2023年中考数学一轮复习考点36 最值问题（隐形圆问题）试卷

这是一份2023年中考数学一轮复习考点36 最值问题（隐形圆问题）试卷，共38页。

考向36： 最值问题（隐形圆问题）
【考点梳理】
模型一：定点定长作圆
模型探究：如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆．
【推广】在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．
模型二：定弦定角作圆
模型探究：若已知定弦AB，定角∠C，要确定顶点C的运动轨迹，需分三种情况：
（1）如图①，在⊙O中，当∠C＜90°时，点C的轨迹为优弧ACB；
（2）如图②，在⊙O中，当∠C＝90°时，点C的轨迹为半圆；
（3）如图③，在⊙O中，当∠C＞90°时，点C的运动轨迹为劣弧AB .




图① 图② 图③

常见张角计算(关键定圆心)：









模型三：四点共圆

（1）如图①、②，共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有A、B、C、D四点共圆









2）如图③ 若∠A+∠C=180° ，则A、B、C、D四点共圆.
如图④ 固定线段AB同侧若∠P=∠C ，则A、B、C、P四点共圆.




图③ 图④









【题型探究】
题型一：隐形圆
1．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
2．如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______．

3．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________．





【必刷好题】
一、单选题
4．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
5．如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（    ）
①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．

A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
6．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）．

A．6 B． C．9 D．


7．正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ）

A． B．2 C． D．

二、填空题
9．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．

11．如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________．

12．如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．

13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．

14．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是____．

15．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是_________．








三、解答题
16．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．

(1)求点Q的运动总长度；
(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
17．如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为 __________________．









18．【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；
【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；
【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值．

19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．

20．问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 ；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 ．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．

21．如图，在等边中，点在边上，点为延长线上一点，连接，过点作交延长线于点．

（1）如图1，若，，，求的长；
（2）如图2，若，点在的垂直平分线上，点在边上，连接交于点，且，求证：；
（3）如图3，若，，，点、、分别是三边上的动点，当周长取得最小值时，取线段的中点，点为平面内一点，且，连接、，请直接写出的最大值．

参考答案：
1．A
【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，

作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．
2．
【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，

取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，
，，，
，
，
，
，
，

，
，
四边形为等腰梯形，
，
，，，
，
点在以点为圆心，2为半径的圆上，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
当三点共线时，有最小值，
面积的最小值为．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键．
3．
【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在⊙B上，且半径为，
在x轴上取OD=OA=6，连接CD，

∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，且C(2,8),
∴OM=CD，即OM的最大值为，
∵M是AC的中点，则M（4,4），
故答案为：（4,4）．
【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点．
4．D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆

∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
5．C
【分析】分析知当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，可以判断①②是否正确；当∠OAP=90°时，根据勾股定理求出AP的长度，可以判断③是否正确；作出A点的轨迹圆，知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，通过计算判断④是否正确即可．
【详解】解：由题意知，当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，
∴PA的最小值为，PA的最大值为，
故①②正确；
当∠OAP=90°时，根据勾股定理得：AP=，
即AP=OA，三角形PAO为等腰直角三角形，
故③正确；
作出A点轨迹圆如下：

知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，最大值为：，
故④错误，
综上所述，正确的序号为：①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、线段最值等知识点，借助圆的性质判断出线段的最值是解决本题的关键．
6．A
【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可．
【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，

过C作CF⊥AE于F，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，
∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：
，
即，
解得：CF=，
∴此时三角形ACE的面积==6，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置．
7．C
【分析】首先证明，从而，再根据，可求，可知点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值．
【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM，

则，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
是直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，
如图，连接BM，交圆M于，过点M作于点P，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴AP=MP==1，
∴BP=4-1=3，
在中，，
∴．
∴BH的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．
8．D
【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】，
，
，
，
，
取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，


点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在中，
，，，
，

最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
9．38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接，过作于，
当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，
BG=2，
故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，

由勾股定理得：AC=10，
∵AC·BH=AB·BC，
∴BH=4.8，
∴，
即四边形面积的最小值=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．
10．##
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，

