结果保留一位小数

22.  本小题分
如图，是一个“函数求值机”示意图，其中是的函数下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值．

根据以上信息，解答下列问题：
当输入的值为时，输出的值为        ；
求，的值；
当输出的值为时，求输入的值．

23.  本小题分
在一次社会调查活动中，小亮收集到某公司“健步走运动”团队中名成员某一天行走的步数，并进行统计，绘制了如下统计表：

根据上述信息，解答下列问题：
这名“健步走运动”团队成员这一天行走的步数的中位数落在        组；
求这名“健步走运动”团队成员这一天行走的平均步数；
若该团队共有人，请估计在该团队所有成员中，这一天行走步数不少于步的人数．

24.  本小题分
如图，为的弦，直线与相切于点，且，连接并延长交于点，交于点．
求证：；
若，，求的半径．

25.  本小题分
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．
建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
一大型货车装载设备后高为，宽为如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？

26.  本小题分
问题提出：

如图，等腰直角，点是内的一点，且，则的度数为        ；
问题探究：
如图，等腰直角，点是内的一点，且，过点作的垂线，以为对称轴，作关于的轴对称图形求与度数的比值．
问题解决：
如图，有一个四边形空地经测量，米，米，米，米，且请利用所学知识，求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】
解：的相反数是，
故选C．  

2.【答案】 

【解析】解：，
．
，
．
故选：．
由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的大小．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：能够判定▱为菱形的是，理由如下：
四边形是平行四边形，，
▱为菱形，
故选：．
由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：令，则，
是的高，
，
，
．
故选：．
令，则，由勾股定理求出，由锐角的正弦定义即可求解．
本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上，
直线解析式变形为：，
所以，
解得，
故选：．
直线解析式和方程联立解答即可．
此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式和方程联立解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，
五边形是正五边形，
，
，
，
，
正五边形内接于，
，
，
，
故选：．
连接，，，根据正五边形的性质得出的度数，从而得出的度数即的度数，再根据正五边形内接于，得出的度数即可求解．
本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出与的度数是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该函数图象的开口向下，对称轴是直线，当时，取得最大值为，
当时，的最小值为，
时，，得，
，
，
时，取得最大值，此时，
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得的值，然后即可得到当时，的最大值．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，求出的值，利用二次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先计算开立方，再计算加法．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，两点在数轴上的位置可知，，，
．
故答案为：．
先根据题意判断出，的符号及绝对值的大小，进而可得出结论．
本题考查的是实数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，，．
由勾股定理知，．
所以大正方形的面积为．
所以中间小正方形的面积为：．
所以．
所以中间小正方形的面积占大正方形面积的．
故答案为：．
首先利用勾股定理求得大正方形的面积，然后利用分割法求得中间小正方形的面积，则易得答案．
本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是掌握正方形的面积公式，直角三角形的面积公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：设点坐标为，
点在反比例函数上，
，
点关于轴的对称点在反比例函数上，
，
，
，
故答案为．
设点坐标为，由点在反比例函数图象上点的特征可求得，，进而可求解．
本题主要考查反比例函数图象上点的特征，利用点的坐标代入反比例函数关系式计算是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：正方形是正方形，
，
过作交于，交于，过作，交于，交于，交于，
则，，
，
∽，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，，
在中，，
故答案为：．
过作交于，交于，过作，交于，交于，交于，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】首先计算负整数指数幂和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

15.【答案】解：，
解得，
解得，
所以不等式组的解集为． 

【解析】分别解两个不等式得到和，然后利用同大取大确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解，最后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
 

17.【答案】解：如下图：

点即为所求． 

【解析】以为圆心，的长为半径作圆交于点．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】由矩形的性质得，，则，可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，则．
此题重点考查矩形的性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
，
向右平移个单位得到的点的坐标为．
故答案为：．
根据轴对称的性质作图即可．
将向右平移个单位，则点与的纵坐标相同，点的横坐标加可得点的横坐标，即可得出答案．
本题考查作图轴对称变换、坐标与图形变化平移，熟练掌握轴对称和平移的性质是解答本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：甲同学从这张卡片中随机抽取一张，抽到标有数字的卡片的概率；
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中取出的两张卡片数字之和为的倍数的结果数为，所以甲获胜的概率，
所以乙获胜的概率，
因为，
所以这个游戏规则对双方不公平．
直接利用概率公式求解；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出取出的两张卡片数字之和为的倍数的结果数，接着计算出甲胜和乙胜的概率，然后比较两概率的大小可判断这个游戏规则对双方是否公平．
本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
 

21.【答案】解：设米，米，
，，，
，
∽，∽，
，，
，，
解得：，
答：路灯的高度约为米． 

【解析】设米，米，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

22.【答案】 

【解析】解：由题意得，
解得，
，
当值为时，
，
故答案为：；
由题意得，
解得，
即，；
若，
解得，
，
符合题意；当输出的值为时，输入的值是；
若，
解得，
，
符合题意，
当输出的值为时，输入的值是或．
先解得的值，再将代入求解；
由题意得关于，的二元一次方程组进行求解；
分别按不同的计算程序求得对应的的值，并进行讨论验证．
此题考查了函数求值问题的解决能力，关键是能准确结合方程和数学讨论进行求解．
 

23.【答案】 

【解析】解：共有个数据，其中位数为第、个数据的平均数，而第、个数据均落在组，
这名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在组，
故答案为：；
，
答：这名“健步走运动”团队成员这一天行走的平均步数为；
人，
答：估计其中一天行走步数不少于步的人数为人．
根据中位数的定义直接求解；
根据平均数的定义直接求解；
利用总人数乘以对应的比例即可求解．
本题考查读频数分布表的能力，中位数，样本估计总体．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题．
 

24.【答案】证明：连接并延长交于，
为的切线，
，
，
，
；
解：，
，
，
∽，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
则． 

【解析】连接并延长交于，根据切线的性质得到，根据垂径定理得到，根据平行线的判定定理证明结论；
证明∽，根据相似三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、垂径定理、平行线的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解此题的关键．
 

25.【答案】解：如图，以所在直线为轴，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，

根据题意得，，，
设抛物线的解析式为，把代入，得：
，
解得：．
抛物线的解析式为．
根据题意，把代入解析式，
得．
，
货运卡车能通过． 

【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，恰当地建立平面直角坐标系、利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
建立坐标系，根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为，再把代入，求出的值即可；
隧道内设双行道后，求出纵坐标与作比较即可．
 

26.【答案】 

【解析】解：在等腰直角，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
解：在线段的垂直平分线上，
，
由轴对称的性质可知：，，，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，，
为等边三角形，
，
，，
，
，
与度数的比值为：：：；
如图，

直线是线段的垂直平分线，作关于的轴对称图形，连接，
，米，米，
米，
米，
，
是直角三角形，，
四边形的面积
根据等腰三角形的内角关系解答即可；
根据等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质求出，计算即可；
直线是线段的垂直平分线，作关于的轴对称图形，连接，根据勾股定理即勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据四边形的面积求解即可．
此题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式并作出合理的辅助线是解题的关键．