2022-2023学年湖北省随州市曾都区河镇中心学校等两校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省随州市曾都区河镇中心学校等两校九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有名同学，他们的成绩分别是：，，，，，这名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，每次飞镖均落在纸板上，则击中阴影区域的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  甲乙两人在直线跑道上同起点、同终点，同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发秒在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离米与乙出发的时间秒之间的关系如图所示，给出下列结论：；；其中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，观测站在观测站的正东方向，有一艘小船在点处，从处测得小船在北偏西方向，从处测得小船在北偏东的方向，点到点的距离是千米则，两观测站之间的距离为千米注：结果有根号的保留根号(    )

A.  B.  C.  D.

9.  对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中较大的数，如：按照这个规定．方程的解为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

10.  抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：；；；直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则，其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  ______．

12.  如图，与圆相切于点，线段与弦垂直，垂足为点，，则        ．

13.  算法统宗是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住人，则余下人无房可住；若每间住人，则余下一间无人住．设店中共有间房，可求得的值为          ．

14.  如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，的值等于，则的值为        ．

15.  如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为        ．

16.  如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点则        ，若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是        ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  先化简再求值：，其中是的非负整数解．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根、．
求实数的取值范围；
若方程的两实数根、满足，求的值．

19.  本小题分
在平行四边形中，是的中点，过作，分别交，于点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
若平分，且，，求的长．

20.  本小题分
某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：跳绳；书法；舞蹈；足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

本次调查中，一共调查了        名同学；
条形统计图中，        ，        ；
扇形统计图中，书法所在扇形的圆心角的度数        ；
小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率用树状图或列表法解答．

21.  本小题分
如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

22.  本小题分
某超市拟于中秋节前天里销售某品牌月饼，其进价为元设第天的销售价格为元，销售量为该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：当时，；当时，与满足一次函数关系，且当时，；时，与的关系为．
当时，与的关系式为______；
为多少时，当天的销售利润元最大？最大利润为多少？
若超市希望第天到第天的日销售利润元随的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨元，求的取值范围．

23.  本小题分
爱好数学的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图、图、图中，、是的中线，于点，像这样的三角形均为“中垂三角形”设，，．
特例探究：
如图，当，时，        ，        ；如图，当，时，        ，        ；
归纳证明：
请你观察中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你的结论．
拓展证明：
如图，▱中，、分别是、的三等分点，且，，连接、、，且于，与相交点，，，求的长．
 

24.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于、两点，，交轴于点，对称轴是直线 
 

求抛物线的解析式及点的坐标；   

连接，是线段上一点，关于直线的对称点正好落在上，求点的坐标；   

动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点设运动时间为秒 

若与相似，请直接写出的值；

能否为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式运算法则分别判断即可．
本题考查了完全平方公式，积的乘方，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，

，
在中根据三角形内角和定理得到：．
故选：．
本题主要根据直角三角尺各角的度数、平行线的性质，求出，再根据三角形内角和定理即可求出．
本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，从大到小的排列顺序为：，，，，，，
中位数是第个，个数据的平均数即．
出现的次数最多，次，
众数为；
故选：．
根据众数，中位数的定义计算选择即可．
本题考查了中位数和众数，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数或最中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据．
 

6.【答案】 

【解析】解：设图中每个小正方形的面积为，则大正方形的面积为，
根据题意图中阴影部分的面积为，
则击中阴影区域．
故选：．
设图中每个小正方形的面积为，则大正方形的面积为，根据题意图中阴影部分的面积为，应用几何概率的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
甲的速度为：米秒，
乙的速度为：米秒，
，
故错误；
，
解得，
故正确；
，
故正确，
故选：．
根据题意和函数图象中的数据可以求得、、的值，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
由题意得，，，千米，
在中，
，
千米，
在中，，
解得，
千米．
故选：．
过点作于点，在中，可得千米，在中，，求出，根据可得答案．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当，即时，所求方程变形为，
去分母得：，即，
解得：，
经检验是分式方程的解；
当，即时，所求方程变形为，
去分母得：，
代入公式得：，
解得：，舍去，
经检验是分式方程的解，
综上，所求方程的解为或．
故选D
分和两种情况将所求方程变形，求出解即可．
此题考查了分式方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线对称轴，经过，
和关于对称轴对称，
时，，
，故错误；
抛物线与轴交于，
时，，
，
，
，即，故错误；
，，
，故正确，
直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，
方程的两个根分别为，，
，，
，故正确，
故选：．
根据二次函数的图象和性质一一判断即可．
本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，，
在中，，
，
与圆相切于点，
，
，
．
故答案为：．
先根据垂径定理得到，再根据正弦的定义可求出，接着根据切线的性质得到，然后利用互余可计算出的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．
【解答】
解：依题意得：
，
解得：，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
，
，
∽，
，
点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，
，，
，
，
．
故答案为：．
首先过点作轴于，过点作轴于，易得∽，又由点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，即可得，，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得，进而求出的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
 