可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
11．2
【分析】由题意易得点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，连接BD，然后根据隐圆问题可进行求解．
【详解】解：由题意得：点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，
连接BD，交圆弧于点H，如图所示：

∴当点F与点H重合时，点D到点F的距离为最短，
∵四边形ABCD是矩形，，BC=2，
∴，
∴，
∴，即点D到点F的最短距离为2；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点F的运动轨迹．
12．
【分析】由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：与是等腰直角三角形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
在以为直径的圆上，
的外心为，，
，
如图，当时，的值最小，
，
，

，，
．
则的最小值是，
故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．5
【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
【详解】解：如图，

在Rt△DEF中，G是EF的中点，
∴DG＝，
∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，
∴＝＝，
∴∠GDI＝∠CDG，
∴△GDI∽△CDG，
∴＝，
∴IG＝，
∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，
在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，
∴BI＝5，
故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．
14．##
【分析】连接，取中点，连接，求得，点在以为圆心，以为半径的圆上，求得当共线且点在的延长线上时，最大，求解即可．
【详解】解：连接，取中点，连接，如下图：

∵，为中点
∴
∴点在以为圆心，以为半径的圆上
∴当共线且点在的延长线上时，最大
延长交于点，如上图：
∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴垂直平分，
∴
∴，
∴，
∴
∴的最大值为
故答案为：
【点睛】此题考查了圆与内接正三角形的性质，涉及了直角三角形的性质，勾股定理，三角形外心的性质，解题的关键是理解题意，利用性质确定出点的运动轨迹．
15．
【分析】连接OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=2可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为AB=2，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．
【详解】解：连接OA、OB，如图1，

∵OA=OB=2，AB=2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠APB=∠AOB=30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C=60°，
∵AB=2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
作△ABC的外接圆D，
∵∠ACB=60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB=120°，如图2，

当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2=，
∴△ABC的最大面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式．
16．(1)
(2)

【分析】（1）如图，设 结合题意可得：，结合正三角形的性质求解 再利用弧长公式进行计算即可；
（2）解：如图，取的中点N，连接NM，NC，MC，过N作于K，过O作于E，证明M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，可得当C，N，M三点共线时，CM最大，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，设 结合题意可得：，

为等边三角形，


而三点共线，


解得：
运动的总长度为：
（2）解：如图，取的中点N，连接NM，NC，MC，过N作于K，过O作于E，

为PB的中点，

∴M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，
∴当C，N，M三点共线时，CM最大，



同理可得： 则



∴的最大值为：
【点睛】本题考查的是弧长的计算，弧与圆心角的关系，圆的基本性质，正多边形的性质，勾股定理的应用，熟练的构造辅助圆，再求解线段的最大值是解本题的关键．
17．##
【分析】由同弦等角可知点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，从而构造辅助圆，故当A、O′、D共线时，AD的值最大．求出此时AD的值即可解决问题．
【详解】解： ∵AB是直径，∠ABC＝30°，AB＝2，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠P＝60°，，，
∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，
∴∠PDC＝30°，
∴点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，
∴当A、O′、D共线时，AD的值最大．
如图，连接CO′、BO′，

∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，
∴△O′BC是等边三角形，
∴,∠CBO′＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO′＝90°，
∴，
∴,
∴线段AD的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据△PAB绕点A逆时针旋转60°作图即可；
（2）由∠BEC＝120°得∠BED＝60°，由平行线的性质得∠ADE＝∠BED＝60°，由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圆，由圆内接四边形对角互补得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得证；
（3）由CA＝CE＝CB＝CF＝3得A、E、B、F共圆C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，进而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，求出EQ，连接QG取中点N，由三角形中位线得MN，以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，即CM最小为，建立平面直角坐标系求出即可．
【详解】（1）如图1所示，将绕点A逆时针旋转60°得；

（2）∵∠BEC＝120°，
∴∠BED＝60°，
∵，
∴∠ADE＝∠BED＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴A、D、B、C共圆，如图2所示：

∴∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝∠BED＝60°，
∴∠BDE＝60°，
∴△DBE是等边三角形；
（3）

