初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质第1课时同步测试题

第1课时　角的平分线的性质(1)

知能演练提升

一、能力提升

1.如图,尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB于点C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是(　　)

A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS

2.(2020·湖南怀化中考)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC,垂足为点E,若BD=3,则DE的长为(　　)

A.3 B. C.2 D.6

3.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是(　　)

A.4 B.3 C.6 D.5

4.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=36 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,求DE的长.

5.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.

求证:M为BC的中点.

6.如图,已知AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD.求证:∠B+∠D=180°.

7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,问能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长?

★8.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF.

二、创新应用

★9.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边PC,PD分别与OA,OB相交于点C,D,PC和PD有怎样的数量关系?请说明理由.

知能演练·提升

一、能力提升

1.D　2.A　3.B

4.解 如图,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F.

∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,

∴DE=DF.

∵S△ABC=S△ABD+S△BDC,

∴·AB·DE+·BC·DF=36,

∴×18DE+×12DE=36,∴DE= cm.

5.证明 如图,作MN⊥AD于点N.

∵AM平分∠BAD,∠B=90°,MN⊥AD,

∴BM=MN.

∵AB∥CD,∠B=90°,

∴∠C=90°.

∵DM平分∠CDA,∠C=90°,MN⊥AD,

∴MC=MN.∴BM=MC.

即M为BC的中点.

6.证明 如图,过点C作CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F.

因为AC平分∠BAD,

所以CE=CF.

在Rt△CBE和Rt△CDF中,因为CE=CF,CB=CD,所以Rt△CBE≌Rt△CDF,

所以∠B=∠1.

因为∠1+∠ADC=180°,

所以∠B+∠ADC=180°.

7.分析 由于题目中存在AD平分∠CAB,且DC⊥AC的条件,联想到角的平分线上的点到角的两边的距离相等,故过点D作DE⊥AB,便可找到所求作的点.

解 能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长,即过点D作DE⊥AB于点E,则点E就是所要确定的点.

证明:∵AD平分∠CAB,CD⊥AC,DE⊥AB,

∴DC=DE.

在Rt△ACD与Rt△AED中,

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).

∴AC=AE.∵AC=BC,

∴△BDE的周长为BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB.

8.证明 如图,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.

∵AD平分∠BAC,

∴DM=DN.

∵∠AMD+∠MDN+∠AND+∠NAM=360°,∠AMD+∠AND=180°,

∴∠MDN+∠NAM=180°.

∵∠EDF+∠EAF=180°,

∴∠MDN=∠EDF,

∴∠MDE=∠NDF.

在△EDM和△FDN中,

∴△EDM≌△FDN(ASA).

∴DE=DF.

二、创新应用

9.解 PC=PD.

理由如下:如图,过点P分别作PE⊥OB于点E,PF⊥OA于点F,

∴∠CFP=∠DEP=90°.

∵OM是∠AOB的平分线,∴PE=PF.

由四边形内角和定理知∠FPE=90°.

∵∠1+∠FPD=90°,∠2+∠FPD=90°,

∴∠1=∠2.

在△CFP和△DEP中,

∴△CFP≌△DEP(ASA).

∴PC=PD.