15.【答案】 

【解析】解：由旋转得：，，，
，，
，
，
故答案为：．
根据旋转的知识得出，的长，再根据勾股定理求解．
本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：如图，连接，
对折矩形纸片，使与重合，折痕为，
垂直平分，
，
过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，
，
．
为等边三角形．
，
点是的中点，点为中点，
由折叠可知：点和点关于对称，
，
与重合时，的值最小，此时，
，
，
的最小值是，
故答案为：，．
首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，根据等边三角形的性质得到；点是的中点，根据折叠可知点和点关于对称可得，因此与重合时，，据此求出的最小值是多少即可．
本题是几何变换综合题，考查翻折变换、等边三角形的判定和性质、矩形的性质、直角三角形的性质、轴对称最短问题等知识，熟练掌握翻折变换得性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式





，
，
，
的非负整数解是、、，
，，
，，
，
原式． 

【解析】将原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再根据分式有意义的条件选取合适的的值，代入求值．
本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：方程整理为，
根据题意得，
解得；
根据题意得，，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，舍去，
． 

【解析】根根的判别式即可求出答案；
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：由可知，四边形是菱形，
，
，
平分，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
即的长为． 

【解析】由平行四边形的性质得，则，，再证≌，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，则，再证∽，得，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：名．
故答案为：．
，
．
故答案为：；．
．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有种，
两人恰好选到同一门课程的概率为．
用参与项课外活动的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数．
用乘以可得的值，用可得的值．
用乘以本次调查中书法所占的百分比，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数和两人恰好选到同一门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
在中，，，
，
，
，
过点作，垂足为，
则四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
答：的长为． 

【解析】直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出是的切线；
首先过点作，垂足为，则四边形为正方形，得出，，，即可求出答案．
此题主要考查了切线的判定与性质以及锐角三角函数关系的应用，正确利用得出的长是解题关键．
 

22.【答案】解：依题意，当时，；时，，
当时，设，
则有，
解得，
与的关系式为：；
依题意，


整理得，，
当时，
随增大而增大，
时，取最大值，
当时，
，

时，取得最大值，此时．
综上所述，为时，当天的销售利润元最大，最大利润为元．
依题意，
，
第天到第天的日销售利润元随的增大而增大，
对称轴，得，
故的最小值为． 

【解析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
依据题意利用待定系数法，易得出当时，与的关系式为：，
根据销售利润销售量售价进价，列出每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
要使第天到第天的日销售利润元随的增大而增大，则对称轴，求得即可
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值．
 

23.【答案】       

【解析】解：，，
，
，是的中线，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
如图，连接，

同理可得：，
，
∽，
，
在中，，，
，，
，，
在和中，，，
，，
故答案为：，，，；

猜想： ，，三者之间的关系是：，
证明：如图，连接，

，是的中线，
是的中位线，
且 
，
设 ， 则，，
在中，
在中，  
在中，  
由得：，由得： ，
 ；

在与中，
，
≌，
，，
是的中线，
取的中点，连接，并延长交的延长线于，
同理，≌，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
是中垂三角形，
由知，，
，，
，
．
由等腰直角三角形的性质得到，根据三角形中位线的性质，得到，，再由勾股定理得到结果；
连接，设，类比着即可证得结论；
根据全等三角形的性质得到，，得到是的中线，取的中点，连接，并延长交的延长线于，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，得到是中垂三角形，于是得到结论．
本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：点、关于直线对称，，
，，
代入中，得：，解得
抛物线的解析式为，
点坐标为；
设直线的解析式为，
则有：，解得
直线的解析式为，
点、关于直线对称，
又到对称轴的距离为，
，
点的横坐标为，将代入中，
得：，
；
如下图，
，，
与相似，则，
即：，
解得：或或舍去、、，
故：；

，轴，
，
为等腰三角形，
分三种情况讨论，
第一种，当时，



；
第二种，当时，在中
，
，
，
即，
；
第三种，当时，
则点、重合，此时
而，故不符合题意．
综上述，当或秒时，为等腰三角形． 

【解析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
将、关坐标代入中，即可求解；
确定直线的解析式为，根据点、关于直线对称，即可求解；
与相似，则，即可求解；分、、三种情况，分别求解即可．