如图3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，
∴A、E、B、F共圆C，
∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，
∴∠APF＝∠ABC＝60°，
∵∠EPF＝60°，EF＝6，
作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，QC⊥EF，
∴∠EQC＝60°，
∴，
连接QG取中点N，则且，
以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，
即CM最小为，
以点F为原点建立平面直角坐标系，
，，，
∴,
，
∴CM最小为．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，解三角函数以及圆的性质，根据题意作出圆是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出结论；
（2）取AE的中点O，连接OD、OF，根据∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四点共圆，当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中点O，连接OD、OF．

∵∠AFE＝∠ADE＝90°，
∴OA＝OD＝OE＝OF，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠AED＝∠AFD，
∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，
∴BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据题意得出⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大是解题的关键．
20．（1）点P在⊙O上，点Q在⊙O外；（2）PB=2+或；（3）存在，−1
【分析】（1）如图①中，根据圆周角与圆心角的关系即可判断；
（2）如图2中，造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．求出BP′和BP的长即可解决问题；
（3）作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，求出此时BP的值即可；
【详解】解：（1）如图①中，

∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴点P在⊙O上，
∵∠AQB＜45°，
∴点Q在⊙O外．
故答案为点P在⊙O上，点Q在⊙O外．
（2）如图2中，如图构造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心，OA为半径作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．

延长DO交BC于H，
∵∠DAB＝135°，∠DAO＝45°，
∴∠OAB＝∠B＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠DOA＝∠OHB＝90°，
∴四边形ABHO是矩形，
∴AB＝OH＝1，OA＝BH，
∵AD＝2，
∴OA＝OD＝OP＝OP′＝2，
在Rt△OPH和Rt△OP′H中，
易知HP＝HP′＝，
∴BH＝OA＝2，
∴BP′＝2− ，PB＝2＋．
（3）如图③中，存在．

作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，理由：在BC上任意取一点M，连接MA、MD，MD交⊙O于N，连接AN．
∵∠AND＞∠AMD，∠APD＝∠AND，
∴∠APD＞∠AND，
连接OP，延长DA交CB的延长线于点G．
∵AB⊥BC，∠DAB＝135°，
∴∠G＝∠EFG＝45°，
∴△ABG，△EFG都是等腰直角三角形，
∵AB＝BG＝1，
∴AG＝，
∵AD＝2，OE⊥AD，
∴AE＝ED＝，
∴EG＝EF＝2，GF＝EG＝4，
设OP＝PF＝r，则OF＝r，OE＝EF−OF＝2−r，
在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，
∴，
解得r＝4− 或4＋（舍弃），
∴BP＝GF−GB−PF＝4−1−r＝−1．
【点睛】本题考查圆综合题、圆周角与圆心角的关系、点与圆的位置关系、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题．
21．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）过点D作DG⊥AB于G，则AF∥DG，得到∠GDB=∠AEB，由，，得到，，则，再由含30度角的直角三角形的性质得到，由，可得，，再证明△ADE∽△ACF，得到，则，由此求解即可；
（2）过点C作CM⊥AF于M，CN⊥BE于N，过点B作BK⊥AB交AG延长线于K，在EF上取点P使得EP=ED，连接CP，先证明△CME≌△CNE得到CM=CN，从而可证Rt△CMA≌Rt△CNB得到∠CAM=∠CBE=45°，从而推出∠CEB=∠FEC=60°，由∠ABK=90°，∠BAK=45°，得到AB=BK=AC，∠K=∠BAK=45°，∠KBG=30°，则，证明△CPE≌△CDE得到∠CPE=∠CDE，再证明△CPA≌△BGK得到AP=GK，则；
（3）先证明当△KMN周长最短时，BK⊥CE，即∠BKC=∠BKE=90°，由∠ETI=45°，可知T点在以EI为弦，圆周角∠ETI=45°的圆上运动，又∠BKI=90°，则T在以K为圆心，以KI的长为半径的圆上运动，，在BK上取一点Q使得，可证△TKQ∽△BKT，得到，则，故要想最大，则的值要最大，即的值要最大，则当T、C、Q三点共线时，有最大值，最大值为，由此求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点D作DG⊥AB于G，
∴∠DGB=∠BAF=∠DGA=90°，
∴AF∥DG，
∴∠GDB=∠AEB，
∵，，
∴，，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAG=60°，AC=AB=8，
∴∠ADG=30°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DE∥CF，
∴△ADE∽△ACF，
∴，
∴，
∴，
∴；

（2）如图所示，过点C作CM⊥AF于M，CN⊥BE于N，过点B作BK⊥AB交AG延长线于K，在EF上取点P使得EP=ED，连接CP，
∴∠CME=∠CNE=90°，
∵F在线段EC的垂直平分线上，
∴FE=FC，
∴∠FEC=∠FCE，
∵BE∥CF，
∴∠BEC=∠FCE，
∴∠CEM=∠CEN，
∵CE=CE，
∴△CME≌△CNE（AAS），
∴CM=CN，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∴Rt△CMA≌Rt△CNB（HL），
∴∠CAM=∠CBE=45°，
∵∠CBA=60°，∠CBE=45°，
∴∠ABH=15°，
∴∠HAB=∠BHG-∠ABH=45°，
∴∠CAG=∠CAB-∠HAB=15°，
∴∠EAH=60°，
又∵∠EHA=∠BHG=60°，
∴∠AEH=60°，
∴∠CEB=∠FEC=60°，
∵∠ABK=90°，∠BAK=45°，
∴AB=BK=AC，∠K=∠BAK=45°，∠KBG=30°，
∴，
∵PE=DE，∠PEC=∠DEC，CE=CE，
∴△CPE≌△CDE（SAS），
∴∠CPE=∠CDE，
∵∠CDE=∠ADB=180°-∠ABD-∠CAB=105°，
∴∠CPE=105°，
∵∠BGK=180°-∠K-∠KBG=105°，
∴∠BGK=∠CPA，
在△CPA和△BGK中，
，
∴△CPA≌△BGK（AAS），
∴AP=GK，
∴；

（3）如图1所述，在锐角三角形ABC中，D是BC上一确定点，分别作D关于AB的对称点D1，关于AC的对称点D2，连接分别与AB，AC，交于点E，点F，连接，，，DE，DF，
由轴对称的性质可得，，
，，
∴要想△DEF的周长最小，即要最小，，是等腰三角形
∴要想要最小，即最小，
∴当AD⊥时，AD最小，

如图2所示：在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，分别作D关于AB的对称点G，关于AC的对称点H，连接DG交AB于I，DH交AC于J，连接IJ，连接分别与AB，AC，交于点E，点F，连接DE，DF，CE，
∵DI⊥AB，DJ⊥AC，
∴∠AID=∠AJD=90°，
∴A，I，D，J四点共圆，
∴∠AIJ=∠ADJ
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠DJA=90°，
∴∠ACD+∠DAC=∠ADJ+∠DAJ=90°，
∴∠ACD=∠ADJ，
∴∠ACD=∠AIJ，
由轴对称的性质可知I，J分别为DG，DH的中点，
∴IJ是△DGH的中位线，
∴IJ∥GH，
∴∠AEF=∠AIJ=∠GEI，
∴∠ACD=∠AIJ=∠GEI，
又∵∠GEI=∠DEI，
∴∠ACD=∠DEI，
∵∠AED+∠DEI=180°，
∴∠ACD+∠AED=180°，
∴A、E、D、C四点共圆，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴CE是AB的垂线，
同理可以证明BF是AC 垂线，
∴可知在锐角三角形ABC中，当取三边的垂足所形成的三角形为周长最短的三角形；

∴当△KMN周长最短时，BK⊥CE，即∠BKC=∠BKE=90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠ETI=45°，
∴T点在以EI为弦，圆周角∠ETI=45°的圆上运动，
又∵∠BKE=90°，
∴T在以K为圆心，以KI的长为半径的圆上运动，
∵I是BK的中点，
∴，

如图2所示，在BK上取一点Q使得，
∴
∵∠TKQ=∠BKT，，
∴△TKQ∽△BKT，
∴，
∴，
∴要想最大，则的值要最大，即的值要最大，
∴当T、C、Q三点共线时，有最大值，最大值为，
在直角三角形CKQ中，
∴．